Bao lồi của tập hợp màu đỏ làtập lồi màu xanh và màu đỏ.
Tronghình học,bao lồi của một hình làtập hợp lồi nhỏ nhất chứa hình đó. Bao lồi có thể được định nghĩa là giao của tất cả tập lồi chứa một tập con cho trước của mộtkhông gian Euclid, hoặc là tập hợp gồm tất cảtổ hợp lồi của các điểm trong tập con đó. Đối với một tập conbị chặn của mặt phẳng, bao lồi có thể được minh họa thành một hình bao bởi mộtdây đàn hồi kéo giãn xung quanh tập con đó.
Bao lồi củatập mở là bao lồi mở, và bao lồi củatập compact là bao lồi compact. Mỗi tập lồi compact đều là bao lồi của cácđiểm cực biên của nó. Toán tử bao lồi là một ví dụ vềtoán tử đóng, và mộtantimatroid có thể được biểu diễn bằng cách áp dụng toán tử đóng này cho tập hợp hữu hạn các điểm. Các bài toánthuật toán về việc tìm bao lồi của một tập hợp hữu hạn các điểm trong mặt phẳng hoặc các không gian Euclid ít chiều khác và bài toánđối ngẫu về cácnửa không gian giao nhau đều là những vấn đề cơ bản củahình học tính toán. Chúng có thể được giải trong thời gian đối với tập hợp điểm hai chiều hoặc ba chiều, và trong thời gian bằng với độ phức tạp thời gian trong trường hợp tệ nhất được cho bởiđịnh lý cận trên ở không gian nhiều chiều hơn.
Một tập hợp các điểm trên mộtkhông gian Euclid được gọi làtập lồi nếu nó chứa các đoạn thẳng nối từng cặp điểm của nó. Bao lồi của một tập cho trước có thể được định nghĩa là[1]
Vớitập bị chặn trong mặt phẳng Euclid mà các điểm trong tập đó không tạo thành đường thẳng thì đường biên của bao lồi làđường cong Jordan vớichu vi nhỏ nhất chứa. Có thể tưởng tượng rằng ta kéo giãn mộtdây đàn hồi để nó bao quanh toàn bộ tập rồi thả dây ra để nó co lại đến mức tối đa; khi đó, dây bao lại tập lồi của.[2] Cách hiểu này không thể mở rộng được ngay cho không gian nhiều chiều hơn: với một tập hợp hữu hạn các điểm trong không gian ba chiều, một lân cận của mộtcây bao trùm của các điểm này bao lại chúng với diện tích bề mặt nhỏ tùy ý và nhỏ hơn diện tích bề mặt của bao lồi.[3] Tuy nhiên, trong không gian nhiều chiều, một số dạng củabài toán vật cản về việc tìm một bề mặt năng lượng thấp nhất nằm trên một hình cho trước có thể có bao lồi là nghiệm của chúng.[4]
Với các đối tượng trong không gian ba chiều, định nghĩa đầu tiên phát biểu rằng bao lồi làvùng giới hạn lồi nhỏ nhất của các đối tượng đó. Định nghĩa qua giao của các tập lồi có thể được mở rộng chohình học phi Euclid, và định nghĩa qua tổ hợp lồi có thể được mở rộng từ không gian Euclid sangkhông gian vectơ thực hoặckhông gian afin bất kỳ; bao lồi cũng có thể được khái quát hóa theo một cách trừu tượng hơn sangmatroid định hướng.[5]
Định nghĩa đầu tiên không hiển nhiên đúng: vì sao phải tồn tại một tập lồi nhỏ nhất chứa với mọi? Tuy nhiên, định nghĩa thứ hai (giao của tất cả các tập lồi chứa) lại mang tính rạch ròi hơn. Theo đó, bao lồi là tập con của mỗi tập lồi khác chứa, vì có trong các tập được giao. Do đó, nó chính là tập lồi nhỏ nhất chứa. Vì vậy, hai định nghĩa đầu tiên là tương đương nhau.[1]
Mỗi tập lồi chứa phải chứa tất cả tổ hợp lồi của các điểm trong (theo giả thiết rằng nó là tập lồi), nên tập hợp tất cả các tổ hợp lồi này có trong giao của tất cả các tập lồi chứa. Ngược lại, tập hợp tất cả các tổ hợp lồi cũng là một tập lồi chứa nên nó cũng chứa giao của tất cả các tập lồi chứa, và do đó định nghĩa thứ hai và thứ ba là hai định nghĩa tương đương.[6]
