Klassik mexanikadagolonomik cheklovlar pozitsiya oʻzgaruvchilari (va ehtimol vaqt) oʻrtasidagi munosabatlar boʻlib, ular quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin^[1]:

${\displaystyle f(u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n,t)=0}$

bu yerda${\displaystyle \{u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n\}}$ tizimni tavsiflovchin ta umumlashtirilgan koordinatalar (cheklanmagankonfiguratsiya maydonida). Masalan,shar yuzasida yotish bilan chegaralangan zarrachaning harakati golonomik cheklanishga boʻysunadi, lekin agar zarracha tortishish kuchi taʼsirida sferadan tushishi mumkin boʻlsa, cheklov golonomik boʻlmagan boʻladi. Birinchi holda, golonomik cheklov tenglama bilan berilishi mumkin

${\displaystyle r^2-a^2=0}$

bu yerda${\displaystyle r}$ radiusli sharning markazidan masofa${\displaystyle a}$, holbuki, ikkinchi holonomik boʻlmagan holat tomonidan berilishi mumkin

${\displaystyle r^2-a^2\ge 0}$

Tezlikka bogʻliq cheklovlar (yarim golonomik cheklovlar deb ham ataladi) masalan^[2],

${\displaystyle f(u_1,u_2,\dots ,u_n,{\dot{u}}_1,{\dot{u}}_2,\dots ,{\dot{u}}_n,t)=0}$

odatda golonomik emas.

Klassik mexanikada tizimning barcha cheklovlarigolonomik boʻlsa, tizim golonomik deb taʼriflanishi mumkin. Cheklov golonomik boʻlishi uchun ufunksiya sifatida ifodalanishi kerak:

${\displaystyle f(u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n,t)=0,}$

yaʼnigolonomik cheklov faqat koordinatalarga bogʻliq${\displaystyle x_j}$ va ehtimol vaqt${\displaystyle t}$^[1]. Bu tezliklarga yokit ga nisbatan yuqori tartibli hosilaga bogʻliq emas. Yuqorida koʻrsatilgan shaklda ifodalab boʻlmaydigan cheklov golonomik boʻlmagan cheklovdir .

Yuqorida taʼriflanganidek, golonomik tizim (oddiy qilib aytganda) tizimning holatini faqat vaqt oʻtishi bilan tizim tarkibiy qismlariningoʻzgarishini bilish orqali chiqarish mumkin boʻlgan tizimdir, lekin tezlikni yoki nimada ekanligini bilish shartemas . komponentlarni bir-biriga nisbatan koʻchirishni buyurtma qiling. Bundan farqli oʻlaroq, golonomik boʻlmagan tizim koʻpincha tizim holatining oʻzgarishini aniqlash uchun vaqt oʻtishi bilan tarkibiy qismlarning tezligi maʼlum boʻlishi kerak boʻlgan tizim yoki harakatlanuvchi qism cheklovga bogʻlana olmaydigan tizimdir. yuza, haqiqiy yoki xayoliy. Golonomik tizimlarga misollar portal kranlar, mayatniklar va robot qoʻllardir. Golonomik boʻlmagan tizimlarga misollar Segways, velosipedlar va avtomobillardir.

Konfiguratsiya maydoni${\displaystyle \overrightarrow{u}}$ Har bir erkinlik darajasi uchun bittadan tizim tarkibiy qismlarining siljishini sanab oʻtadi. Konfiguratsiya maydoni yordamida tavsiflanishi mumkin boʻlgan tizim skleronomik deb ataladi.

Voqealar maydoni konfiguratsiya maydoni bilan bir xil, oʻzgaruvchini qoʻshishdan tashqari${\displaystyle t}$ vaqt oʻtishi bilan tizimdagi oʻzgarishlarni ifodalash (agar tizimni tavsiflash uchun kerak boʻlsa). Faqat konfiguratsiya maydoni oʻrniga hodisa maydoni yordamida tasvirlanishi kerak boʻlgan tizim reonomik deb ataladi. Koʻpgina tizimlarni skleronomik yoki reonomik jihatdan tavsiflash mumkin. Masalan, mayatnikning umumiy ruxsat etilgan harakatini skleronomik cheklash bilan tasvirlash mumkin, lekin mayatnikning vaqt ichida harakatini reonomik cheklash bilan tasvirlash kerak.

Holat maydoni${\displaystyle \overrightarrow{q}}$ konfiguratsiya maydoni, shuningdek, konfiguratsiya maydonidagi har bir atama tezligini tavsiflovchi shartlar.

