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Spasio vetorial

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Se dixespasio vetoriàłe sóra uncanpoC{\displaystyle C} n'insiemeV{\displaystyle V} cò dò operasion:+:V×V→V{\displaystyle +:V\times V\rightarrow V}, ciamàdasoma, che xe comutativa e∗:C×V→V{\displaystyle *:C\times V\rightarrow V}, ciamàdamoltiplicasion par 'no scałare, che łe ga ste proprietá:

(i)α∗(β∗v)=(α∗β)v{\displaystyle \alpha *(\beta *v)=(\alpha *\beta )v}

(ii)(α+β)∗v=α∗v+β∗v{\displaystyle (\alpha +\beta )*v=\alpha *v+\beta *v}

(iii)α∗(v+w)=α∗v+α∗w{\displaystyle \alpha *(v+w)=\alpha *v+\alpha *w}

(iv)1∗v=v{\displaystyle 1*v=v}

par ogniv,w∈V{\displaystyle v,w\in V} e par ogniα,β∈C{\displaystyle \alpha ,\beta \in C}.

I elementi de 'no spasio vetoriałe i se ciàmavetòri. Elvetòre xero el xe l'elemento0V{\displaystyle 0_{V}} xero de ła sòma inV{\displaystyle V} (xe fasiłe controłàre che el sodisfa łe proprietà de sòra).

'NsotoinsiemeW{\displaystyle W} deV{\displaystyle V} el se dixesotospasio vetoriałe deV{\displaystyle V} (e el se scriveW⊴V{\displaystyle W\trianglelefteq V}) se xe vera una de ste proprietà (łe xe tute conpagne, se ła xe vera una ełora łe xe vere anca łe altre dò, se una ła xe sbajà ełora łe xe sbajà anca łe altre dò):

(i)u,w∈W,α,β∈C⇒αu+βw∈W{\displaystyle u,w\in W,\alpha ,\beta \in C\Rightarrow \alpha u+\beta w\in W};

(ii)u,w∈W,α,β∈C⇒u+v∈W{\displaystyle u,w\in W,\alpha ,\beta \in C\Rightarrow u+v\in W} eαu∈W{\displaystyle \alpha u\in W};

(iii)W{\displaystyle W} el xe sarà parcombinasioni lineari:α1w1+...+αkwk∈W{\displaystyle \alpha _{1}w_{1}+...+\alpha _{k}w_{k}\in W}∀wi∈W,∀αi∈C{\displaystyle \forall w_{i}\in W,\forall \alpha _{i}\in C}.

'N exenpio de spasio vetoriałe sarìaR{\displaystyle \mathbb {R} }, o anca mejo sarìaRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.Q⊴Qn{\displaystyle \mathbb {Q} \trianglelefteq \mathbb {Q} ^{n}} (risp.R⊴Rn{\displaystyle \mathbb {R} \trianglelefteq \mathbb {R} ^{n}}) xe un exenpio de sotospasio.

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