Thực tế, theođịnh lý Carathéodory, nếu là tập con của một không gian Euclid chiều, mỗi tổ hợp lồi của một số hữu hạn các điểm trong cũng là một tổ hợp lồi của nhiều nhất điểm trong. Tập hợp các tổ hợp lồi của một bộ gồm điểm là mộtđơn hình; trong mặt phẳng nó là mộttam giác và trong không gian ba chiều nó là mộttứ diện. Vì vậy, mỗi tổ hợp lồi của các điểm trong đều thuộc một đơn hình có các đỉnh thuộc, nên định nghĩa thứ ba và thứ tư là hai định nghĩa tương đương.[6]
Ở hai chiều, bao lồi đôi khi được chia thành hai phần là bao trên và bao dưới, kéo dài giữa các điểm ngoài cùng bên trái và bên phải của bao đó. Tổng quát hơn, đối với bao lồi trong bất kỳ không gian nhiều chiều nào, có thể chia đường biên của bao đó thành các điểm mặt trên (những điểm mà theo đó một tia hướng lên không giao với bao), điểm mặt dưới và điểm cực biên. Với bao ba chiều, các phần mặt trên và mặt dưới của đường biên tạo thành những đĩa tôpô.[7]
Bao lồi đóng của là giao của tất cả cácnửa không gian đóng chứa. Nếu bao lồi của đã là mộttập đóng (xảy ra chẳng hạn khi là mộttập hữu hạn hoặc, tổng quát hơn, là mộttập compact) thì nó bằng bao lồi đóng đó. Tuy nhiên, giao của các nửa không gian đóng là tập đóng, nên khi một bao lồi không phải là bao lồi đóng thì nó không thể biểu diễn được theo cách này.[9]
Nếu bao lồi mở của một tập hợp là bao lồi chiều thì mỗi điểm trong bao đó thuộc một bao lồi mở gồm nhiều nhất điểm thuộc tập. Tập hợp các đỉnh của mộthình vuông, khối bát diện đều, hoặckhối đa diện chéo trong không gian nhiều chiều là những ví dụ về trường hợp cần đúng điểm.[10]
Đường cong phù thủy Agnesi, một ví dụ về tập đóng có bao lồi là mở (nửa không gian trên mở)
Về mặt tôpô, bao lồi của mộttập mở luôn luôn là bao lồi mở, và bao lồi của một tập compact luôn luôn là bao lồi compact. Tuy nhiên, có một số tập đóng có bao lồi không phải là bao lồi đóng.[11] Chẳng hạn, tập đóng
Tính compact của bao lồi của tập compact trong không gian Euclid với số chiều hữu hạn được khái quát hóa bằngđịnh lý Krein–Smulian, theo đó bao lồi đóng của một tập con compact yếu trong mộtkhông gian Banach (một tập con có tính compact dưới dạngtôpô yếu) là bao lồi compact yếu.[13]
Mộtđiểm cực biên của một tập lồi là một điểm trong tập hợp không nằm trên một đoạn thẳng giữa hai điểm khác trong cùng tập hợp đó. Đối với một bao lồi, mỗi điểm cực biên đều phải thuộc tập đã cho, vì ngược lại nó không thể tạo thành một tổ hợp lồi gồm các điểm đã cho. Theođịnh lý Krein–Milman, mỗi tập lồi compact trong một không gian Euclid (hoặc, tổng quát hơn, trong mộtkhông gian vectơ tôpô lồi địa phương) là bao lồi của các điểm cực biên của nó.[14] Tuy nhiên, định lý này có thể không đúng đối với các tập lồi không compact; ví dụ, toàn bộ mặt phẳng Euclid vàquả cầu đơn vị mở đều có tính lồi, nhưng chúng không có điểm cực biên nào.Lý thuyết Choquet mở rộng định lý này từ tổ hợp lồi hữu hạn của các điểm cực biên sang tổ hợp vô hạn trong các không gian tổng quát hơn.[15]
Toán tử bao lồi có các tính chất đặc trưng của mộttoán tử đóng:[16]
Bao lồi của một tập bất kỳ là một tập cha của.
Với hai tập hợp và sao cho thì bao lồi của là tập con của bao lồi của.
Với mọi tập hợp, bao lồi của bao lồi của bằng bao lồi của.