Holat-vaqt fazosi vaqtni qoʻshadi${\displaystyle t}$ .

Oʻng tomonda koʻrsatilganidek, portalli kran — bu oʻqlar bilan koʻrsatilgandek, oʻz holatini 3 oʻqda harakatlantirishga qodir boʻlgan yuqori imkoniyatlarga ega kran. Intuitiv ravishda biz kran golonomik tizim boʻlishi kerak degan xulosaga kelishimiz mumkin, chunki uning tarkibiy qismlarining maʼlum bir harakati uchun komponentlar qanday tartib yoki tezlikda harakatlanishi muhim emas: har bir komponentning maʼlum bir boshlangʻich holatidan toʻliq siljishi sharti bilan. bir xil boʻlsa, barcha qismlar va butun tizim bir xil holatda tugaydi. Matematik jihatdan biz buni quyidagicha isbotlashimiz mumkin:

Tizimning konfiguratsiya maydonini quyidagicha belgilashimiz mumkin:

${\displaystyle \overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]}$

Aytishimiz mumkinki, kranning har bir komponentining „nol“ holatidan egilishi${\displaystyle B}$,${\displaystyle G}$, va${\displaystyle O}$, mos ravishda koʻk, yashil va toʻq sariq komponentlar uchun. Koordinatalar tizimining yoʻnalishi va joylashishi tizimning golonomik ekanligida muhim emas, lekin bu misolda komponentlar uning oʻqlariga parallel ravishda harakatlanadi. Agar koordinata tizimining kelib chiqishi kranning orqa-pastki-chap qismida boʻlsa, u holda biz pozitsiyani cheklash tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin:

${\displaystyle (x-B)+(y-G)+(z-(h-O))=0}$

bu yerda${\displaystyle h}$ kranning balandligi. Biz standart shaklga soddalashtirishimiz mumkin, bu yerda barcha konstantalar oʻzgaruvchilardan keyin joylashtiriladi:

${\displaystyle x+y+z-(B+G+h-O)=0}$

Chunki biz cheklovchi tenglamani golonomik shaklda oldik (aniqrogʻi, cheklash tenglamamiz shunday koʻrinishga ega.${\displaystyle f(x,y,z)=0}$, bu yerda${\displaystyle \{x,y,z\}\in \overrightarrow{u}}$), bu tizim golonomik boʻlishi kerakligini koʻrishimiz mumkin.

Oʻng tomonda koʻrsatilganidek, oddiymayatnik ogʻirlik va ipdan tashkil topgan tizimdir. Ip yuqori uchida burilishga, pastki uchida esa ogʻirlikga biriktiriladi. Uzayib boʻlmaydigan boʻlib, ipning uzunligi doimiydir. Bu tizim golonomikdir, chunki u golonomik cheklovga boʻysunadi:

${\displaystyle x^2+y^2-L^2=0,}$

bu yerda${\displaystyle (x,y)}$ ogʻirlikning holati va${\displaystyle L}$ satr uzunligi.

Qattiq jismning zarralari golonomik cheklovga boʻysunadi

${\displaystyle ({\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j{)}^2-L_{ij}^2=0,}$

bu yerda${\displaystyle {\mathbf{r}}_i}$,${\displaystyle {\mathbf{r}}_j}$ mos ravishda zarrachalarning joylashuvi${\displaystyle P_i}$ va${\displaystyle P_j}$, va${\displaystyle L_{ij}}$ ular orasidagi masofa hisoblanadi. Agar berilgan tizim golonomik boʻlsa, koʻrib chiqilayotgan tizimning tarkibiy qismlariga qoʻshimcha qismlarni qattiq bogʻlash uni golonomik boʻlmasligi mumkin, chunki erkinlik darajalari kamaymaydi (boshqacha qilib aytganda, konfiguratsiya maydoni oʻzgarmagan deb hisoblasak).

Cheklovning quyidagi differensial shaklini koʻrib chiqamiz:

${\displaystyle \sum _j{A}_{ij}d{u}_j+A_{i}dt=0}$

bu yerda${\displaystyle A_{ij},A_i}$ differensiallarning koeffitsientlaridir${\displaystyle d{u}_j,dt}$i cheklov tenglamasi uchun. Bu shaklPfaff shakli yokidifferensial shakl deb ataladi.

