Trongđại số,định thức Brahmagupta–Fibonacci^[1][2] biến tích của hai tổng hai số chính phương thành tổng của hai số chính phương dưới hai cách khác nhau. Cụ thể hơn, định lý phát biểu

Ví dụ chẳng hạn,

${\displaystyle (1^2+4^2)(2^2+7^2)={26}^2+{15}^2={30}^2+1^2.}$

Đồng thời, định thức cho thấy tập các tổng hai số chính phươngđóng dưới phép nhân. Định thức còn biết dưới tênđịnh thức Diophantus (định thức Đi-ô-phăng),^[3][4] bởi nó được lần đầu chứng minh bởiDiophantus xứ Alexandria. Nó là trường hợp đặc biệt củađịnh lý bốn số chính phương của Euler, và cũng là củađịnh thức Lagrange.

Brahmagupta chứng minh và sử dụng dạng tổng quát hơn làđịnh thức Brahmagupta, phát biểu rằng

Định thức này cho thấy khi cố định giá trịA, tập các số dưới dạngx² + Ay² đóng dưới phép nhân.

Các định thức này thỏa mãn cho mọisố nguyên, cũng như cácsố hữu tỉ, và tổng quát hơn chúng đúng trong bất kỳvành giao hoán. Mỗi dạng của định thức đều có kiểm chứng lại bằng cách khai triển cả hai vế của phương trình.

Định thức lần đầu xuất hiện trong cuốnArithmetica (chương III, 19) củaDiofantus vào thế ký thứ ba sau công nguyên. Nó được phát hiện lại bởi Brahmagupta (598–668),nhà toán học vànhà thiên văn học người Ấn. Ông tổng quát nó thànhđịnh thức Brahmagupta rồi sử dụng chúng để áp dụng trong chophương trình Pell. CuốnBrahmasphutasiddhanta của ông sau được dịch từSanskrit sang tiếngẢ Rập bởiMohammad al-Fazari, rồi sang tiếngLatin trong 1126.^[5] Vào 1225, Fibonacci giới thiệu định thức này ở Tây Âu, trong cuốnThe Book of Squares, và do vậy, tên của định thức thường được gắn liền với ông.

Các định thức tương tự bao gồmđịnh lý bốn số chính phương của Euler liên hệ với cácquaternion, vàđịnh thức tám số chính phương của Degen lấy từ các sốoctonion mà đồng thời có quan hệ vớituần hoàn Bott. Ngoài ra còn cóđịnh thức 16 số chính phương của Pfister, song trong dạng này nó không còn song tuyến tính nữa.

Các định thức này có quan hệ mạnh mẽ vớiphân loại Hurwitz cho cácđại số hợp thành.

Định thức Brahmagupta–Fibonacci còn là dạng đặc biêt củađịnh thức Lagrange mà bản thân nó là dạng đặc biệt củađịnh thức Binet–Cauchy, định thức này được tổng quát tiếp thànhcông thức Cauchy–Binet cho định thức ma trận.

Nếua,b,c, vàd là cácsố thực, định thức Brahmagupta–Fibonacci tương đương vớitính nhân tính của giá trị tuyệt đối củasố phức:

${\displaystyle |a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.}$

Ta có thể chứng minh như sau: Khai triển vế phải và bình phương cả hai vế thu được:

${\displaystyle |a+bi{|}^2\cdot |c+di{|}^2=|(ac-bd)+i(ad+bc){|}^2,}$

mà theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối, phương trình trên tương đương với

${\displaystyle (a^2+b^2)\cdot (c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2.}$

Tính tương tự trong trường hợpa,b,c, vàd là cácsố hữu tỉ cho thấy định thức có thể suy diễn làchuẩn củatrườngQ(i) có tính nhân tính:

${\displaystyle N(a+bi)=a^2+b^2,}$

Trong bối cảnh ban đầu, Brahmagupta áp dụng phát hiện này để tìm nghiệm nguyên chophương trình Pellx² − Ay² = 1. Sử dụng định thức dưới dạng tổng quát hơn

${\displaystyle (x_1^2-A{y}_1^2)(x_2^2-A{y}_2^2)=(x_1{x}_2+A{y}_1{y}_2{)}^2-A(x_1{y}_2+x_2{y}_1{)}^2,}$

ông có thể "hợp" bộ ba (x₁, y₁, k₁) và (x₂, y₂, k₂) là nghiệm củax² − Ay² = k, để sinh ra nghiệm mới sau

${\displaystyle (x_1{x}_2+A{y}_1{y}_2,x_1{y}_2+x_2{y}_1,k_1{k}_2).}$

Không những cách này cho phép sinh vô hạn số nghiệm chox² − Ay² = 1 bắt đầu từ một nghiệm, mà khi chia phép hợp thành đó bởik₁k₂, ta có thể tìm ra nghiệm nguyên hoặc "gần nguyên" cho phương trình. Phương pháp tổng quát để giải phương trình Pell được đưa bởiBhaskara II trong 1150, với tên làphương pháp chakravala, nó cũng dựa trên định thức này.^[6]

Khi xét cùng vớicác định lý của Fermat, định thức Brahmagupta–Fibonacci có thể dùng để chứng minh tích một số chính phương với bất kỳsố nguyên tố thuộc dạng 4n + 1 có thể viết thành tổng hai số chính phương.

• Joseph, George G. (2000),The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics (ấn bản thứ 2),Princeton University Press, tr. 306,ISBN 978-0-691-00659-8
• Stillwell, John (2002),Mathematics and its history (ấn bản thứ 2),Springer, tr. 72–76,ISBN 978-0-387-95336-6

• Brahmagupta's identity tạiPlanetMath
• Brahmagupta Identity trênMathWorld
• A Collection of Algebraic IdentitiesLưu trữ ngày 6 tháng 3 năm 2012 tạiWayback Machine

• Brahmagupta
• Định thức đại số
• Số chính phương

• Bài có mô tả ngắn
• Mô tả ngắn khác với Wikidata
• Bản mẫu webarchive dùng liên kết wayback