Khi được áp dụng cho một tập hợp hữu hạn các điểm, đó chính là toán tử đóng của mộtantimatroid, cụ thể là antimatroid bao của tập hợp đó. Mỗi antimatroid đều có thể được biểu diễn theo cách này bằng bao lồi của các điểm trong một không gian Euclid với số chiều đủ lớn.[17]
Các phép toán dựng bao lồi và tínhtổng Minkowski giao hoán lẫn nhau vì tổng Minkowski của bao lồi của các tập hợp có cùng kết quả với bao lồi của tổng Minkowski của các tập hợp đó. Kết luận này là một bước để chứng minhđịnh lý Shapley–Folkman giới hạn khoảng cách giữa một tổng Minkowski và bao lồi của nó.[18]
Phépđối ngẫu xạ ảnh để dựng bao lồi của một tập hợp hữu hạn các điểm chính là phép dựng giao của một họ gồm các nửa không gian đóng chứa điểm gốc (hoặc một điểm bất kỳ xác định).[19]
Bao lồi của một tập hợp điểm hữu hạn tạo thành mộtđa giác lồi khi, hoặc tổng quát hơn là mộtđa diện lồi trong. Mỗi điểm cực biên của bao đó được gọi làđỉnh, và (theo định lý Krein–Milman) mỗi đa diện lồi đều là bao lồi của các đỉnh của nó. Nó chính là đa diện lồi duy nhất có các đỉnh thuộc và bao hết toàn bộ.[2] Với tập hợp các điểm ởvị trí tổng quát, bao lồi là mộtđa diện đơn hình.[20]
Theođịnh lý cận trên, số mặt của bao lồi của điểm trong không gian Euclid chiều là.[21] Đặc biệt, ở hai chiều và ba chiều, số mặt lớn nhất của bao lồi tuyến tính theo.[22]
Bao lồi của mộtđa giác đơn bao quanh đa giác đã cho và được nó chia thành nhiều vùng, trong đó có một vùng là chính đa giác đó. Các vùng còn lại, giới hạn bởi mộtchuỗi đa giác của đa giác và một cạnh của bao lồi, được gọi làrãnh (pocket). Thực hiện lặp lại phân tích này với mỗi rãnh một cách đệ quy thì một biểu diễn phân cấp của đa giác đã cho được tạo thành và được gọi làcây sai phân lồi (convex differences tree) của đa giác đó.[23] Chiếu lại một rãnh qua cạnh bao lồi của nó làm mở rộng đa giác đơn này thành một đa giác mới với chu vi không đổi và diện tích lớn hơn, vàđịnh lý Erdős–Nagy phát biểu rằng quá trình mở rộng này sẽ chấm dứt sau một số hữu hạn bước.[24]
Đường cong dochuyển động Brown tạo ra trong mặt phẳng, tại bất kỳ thời điểm cố định nào, có xác suất là 1 để có bao lồi mà đường biên tạo thành mộtđường cong khả vi liên tục. Tuy nhiên, với một góc thỏa mãn, sẽ có những thời điểm trong chuyển động Brown mà trong đó một chất điểm chạm vào đường biên của bao lồi tại một đỉnh của góc.Số chiều Hausdorff của tập hợp những thời điểm đặc biệt như thế là (với xác suất cao).[25]
Oloid, bao lồi của hai đường tròn trong không gian 3D
Đối với bao lồi của mộtđường cong trong không gian hoặc một tập hợp hữu hạn các đường cong không gian ở vị trí tổng quát trong không gian ba chiều, các phần của đường biên cách ra khỏi những đường cong này là các bề mặtxiên vàkhai triển được.[26] Một số ví dụ bao gồmoloid, bao lồi của hai đường tròn trong các mặt phẳng vuông góc, trong đó mỗi đường tròn đều đi qua tâm của đường tròn còn lại;[27]sphericon, bao lồi của hai nửa đường tròn đồng tâm trong các mặt phẳng vuông góc; và D-form, các hình lồi có được từđịnh lý Alexandrov đối với một mặt phẳng được tạo thành bằng cách dán hai tập lồi phẳng cùng chu vi lại với nhau.[28]
Bao lồi hoặcbao lồi dưới của một hàm trong một không gian vectơ thực là hàm cótrên đồ thị là bao lồi dưới của trên đồ thị của. Nó làhàm lồi cực đại duy nhất bị chặn trên bởi.[29] Định nghĩa này có thể được mở rộng cho bao lồi của một tập hợp các hàm (có được từ bao lồi của hợp của các trên đồ thị, hoặc từ giá trị nhỏ nhất theo từng điểm của chúng) và, ở dạng này, có tính đối ngẫu với phép toánliên hợp lồi.[30]
Tronghình học tính toán, có một số thuật toán để tính bao lồi của một tập hợp hữu hạn các điểm và các đối tượng hình học khác. Ở đây "tính bao lồi" có nghĩa là xây dựng mộtcấu trúc dữ liệu rõ ràng và hiệu quả để biểu diễn hình lồi cần tìm. Các dạng biểu diễn đầu ra đã được xét đối với bao lồi của tập hợp điểm bao gồm một hệbất phương trình bậc nhất mô tả cácmặt của bao, mộtđồ thị vô hướng của các mặt đó (kể cả các mặt liền kề), hoặc toàn bộdàn mặt của bao đó.[31] Ở hai chiều, có một cách đơn giản hơn là liệt kê các điểm là đỉnh trongcấp cyclic của chúng quanh bao này.[2]
Với bao lồi hai chiều hoặc ba chiều, độ phức tạp tính toán của các thuật toán tương ứng thường được đo theo số điểm đầu vào và số điểm trong bao lồi, có thể nhỏ hơn đáng kể so với. Đối với bao trong không gian nhiều chiều thì số mặt của các chiều khác cũng có thể được quan tâm khi phân tích thuật toán.Quét Graham có thể tính bao lồi của điểm trong mặt phẳng trong thời gian. Với các điểm ở hai và ba chiều, có một sốthuật toán nhạy cảm đầu ra phức tạp hơn có thể tính được bao lồi trong thời gian, trong đó cóthuật toán Chan vàthuật toán Kirkpatrick–Seidel.[32] Với số chiều, thời gian để tính bao lồi là, bằng với độ phức tạp đầu ra trong trường hợp tệ nhất của bài toán.[33] Bao lồi của một đa giác đơn trong mặt phẳng có thể được dựng trongthời gian tuyến tính.[34]