Agar differensial shakl integrallansa, yaʼni funksiya mavjud boʻlsa${\displaystyle f_i(u_1,u_2,u_3,\dots ,u_n,t)=0}$ tenglikni qondiramiz

${\displaystyle d{f}_i=\sum _j{A}_{ij}d{u}_j+A_{i}dt=0}$

u holda bu cheklov golonomik cheklashdir; aks holda, bu golonomik emas. Shuning uchun barcha golonomik va baʼzi nogolonomik cheklovlarni differensial shakl yordamida ifodalash mumkin. Bu tarzda ifodalab boʻlmaydigan golonomik cheklovlarga misollar umumlashtirilgan tezliklarga bogʻliq boʻlganlardir.  Pfaff koʻrinishidagi cheklash tenglamasi bilan cheklov golonomik yoki nogolonomik boʻladimi, Pfaff shakli integrallanishiga bogʻliq. Pfaffian shakli cheklovining integratsiyalashuvini (yoki yoʻqligini) tekshirish uchun test tavsifi uchun quyidagi golonomik cheklovlar uchun universal testga qarang.

Agar tizimning cheklash tenglamasi Pfaff cheklash shaklida yozilgan boʻlsa, tizim golonomik yoki yoʻqligini aniqlash uchun matematik test mavjud.

Cheklov tenglamasi uchun yoki${\displaystyle i}$ cheklash tenglamalari toʻplami (yuqoridagi kabi vaqtni ifodalovchi oʻzgaruvchi(lar)ni kiritish mumkinligiga eʼtibor bering.${\displaystyle A_i\in A_{ij}}$ va${\displaystyle dt\in d{u}_j}$ quyidagi shaklda):

${\displaystyle \sum _j^n{A}_{ij}d{u}_j=0;}$

test tenglamasidan foydalanishimiz mumkin:

${\displaystyle A_{\gamma }\left(\frac{\mathrm{\partial }{A}_{\beta }}{\mathrm{\partial }{u}_{\alpha }}-\frac{\mathrm{\partial }{A}_{\alpha }}{\mathrm{\partial }{u}_{\beta }}\right)+A_{\beta }\left(\frac{\mathrm{\partial }{A}_{\alpha }}{\mathrm{\partial }{u}_{\gamma }}-\frac{\mathrm{\partial }{A}_{\gamma }}{\mathrm{\partial }{u}_{\alpha }}\right)+A_{\alpha }\left(\frac{\mathrm{\partial }{A}_{\gamma }}{\mathrm{\partial }{u}_{\beta }}-\frac{\mathrm{\partial }{A}_{\beta }}{\mathrm{\partial }{u}_{\gamma }}\right)=0}$

bu yerda$${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma =1,2,3\dots n}$$ichida$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ har bir cheklov tenglamasi uchun sinov tenglamalarining kombinatsiyasi${\displaystyle i}$ cheklash tenglamalari toʻplami.

Boshqacha qilib aytadigan boʻlsak, uchta oʻzgaruvchidan iborat tizimni shartlar bilan bitta test tenglamasi bilan bir marta sinab koʻrish kerak boʻladi.${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ shartlar boʻlish${\displaystyle 1,2,3}$ cheklash tenglamasida (har qanday tartibda), lekin toʻrtta oʻzgaruvchidan iborat tizimni sinab koʻrish uchun testtoʻrt martagacha toʻrt xil sinov tenglamalari bilan, atamalar bilan bajarilishi kerak boʻladi.${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ shartlar boʻlish${\displaystyle 1,2,3}$,${\displaystyle 1,2,4}$,${\displaystyle 1,3,4}$, va${\displaystyle 2,3,4}$ cheklash tenglamasida (har biri har qanday tartibda) toʻrt xil testda. Beshta oʻzgaruvchidan iborat tizim uchun bu haqiqatni tekshirish uchun golonomik tizimdaoʻnta test va uchta cheklash tenglamalari toʻplamiga ega besh oʻzgaruvchidan iborat tizim uchunoʻttizta test (oʻzgaruvchining oʻzgarishi kabi soddalashtirilgan holda) oʻtkazilishi kerak. bu raqamni kamaytirish uchun bajarilmaydi). Shu sababli, ushbu usulni uchdan ortiq oʻzgaruvchiga ega tizimlarda qoʻllashda, koʻrib chiqilayotgan tizim golonomik yoki yoʻqligi haqida umumiy fikrni qoʻllash tavsiya etiladi va agar tizim boʻlmasa, sinovdan oʻtish kerak. Bundan tashqari, matematik sezgidan foydalanib, qaysi test birinchi boʻlib muvaffaqiyatsiz boʻlishini bashorat qilishga urinib koʻrish va shu bilan boshlash, avvaliga muvaffaqiyatli boʻlishi mumkin boʻlgan testlarni oʻtkazib yuborish yaxshiroqdir.