Các cấu trúc dữ liệubao lồi động có thể được dùng để theo dõi bao lồi của một tập hợp điểm khi thêm vào hoặc xóa đi các điểm trong tập hợp,[35] và các cấu trúcbao lồi điểm chuyển động có thể giúp theo dõi bao lồi đối với các điểm chuyển động liên tục.[36] Dựng bao lồi cũng là công cụ cho một số thuật toán hình học tính toán khác, chẳng hạn như thuật toánthước cặp quay dùng để tínhchiều dài vàđường kính của một tập hợp điểm.[37]
Một số hình khác có thể được xác định từ một tập hợp các điểm theo cách tương tự như với bao lồi, có thể là tập cha nhỏ nhất với tính chất nhất định, là giao của tất cả các hình chứa các điểm đó từ một họ các hình cho trước, hoặc là hợp của tất cả tổ hợp của các điểm với dạng nhất định. Ví dụ:
Bao afin là không gian con afin nhỏ nhất của một không gian Euclid chứa một tập hợp cho trước, hoặc là hợp của tất cả tổ hợp afin của các điểm trong tập hợp đó.[38]
Bao tuyến tính là không gian con tuyến tính nhỏ nhất của một không gian vectơ chứa một tập hợp cho trước, hoặc là hợp của tất cả tổ hợp tuyến tính của các điểm trong tập hợp đó.[38]
Bao conic hoặc bao dương của một tập con của một không gian vectơ là tập hợp tất cả tổ hợp dương của các điểm trong tập con đó.[38]
Bao trực quan của một đối tượng ba chiều, đối với một tập hợp điểm nhìn, chứa các điểm sao cho mỗi tia từ một điểm nhìn đi qua đều cắt đối tượng đó. Một cách tương đương, nó là giao của các mặt nón (không lồi) được tạo bởi các đường biên của đối tượng đối với mỗi điểm nhìn. Trongtái cấu trúc 3D, nó là hình lớn nhất có thể có các đường biên giống nhau từ các điểm nhìn cho trước.[39]
Bao tròn hoặc bao alpha của một tập con của mặt phẳng là giao của tất cả các đĩa với bán kính cho trước là chứa tập con đó.[40]
Bao lồi tương đối của một tập con của mộtđa giác đơn hai chiều là giao của tất cả các tập cha lồi tương đối, trong đó một tập hợp nằm trong đa giác đó là tập lồi tương đối nếu nó chứađường trắc địa giữa hai điểm bất kỳ của nó.[41]
Bao lồi trực giao là giao của tất cả các tập cha lồi trực giao được nối lại với nhau, trong đó một tập hợp được gọi là tập lồi trực giao nếu nó chứa tất cả các đoạn thẳng song song với trục tọa độ nối từng cặp điểm có trong nó.[42]
Tam giác đạc Delaunay của một tập hợp điểm và dạngđối ngẫu của nó,sơ đồ Voronoi, đều có liên quan đến bao lồi: tam giác đạc Delaunay của một tập hợp điểm trên có thể được xem là hình chiếu của một bao lồi trên.[45] Cáchình alpha của một tập hợp điểm hữu hạn cho một họ gồm các đối tượng hình học (không lồi) lồng nhau mô tả hình dạng của một tập hợp điểm tại các cấp độ chi tiết khác nhau. Mỗi hình alpha đều là hợp của một số điểm trong tam giác đạc Delaunay, được chọn bằng cách so sánhbán kính đường tròn ngoại tiếp của chúng với tham số alpha. Chính tập hợp điểm đó tạo thành một điểm cuối của họ các hình đó, và bao lồi của nó tạo thành điểm cuối còn lại.[40]Lớp lồi của một tập hợp điểm là một họ gồm đa giác lồi lồng nhau, trong đó đa giác ngoài cùng là bao lồi, với các lớp bên trong được dựng một cách đệ quy từ các điểm không phải là đỉnh của bao lồi đó.[46]
Chỏm lồi của một đa giác là đa giác lồi lớn nhất được chứa trong nó. Nó có thể được tìm trongthời gian đa thức, nhưng số mũ của thuật toán rất cao.[47]
Bao lồi được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Trong toán học, bao lồi được dùng để nghiên cứuđa thức,giá trị riêng của ma trận,phần tử đơn nguyên đơn vị và một số định lý liên quan đến bao lồi tronghình học rời rạc. Trongthống kê chuẩn mạnh, bao lồi là đường viền ngoài cùng củađộ sâu Tukey, là một phần quan trọng củabagplot minh họa dữ liệu hai chiều, và được dùng để xác định tập nguy cơ của cácquy tắc ra quyết định ngẫu nhiên. Bao lồi củavectơ chỉ thị của nghiệm cho các bài toán tổ hợp là nội dung trọng tâm trongtối ưu hóa tổ hợp vàtổ hợp đa diện. Trong kinh tế học, bao lồi có thể được dùng để áp dụng các phương pháp vềtính lồi trong kinh tế cho các thị trường không lồi. Trong mô hình hóa hình học, đặc tính bao lồiđường cong Bézier hỗ trợ tìm các giao điểm của chúng, và bao lồi là một phần không thể thiếu trong việc đo thân tàu. Và trong nghiên cứu về tập tính của động vật, bao lồi xuất hiện trong một định nghĩa thường dùng vềphạm vi chỗ ở.