Agar har bir sinov tenglamasi barcha cheklash tenglamalari uchun kombinatsiyalar toʻplami uchun toʻgʻri boʻlsa, tizim golonomik hisoblanadi. Agar u hatto bitta test kombinatsiyasi uchun notoʻgʻri boʻlsa, tizim golonomik boʻlmagan.

Pfaff koʻrinishidagi cheklash tenglamasi bilan tasvirlangan ushbu dinamik tizimni koʻrib chiqing:

${\displaystyle (\cos \theta )dx+(\sin \theta )dy+(y\cos \theta -x\sin \theta )d\theta =0}$

Tekshirish orqali konfiguratsiya maydoni . Konfiguratsiya maydonida faqat uchta atama mavjud boʻlgani sababli, faqat bitta sinov tenglamasi kerak boʻladi. Oʻzgartirishga tayyorgarlik koʻrish uchun biz cheklash tenglamasining shartlarini shunday tashkil qilishimiz mumkin:

${\displaystyle A_{\alpha }=\cos \theta }$

${\displaystyle A_{\beta }=\sin \theta }$

${\displaystyle A_{\gamma }=y\cos \theta -x\sin \theta }$

${\displaystyle u_{\alpha }=dx}$

${\displaystyle u_{\beta }=dy}$

${\displaystyle u_{\gamma }=d\theta }$

Shartlarni almashtirib, test tenglamamiz quyidagicha boʻladi:

${\displaystyle (y\cos \theta -x\sin \theta )(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(\sin \theta )-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(\cos \theta ))+(\sin \theta )(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }(\cos \theta )-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}(y\cos \theta -x\sin \theta ))+(\cos \theta )(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}(y\cos \theta -x\sin \theta )-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\theta }(\sin \theta ))=0}$

Barcha qisman hosilalarni hisoblab chiqqach, biz quyidagilarni olamiz:

${\displaystyle (y\cos \theta -x\sin \theta )(0-0)+(\sin \theta )(-\sin \theta -(-\sin \theta ))+(\cos \theta )(\cos \theta -\cos \theta )=0}$

Soddalashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

${\displaystyle 0=0}$

Bizning sinov tenglamamiz toʻgʻri ekanligini koʻramiz va shuning uchun tizim golonomik boʻlishi kerak.

Biz sinovni tugatdik, ammo endi tizim golonomik ekanligini bilib, golonomik cheklash tenglamasini topishni xohlashimiz mumkin. Biz uni Pfaff shaklining har bir atamasini birlashtirib, ularni bitta tenglamaga birlashtirishga harakat qilish orqali topishga harakat qilishimiz mumkin, masalan:

${\displaystyle \int (\cos \theta )dx=x\cos \theta +f(y,\theta )}$

${\displaystyle \int (\sin \theta )dy=y\sin \theta +f(x,\theta )}$

${\displaystyle \int (y\cos \theta -x\sin \theta )d\theta =y\sin \theta +x\cos \theta +f(x,y)}$

Golonomik cheklash tenglamasini topish uchun integratsiyalarimiz natijalarini birlashtira olishimizni koʻrish oson:

${\displaystyle y\sin \theta +x\cos \theta +C=0}$

Bu yerda C — integratsiya konstantasi.

Berilgan Pfaff cheklovi uchun har bir differensialning har bir koeffitsienti doimiy, boshqacha qilib aytganda, cheklov koʻrinishida:

${\displaystyle \sum _j{A}_{ij}d{u}_j+A_{i}dt=0;\{A_{ij},A_i;j=1,2,\dots ;i=1,2,\dots \}\in \mathbb{R}}$

cheklov golonomik boʻlishi kerak.

Buni quyidagicha isbotlashimiz mumkin: toʻgʻridan-toʻgʻri yuqorida tavsiflanganidek, har bir differentsialning har bir koeffitsienti doimiy boʻlgan Pfaff koʻrinishidagi cheklovlar tizimini koʻrib chiqing. Ushbu cheklovlar tizimining golonomik ekanligini tekshirish uchun biz universal testdan foydalanamiz. Koʻrishimiz mumkinki, sinov tenglamasida nolga teng boʻlishi kerak boʻlgan uchta atama mavjud. Shuning uchun, agar har bir test tenglamasidagi ushbu uchta shartning har biri nolga teng boʻlsa, unda barcha test tenglamalari toʻgʻri va bu tizim golonomikdir. Har bir test tenglamasining har bir atamasi quyidagi shaklda boʻladi:

${\displaystyle A_3\left(\frac{\mathrm{\partial }{A}_2}{\mathrm{\partial }{u}_1}-\frac{\mathrm{\partial }{A}_1}{\mathrm{\partial }{u}_2}\right)}$

bu yerda:

• ${\displaystyle A_1}$,${\displaystyle A_2}$, va${\displaystyle A_3}$ baʼzi kombinatsiyalar ($(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})=n(n-1)(n-2)/6$ bilan jami kombinatsiyalar) ning${\displaystyle A_{ij};j=1,2,\dots }$ va${\displaystyle A_i}$ berilgan cheklov uchun${\displaystyle i}$ .
• ${\displaystyle u_1}$,${\displaystyle u_2}$, va${\displaystyle u_3}$ ning mos keladigan birikmasidir${\displaystyle u_j;j=1,2,\dots }$ va${\displaystyle dt}$ .

Bundan tashqari, mavjud${\displaystyle i}$ test tenglamalari toʻplami.

Biz taʼrifi boʻyicha hammasini koʻrishimiz mumkin${\displaystyle A_n}$ doimiylardir. Maʼlumki, har qanday konstantaning hosilasi${\displaystyle 0}$ (toʻliq yoki qisman) boʻladi. Shunday qilib, biz har bir qisman hosilani quyidagicha qisqartirishimiz mumkin:

${\displaystyle A_3(0-0)}$

va shuning uchun har bir atama nolga teng, chap tomonda har bir test tenglamasi nolga teng, har bir test tenglamasi toʻgʻri va tizim golonomikdir.

Pfaff cheklovi bilan tavsiflanishi mumkin boʻlgan va faqat ikkita oʻzgaruvchi yoki bitta oʻzgaruvchidan iborat konfiguratsiya maydoni yoki holat maydoniga ega boʻlgan har qanday tizim golonomik hisoblanadi.

Biz buni quyidagicha isbotlashimiz mumkin: konfiguratsiya maydoni yoki holat fazosi bilan dinamik tizimni koʻrib chiqing:

agar tizim holat fazosi bilan tasvirlangan boʻlsa, biz shunchaki aytamiz${\displaystyle u_2}$ bizning vaqt oʻzgaruvchimizga teng${\displaystyle t}$ . Ushbu tizim Pfaffian shaklida tasvirlanadi:

${\displaystyle A_{i1}d{u}_1+A_{i2}d{u}_2=0}$

bilan${\displaystyle i}$ cheklovlar toʻplami. Tizim universal test yordamida sinovdan oʻtkaziladi. Biroq, universal test konfiguratsiya yoki davlat maydonida uchta oʻzgaruvchini talab qiladi. Buni amalga oshirish uchun biz shunchaki qoʻgʻirchoq oʻzgaruvchini qoʻshamiz${\displaystyle \lambda }$ shakllantirish uchun konfiguratsiya yoki holat maydoniga:

Chunki soxta oʻzgaruvchi${\displaystyle \lambda }$ taʼrifi boʻyicha tizimdagi biror narsaning oʻlchovi emas, uning Pfaff koʻrinishidagi koeffitsienti boʻlishi kerak${\displaystyle 0}$ . Shunday qilib, biz Pfaffian shaklimizni qayta koʻrib chiqamiz:

${\displaystyle A_{i1}d{u}_1+A_{i2}d{u}_2+0d\lambda =0}$

Endi biz testdan maʼlum bir cheklov uchun foydalanishimiz mumkin${\displaystyle i}$ Agar cheklovlar toʻplami mavjud boʻlsa:

${\displaystyle (0)(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{u}_1}(A_{i2})-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{u}_2}(A_{i1}))+(A_{i2})(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\lambda }(A_{i1})-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{u}_1}(0))+(A_{i1})(\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{u}_2}(0)-\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\lambda }(A_{i2}))=0}$

Buni anglagandan keyin :${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }\lambda }(f(u_1,u_2))=0}$ chunki soxta oʻzgaruvchi${\displaystyle \lambda }$ tizimni tavsiflash uchun ishlatiladigan koeffitsientlarda paydo boʻlishi mumkin emas, biz sinov tenglamasi barcha cheklash tenglamalari toʻplami uchun toʻgʻri boʻlishi kerakligini va shuning uchun tizim golonomik boʻlishi kerakligini koʻramiz. Shunga oʻxshash dalilni konfiguratsiya yoki holat boʻshligʻidagi bitta haqiqiy oʻzgaruvchi va ikkita qoʻgʻirchoq oʻzgaruvchi bilan Pfaff shaklida tasvirlangan erkinlik darajasidagi tizimlar ham har doim golonomik ekanligini tasdiqlash uchun amalga oshirish mumkin.