Phân hoạch của bảy điểm thành ba tập con với bao lồi giao nhau, luôn luôn tồn tại với bảy điểm bất kỳ trong mặt phẳng theođịnh lý Tverberg
Đa giác Newton củađa thức đơn biến vàđa diện Newton của đa thức đa biến là bao lồi của các điểm được suy ra từ số mũ của các hạng tử trong đa thức, và có thể được dùng để phân tích tínhtiệm cận của đa thức và giá trị của nghiệm của đa thức đó.[48] Bao lồi và đa thức cũng có liên hệ với nhau trongđịnh lý Gauss–Lucas, theo đó mọinghiệm củađạo hàm của một đa thức đều nằm trong bao lồi của các nghiệm của đa thức đó.[49]
Định nghĩa tập lồi là tập hợp chứa tất cả các đoạn thẳng nối các điểm của nó và bao lồi là giao của tất cả các tập cha lồi đều áp dụng được chokhông gian hyperbol và không gian Euclid. Tuy nhiên, trong không gian hyperbol, còn có thể xét đến bao lồi của tập hợpđiểm lý tưởng gồm những điểm không thuộc chính không gian hyperbol mà chỉ nằm trong đường biên của một mô hình không gian đó. Đường biên của bao lồi của các điểm lý tưởng của không gian hyperbol ba chiều là tương tự vớibề mặt xiên trong không gian Euclid, và các tính chất mêtric của chúng đóng vai trò quan trọng tronggiả thuyết hình học hóa trongtôpô ít chiều.[53] Bao lồi hyperbol cũng được dùng khi tínhtam giác đạcchính tắc củađa tạp hyperbol, hay xác định xem hainút thắt có bằng nhau hay không.[54]
Một bagplot. Vùng được tô màu nhạt ở ngoài cùng là bao lồi, và vùng được tô màu đậm hơn ở bên trong là hình bao với độ sâu Tukey là 50%.
Trongthống kê chuẩn mạnh, bao lồi là một trong những thành phần chủ chốt của mộtbagplot, một phương pháp để minh họa phân bố của các điểm mẫu hai chiều. Các hình bao củađộ sâu Tukey tạo thành một họ tập lồi lồng nhau với bao lồi nằm ngoài cùng, và bagplot cũng hiển thị một đa giác khác có hình bao với độ sâu 50% từ họ lồng nhau đó.[55]
Đối tượng nghiên cứu trọng tâm trongtối ưu hóa tổ hợp vàtổ hợp đa diện là bao lồi củavectơ chỉ thị của nghiệm cho một bài toán tổ hợp. Nếu mặt của các đa diện đó có thể tìm được, mô tả đa diện là giao của các nửa không gian, thì các thuật toán dựa trênquy hoạch tuyến tính có thể được dùng để tìm nghiệm tối ưu.[57] Bao lồi của các vectơ trọng số của các nghiệm đó, một dạng khác của bao lồi, cũng được dùng trongtối ưu hóa đa mục tiêu. Ta có thể cực đại hóa bất kỳtổ hợp tựa lồi của các trọng số bằng cách tìm và kiểm tra từng đỉnh của bao lồi, hiệu quả hơn nhiều so với khi kiểm tra tất cả các nghiệm có thể có.[58]
Trongmô hình Arrow–Debreu củacân bằng kinh tế tổng thể, đại diện kinh tế được giả thiết là cótập ngân sách lồi vàưa thích lồi. Các giả thiết này củatính lồi trong kinh tế có thể được dùng để chứng minh sự tồn tại của một cân bằng như thế. Khi dữ liệu kinh tế trong thực tế làphi lồi thì có thể chuyển dữ liệu này sang trạng thái lồi bằng cách lấy bao lồi của nó. Định lý Shapley–Folkman có thể được áp dụng để chứng minh rằng với các thị trường lớn thì phép xấp xỉ này là chính xác và dẫn đến một "tựa cân bằng" đối với thị trường phi lồi ban đầu.[59]
Trongmô hình hóa hình học, một trong những tính chất then chốt củađường cong Bézier là nó nằm trong bao lồi của các điểm kiểm soát của nó. Cái gọi là "đặc tính bao lồi" này có thể được áp dụng để nhanh chóng tìm ra giao điểm của các đường cong như vậy chẳng hạn.[60]
Trong thiết kế tàu thuyền,chu vi xích thân tàu (chain girth) là một độ đo kích thước của mộttàu buồm, được xác định bằng bao lồi của mặt cắt ngang thân tàu. Nó khác vớichu vi mặt ngoài thân tàu (skin girth) là chu vi của chính mặt cắt đó ngoại trừ đối với tàu thuyền có bao lồi.[61]