Xulosa qilib shuni tushunamizki, golonomik boʻlmagan tizimlarni Pfaff shaklida modellashtirish mumkin boʻlsa ham, Pfaff shaklida modellashtirilishi mumkin boʻlgan har qanday tizim ikki yoki undan kam erkinlik darajasiga ega (erkinlik darajalari soni konfiguratsiya maydonidagi atamalar soniga teng).) golonomik boʻlishi kerak.

Muhim eslatma: test tenglamasi bajarilmadi, chunki testga kiritilgan qoʻgʻirchoq oʻzgaruvchi va shuning uchun testga kiritilgan qoʻgʻirchoq differentsial haqiqiy konfiguratsiya yoki holat boʻshligʻi oʻzgaruvchilari funksiyasi boʻlgan har qanday narsani farqlaydi.${\displaystyle 0}$ . Quyidagi konfiguratsiya yoki holat maydoniga ega tizimga ega boʻlish:

va bir yoki bir nechta cheklovlar Pfaff shaklida boʻlgan cheklovlar toʻplami:

${\displaystyle A_{i1}d{u}_1+A_{i2}d{u}_2+0d{u}_3=0}$

tizimning golonomikliginikafolatlamaydi, chunki bitta differentsial koeffitsientga ega boʻlsa ham${\displaystyle 0}$, konfiguratsiya yoki davlat maydonida tasvirlangan uchta erkinlik darajasi hali ham mavjud.

Golonomik cheklash tenglamalari tizimimizdagi baʼzi bogʻliq oʻzgaruvchilarni osongina olib tashlashga yordam beradi. Misol uchun, agar biz olib tashlashni xohlasak${\displaystyle x_d}$, bu cheklash tenglamasining parametridir${\displaystyle f_i}$, biz tenglamani quyidagi shaklga oʻzgartirishimiz mumkin, buni amalga oshirish mumkin deb faraz qilamiz,

${\displaystyle x_d=g_i(x_1,x_2,x_3,\dots ,x_{d-1},x_{d+1},\dots ,x_N,t),}$

va${\displaystyle x_d}$ ni almashtiring. Yuqoridagi funksiyadan foydalangan holda tizimning har bir tenglamasida. Buni har doim umumiy jismoniy tizimlar uchun qilish mumkin, agar hosilasi boʻlsa${\displaystyle f_i}$ uzluksiz boʻlsa, u holda yashirin funktsiya teoremasi boʻyicha, yechim${\displaystyle g_i}$, baʼzi ochiq toʻplamlarda kafolatlangan. Shunday qilib, qaram oʻzgaruvchining barcha hodisalarini olib tashlash mumkin${\displaystyle x_d}$ .

Aytaylik, fizik tizim mavjud${\displaystyle N}$ erkinlik darajalari. Endi,${\displaystyle h}$ tizimga golonomik cheklovlar qoʻyiladi. Keyin erkinlik darajalari soni kamayadi${\displaystyle m=N-h}$ . Biz foydalanishimiz mumkin${\displaystyle m}$ mustaqil umumlashtirilgan koordinatalar (${\displaystyle q_j}$) sistemaning harakatini toʻliq tasvirlash. Transformatsiya tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin:

${\displaystyle x_i=x_i(q_1,q_2,\dots ,q_m,t),i=1,2,\dots N.}$

Klassik fizikani qatʼiy va uslubiy oʻrganish uchun biz tizimlarni tasniflashimiz kerak. Oldingi muhokamaga asoslanib, biz fizik tizimlarni golonomik tizimlarga va golonomik boʻlmagan tizimlarga ajratishimiz mumkin. Koʻpgina teorema va tenglamalarni qoʻllash shartlaridan biri bu sistema golonomik tizim boʻlishi kerak. Masalan, agar fizik tizim golonomik tizim va monogen sistema boʻlsa, u holda Gamilton prinsipi Lagrange tenglamasining toʻgʻriligi uchun zarur va etarli shartdir^[3].

"https://uz.wikipedia.org/w/index.php?title=Golonomik_cheklovlar&oldid=5231399" dan olindi

• Mexanika
• Fizika