Bao lồi thường được xem là đa giác lồi nhỏ nhất trongtập tính học, một lĩnh vực nghiên cứu hành vi của động vật, ở đó nó là cách tiếp cận cổ điển để ước lượngphạm vi chỗ ở của một loài động vật dựa vào các điểm mà loài động vật đó được quan trắc.[62] Cácđiểm ngoại lai có thể làm kích thước của đa giác đó tăng một cách quá mức; một hướng tiếp cận khác để hạn chế tình trạng này là chỉ ước lượng dựa trên tập con của các điểm quan trắc, chẳng hạn như chọn một trong các lớp lồi sát với một tỉ lệ mật độ điểm dữ liệu làm mẫu,[63] hoặc áp dụng phương phápbao lồi địa phương bằng cách hợp bao lồi củaláng giềng của các điểm.[64]
Trongvật lý lượng tử,không gian trạng thái của một hệ thống lượng tử — tập hợp tất cả các cách hệ thống có thể được thiết lập — là một bao lồi có điểm cực biên là cáctoán tử nửa xác định dương gọi là trạng thái thuần và các điểm ở phía trong gọi là trạng thái hỗn hợp.[65]Định lý Schrödinger–HJW chứng minh rằng một trạng thái hỗn hợp bất kỳ có thể được viết thành tổ hợp lồi của các trạng thái thuần theo nhiều cách khác nhau.[66]
Bao lồi của các hợp chấtmagnesi–carbon.[67] Trong ví dụ này Mg2C3 được dự đoán là không bền do nó nằm ở phía trên bao đó.
Một bao lồi trongnhiệt động lực học đã đượcJosiah Willard Gibbs xác định trong bài báo năm 1873,[68] dù nó được xuất bản từ trước khi thuật ngữ "bao lồi" có tên gọi như hiện tại. Trong một tập hợp các mức năng lượng của cáchệ số tỷ lượng đối với một vật liệu, chỉ có mức năng lượng với những giá trị đo nằm ở bao lồi dưới mới bền vững. Khi loại đi một điểm thì khoảng cách của nó tới bao này chỉ độ bền của trạng thái đó.[69]
Bao lồi của các điểm trong mặt phẳng xuất hiện lần đầu tiên dưới dạng đa giác Newton trong thư củaIsaac Newton gửiHenry Oldenburg vào năm 1676.[70] Thuật ngữconvex hull trongtiếng Anh xuất hiện sớm nhất từ công trình củaGarrett Birkhoff (1935), và cụm từ tương ứng trongtiếng Đức xuất hiện sớm hơn, chẳng hạn như trong bình duyệt vềKőnig (1922) củaHans Rademacher. Một số thuật ngữ khác nhưconvex envelope cũng được sử dụng trong khoảng thời gian này.[71] Đến năm 1938, theoLloyd Dines, từconvex hull đã trở thành tiêu chuẩn, và Dines thêm rằng ông thấy đó là điều đáng tiếc, vì nghĩa thông tục của từhull có thể được hiểu rằng nó chỉ bề mặt của một hình, trong khi bao lồi thực tế còn chứa thêm cả phần bên trong chứ không chỉ có phần bề mặt đó.[72]
Andrew, A. M. (1979), "Another efficient algorithm for convex hulls in two dimensions",Information Processing Letters,9 (5):216–219,doi:10.1016/0020-0190(79)90072-3
Birkhoff, Garrett (1935), "Integration of functions with values in a Banach space",Transactions of the American Mathematical Society,38 (2):357–378,doi:10.2307/1989687,JSTOR1989687,MR1501815
Brown, K. Q. (1979), "Voronoi diagrams from convex hulls",Information Processing Letters,9 (5):223–228,doi:10.1016/0020-0190(79)90074-7
de Berg, M.; van Kreveld, M.; Overmars, Mark; Schwarzkopf, O. (2008),Computational Geometry: Algorithms and Applications (ấn bản thứ 3), Springer,ISBN978-3-642-09681-5
Chan, Timothy M. (2012), "Three problems about dynamic convex hulls",International Journal of Computational Geometry and Applications,22 (4):341–364,doi:10.1142/S0218195912600096,MR2994585
Chang, J. S.; Yap, C.-K. (1986), "A polynomial solution for the potato-peeling problem",Discrete & Computational Geometry,1 (2):155–182,doi:10.1007/BF02187692,MR0834056
Chazelle, Bernard (1985), "On the convex layers of a planar set",IEEE Transactions on Information Theory,31 (4):509–517,doi:10.1109/TIT.1985.1057060,MR0798557
Chen, Qinyu; Wang, Guozhao (tháng 3 năm 2003), "A class of Bézier-like curves",Computer Aided Geometric Design,20 (1):29–39,doi:10.1016/s0167-8396(03)00003-7
Cranston, M.; Hsu, P.; March, P. (1989), "Smoothness of the convex hull of planar Brownian motion",Annals of Probability,17 (1):144–150,doi:10.1214/aop/1176991500,JSTOR2244202,MR0972777
Demaine, Erik D.; Gassend, Blaise; O'Rourke, Joseph; Toussaint, Godfried T. (2008), "All polygons flip finitely ... right?",Surveys on Discrete and Computational Geometry, Contemporary Mathematics, quyển 453, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, tr. 231–255,doi:10.1090/conm/453/08801,MR2405683
Edelsbrunner, Herbert; Kirkpatrick, David G.; Seidel, Raimund (1983), "On the shape of a set of points in the plane",IEEE Transactions on Information Theory,29 (4):551–559,doi:10.1109/TIT.1983.1056714
Epstein, D. B. A.; Marden, A. (1987), "Convex hulls in hyperbolic space, a theorem of Sullivan, and measured pleated surfaces", trong Epstein, D. B. A. (biên tập),Analytical and geometric aspects of hyperbolic space (Coventry/Durham, 1984), London Mathematical Society Lecture Note Series, quyển 111, Cambridge: Cambridge University Press, tr. 113–253,MR0903852
Gardner, L. Terrell (1984), "An elementary proof of the Russo-Dye theorem",Proceedings of the American Mathematical Society,90 (1): 171,doi:10.2307/2044692,JSTOR2044692,MR0722439
Gel'fand, I. M.; Kapranov, M. M.; Zelevinsky, A. V. (1994), "6. Newton Polytopes and Chow Polytopes",Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants, Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser, tr. 193–213,doi:10.1007/978-0-8176-4771-1,ISBN0-8176-3660-9,MR1264417
Graham, Ronald L.; Yao, F. Frances (1983), "Finding the convex hull of a simple polygon",Journal of Algorithms,4 (4):324–331,doi:10.1016/0196-6774(83)90013-5,MR0729228
Grünbaum, Branko (2003),Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, quyển 221 (ấn bản thứ 2), Springer,ISBN9780387004242
Gustin, William (1947), "On the interior of the convex hull of a Euclidean set",Bulletin of the American Mathematical Society,53 (4):299–301,doi:10.1090/S0002-9904-1947-08787-5,MR0020800
Hautier, Geoffroy (2014), "Data mining approaches to high-throughput crystal structure and compound prediction", trong Atahan-Evrenk, Sule; Aspuru-Guzik, Alan (biên tập),Prediction and Calculation of Crystal Structures: Methods and Applications, Topics in Current Chemistry, quyển 345, Springer International Publishing, tr. 139–179,doi:10.1007/128_2013_486,PMID24287952
Herrlich, Horst (1992), "Hyperconvex hulls of metric spaces", Proceedings of the Symposium on General Topology and Applications (Oxford, 1989),Topology and Its Applications,44 (1–3):181–187,doi:10.1016/0166-8641(92)90092-E,MR1173256
Katoh, Naoki (1992), "Bicriteria network optimization problems",IEICE Trans. Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, E75-A:321–329
Kernohan, Brian J.; Gitzen, Robert A.; Millspaugh, Joshua J. (2001), "Analysis of animal space use and movements", trong Millspaugh, Joshua; Marzluff, John M. (biên tập),Radio Tracking and Animal Populations, Academic Press,ISBN9780080540221
Kiselman, Christer O. (2002), "A semigroup of operators in convexity theory",Transactions of the American Mathematical Society,354 (5):2035–2053,doi:10.1090/S0002-9947-02-02915-X,MR1881029
Kőnig, Dénes (tháng 12 năm 1922), "Über konvexe Körper",Mathematische Zeitschrift,14 (1):208–210,doi:10.1007/bf01215899,S2CID128041360; xem thêm bình duyệt của Hans Rademacher (1922),JFM48.0835.01
Laurentini, A. (1994), "The visual hull concept for silhouette-based image understanding",IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,16 (2):150–162,doi:10.1109/34.273735
Lee, D. T. (1983), "On finding the convex hull of a simple polygon",International Journal of Computer and Information Sciences,12 (2):87–98,doi:10.1007/BF00993195,MR0724699,S2CID28600832
McCallum, Duncan; Avis, David (1979), "A linear algorithm for finding the convex hull of a simple polygon",Information Processing Letters,9 (5):201–206,doi:10.1016/0020-0190(79)90069-3,MR0552534
Nicola, Piercarlo (2000), "General Competitive Equilibrium",Mainstream Mathematical Economics in the 20th Century, Springer, tr. 197–215,doi:10.1007/978-3-662-04238-0_16
Nilsen, Erlend B.; Pedersen, Simen; Linnell, John D. C. (2008), "Can minimum convex polygon home ranges be used to draw biologically meaningful conclusions?",Ecological Research,23 (3):635–639,doi:10.1007/s11284-007-0421-9,S2CID30843551
Oberman, Adam M. (2007), "The convex envelope is the solution of a nonlinear obstacle problem",Proceedings of the American Mathematical Society,135 (6):1689–1694,doi:10.1090/S0002-9939-07-08887-9,MR2286077
Okon, T. (2000), "Choquet theory in metric spaces",Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen,19 (2):303–314,doi:10.4171/ZAA/952,MR1768994
Ottmann, T.; Soisalon-Soininen, E.; Wood, Derick (1984), "On the definition and computation of rectilinear convex hulls",Information Sciences,33 (3):157–171,doi:10.1016/0020-0255(84)90025-2
Pulleyblank, W. R. (1983), "Polyhedral combinatorics", trong Bachem, Achim; Korte, Bernhard; Grötschel, Martin (biên tập),Mathematical Programming: The State of the Art (XIth International Symposium on Mathematical Programming, Bonn 1982), Springer, tr. 312–345,doi:10.1007/978-3-642-68874-4_13
Rappoport, Ari (1992), "An efficient adaptive algorithm for constructing the convex differences tree of a simple polygon",Computer Graphics Forum,11 (4):235–240,doi:10.1111/1467-8659.1140235,S2CID20137707
Rieffel, Eleanor G.; Polak, Wolfgang H. (2011),Quantum Computing: A Gentle Introduction, MIT Press, tr. 215–216,ISBN978-0-262-01506-6
Rockafellar, R. Tyrrell (1970),Convex Analysis, Princeton Mathematical Series, quyển 28, Princeton, N.J.: Princeton University Press,MR0274683
Rossi, Hugo (1961), "Holomorphically convex sets in several complex variables",Annals of Mathematics, Second Series,74 (3):470–493,doi:10.2307/1970292,JSTOR1970292,MR0133479
Rousseeuw, Peter J.; Ruts, Ida; Tukey, John W. (1999), "The bagplot: A bivariate boxplot",The American Statistician,53 (4):382–387,doi:10.1080/00031305.1999.10474494
Sakuma, Itsuo (1977), "Closedness of convex hulls",Journal of Economic Theory,14 (1):223–227,doi:10.1016/0022-0531(77)90095-3
Sedykh, V. D. (1981), "Structure of the convex hull of a space curve",Trudy Seminara Imeni I. G. Petrovskogo (6):239–256,MR0630708, translated inJournal of Soviet Mathematics 33 (4): 1140–1153, 1986,doi:10.1007/BF01086114
Steinitz, E. (1914), "Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme. (Fortsetzung)",Journal für die Reine und Angewandte Mathematik,1914 (144):1–40,doi:10.1515/crll.1914.144.1,MR1580890,S2CID122998337
Toussaint, Godfried (1983), "Solving geometric problems with the rotating calipers",Proceedings of IEEE MELECON '83, Athens,CiteSeerX10.1.1.155.5671
Toussaint, Godfried (1986), "An optimal algorithm for computing the relative convex hull of a set of points in a polygon",Proceedings of EURASIP, Signal Processing III: Theories and Applications, Part 2, North-Holland, tr. 853–856
Weeks, Jeffrey R. (1993), "Convex hulls and isometries of cusped hyperbolic 3-manifolds",Topology and Its Applications,52 (2):127–149,doi:10.1016/0166-8641(93)90032-9,MR1241189
White, F. Puryer (tháng 4 năm 1923), "Pure mathematics",Science Progress in the Twentieth Century,17 (68):517–526,JSTOR43432008
Whitley, Robert (1986), "The Kreĭn-Šmulian theorem",Proceedings of the American Mathematical Society,97 (2):376–377,doi:10.2307/2046536,JSTOR2046536,MR0835903
Williams, Jason; Rossignac, Jarek (2005), "Tightening: curvature-limiting morphological simplification", trong Kobbelt, Leif; Shapiro, Vadim (biên tập),Proceedings of the Tenth ACM Symposium on Solid and Physical Modeling 2005, Cambridge, Massachusetts, USA, June 13-15, 2005, ACM, tr. 107–112,doi:10.1145/1060244.1060257,hdl:1853/3736,S2CID15514388
Worton, Bruce J. (1995), "A convex hull-based estimator of home-range size",Biometrics,51 (4):1206–1215,doi:10.2307/2533254,JSTOR2533254
Đỗ Văn Lưu; Phan Huy Khải (2000), "Chương I: Tập lồi",Giải tích lồi, Hà Nội:Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, tr. 3–37. Đặc biệt xem mục "1.1.2 Bao lồi và bao lồi đóng", tr. 6–9.
