Удиференціальній геометрії,скрут кривої (англ.torsion of a curve) — це кількісна міра відхиленнякривої відстичної площини. Таким чином,скрут вказує наскількикрива відрізняється від формиплоскої кривої.

Для плоскої кривої скрут дорівнює нулю. Коли скрут кривої є мірою відхилення від площини, токривина кривої є мірою відхилення від прямої.

Нехай${\displaystyle P}$ — довільна точка регулярноїкривої${\displaystyle \gamma }$,${\displaystyle Q}$ — точкакривої, що близька до${\displaystyle P}$. Позначимо через${\displaystyle \mathrm{\Delta }\alpha }$кут міжстичними площинамикривої в точках${\displaystyle P}$ та${\displaystyle Q}$, а через${\displaystyle \mathrm{\Delta }s}$ — довжину дуги${\displaystyle PQ}$кривої. Тоді${\displaystyle \underset{Q\to P}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{\mathrm{\Delta }s}}$, якщо він існує, називається абсолютнимскрутом кривої${\displaystyle \gamma }$ в точці${\displaystyle P}$ і позначається через${\displaystyle |k_2|}$^[1].

Абсолютнийскрут кривої в точці${\displaystyle P}$ дорівнюєкутовій швидкостіобертання бінормалікривої навколо точки${\displaystyle Q}$, тобто${\displaystyle |k_2|=\underset{\mathrm{\Delta }s\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }\alpha }{\mathrm{\Delta }s},}$ де${\displaystyle \mathrm{\Delta }\alpha }$ —кут повороту бінормалі, що відповідає приросту довжини дуги${\displaystyle \mathrm{\Delta }s}$. Скрут буде додатнім (від'ємним), якщо при спостереженні з кінцявектора швидкостівектор бінормалі прирусі точки покривій обертається проти (по) годинникової стрілки.

${\displaystyle |k_2|=|{\overline{\beta }}_s^{\prime }|=\frac{|({\overline{r}}_s^{\prime },{\overline{r}}_s^{″},{\overline{r}}_s^{‴})|}{k_1^2}}$,

Доведення. Розглянемо властивостівектора${\displaystyle \overline{\beta }}$:

1. ${\displaystyle {\overline{\beta }}^{\prime }\mathrm{\perp }\overline{\beta }}$, бо${\displaystyle \overline{\beta }}$ —одиничний вектор, отже${\displaystyle {\overline{\beta }}^2=const}$,${\displaystyle 2\overline{\beta }{\overline{\beta }}^{\prime }=0}$;
2. ${\displaystyle {\overline{\beta }}^{\prime }\mathrm{\perp }\overline{\tau }}$ (оскільки${\displaystyle \overline{\beta }=[\overline{\tau },\overline{\nu }]}$, зпершої формули Френе:${\displaystyle \frac{d\overline{\tau }}{ds}=k_1\overline{\nu }}$ і${\displaystyle \frac{d\overline{\beta }}{ds}=[\frac{d\overline{\tau }}{ds},\overline{\nu }]+[\overline{\tau },\frac{d\overline{\nu }}{ds}]=[\overline{\tau },{\overline{\nu }}^{\prime }]}$); Тут${\displaystyle \overline{\tau },\overline{\nu }}$ познадають відповідно одиничні дотичний і нормальний вектори,${\displaystyle k_1}$— кривину кривої у відповідній точці.
3. ${\displaystyle \frac{d\overline{\beta }}{ds}=-k_2\overline{\nu }}$ (третя формула Френе).

Таким чином,${\displaystyle |k_2|=\frac{|d\overline{\beta }|}{|ds|}}$.

Знайдемо тепер${\displaystyle \frac{|d\overline{\beta }|}{|ds|}}$,${\displaystyle {\overline{\beta }}^{\prime }=-k_2\overline{\nu }}$,${\displaystyle {\overline{\beta }}^{\prime }\cdot \overline{\nu }=-k_2{\overline{\nu }}^2}$ або${\displaystyle k_2={\overline{\beta }}^{\prime }\cdot {\nu }^2}$.

Враховуючи властивість 2 тапершу формулу Френе і розглядаючикривину${\displaystyle k}$ як функцію${\displaystyle s}$, маємо:

${\displaystyle k_2=[\overline{\tau },{\overline{\nu }}^{\prime }]\cdot \overline{\nu }=-[{\overline{r}}^{\prime },(\frac{1}{k_1}{\overline{r}}^{″}{)}^{\prime }]\cdot \frac{1}{k_1}{\overline{r}}^{″}=-\frac{1}{k_1^3}[{\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{‴}{k}_1-{\overline{r}}^{″}{k}_1^{\prime }]{\overline{r}}^{″}=\frac{1}{k_1^3}([{\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{″}]k_1^{\prime }{\overline{r}}^{″}-[{\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{‴}]{\overline{r}}^{″}{k}_1)=\frac{({\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{″},{\overline{r}}^{‴})}{k_1^2}}$.

Отже,${\displaystyle |k_2|=\frac{|({\overline{r}}_s^{\prime },{\overline{r}}_s^{″},{\overline{r}}_s^{‴})|}{k_1^2}}$

Нехай${\displaystyle \overline{r}=\overline{r}(t)}$ — регулярнапараметризаціякривої${\displaystyle \gamma }$,${\displaystyle \overline{r}\in {\mathbb{C}}^3}$.Тоді,${\displaystyle |k_2|=\frac{|({\overline{r}}_t^{\prime },{\overline{r}}_t^{″},{\overline{r}}_t^{‴})|}{[{\overline{r}}_t^{\prime },{\overline{r}}_t^{″}{]}^2}}$ — абсолютний скрут в довільній параметризації.Для${\displaystyle F(x,y,z)=0}$ скрут кривої обчислюється за формулою:

${\displaystyle |k_2|=\frac{x^{‴}(y^{\prime }{z}^{″}-y^{″}{z}^{\prime })+y^{‴}(x^{″}{z}^{\prime }-x^{\prime }{z}^{″})+z^{‴}(x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime })}{(y^{\prime }{z}^{″}-y^{″}{z}^{\prime }{)}^2+(x^{″}{z}^{\prime }-x^{\prime }{z}^{″}{)}^2+(x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }{)}^2}}$.

Якщоскрут кривої дорівнює нулю${\displaystyle |k_2|=0}$, токрива плоска.

Обчислимо скрутгвинтової лінії:${\displaystyle \{\begin{array}{l}x(t)=a\cdot \cos t,\\ y(t)=a\cdot \sin t,\\ z(t)=b\cdot t,\end{array}}$.Оскільки

${\displaystyle {\overline{r}}_t^{\prime }=(-a\cdot \sin t,a\cdot \cos t,b);}$

${\displaystyle {\overline{r}}_t^{″}=(-a\cdot \cos t,-a\cdot \sin t,0);}$

${\displaystyle {\overline{r}}_t^{‴}=(a\cdot \sin t,-a\cdot \cos t,0),}$

то

${\displaystyle ({\overline{r}}^{\prime },{\overline{r}}^{″},{\overline{r}}^{‴})=b{a}^2.}$

Тоді

${\displaystyle k_2=-\frac{b}{a^2+b^2}.}$

• Синцов Д.М.Диференціяльна геометрія. — Х.: : Радянська школа, 1931. — 272 с.(укр.)
• Борисенко, О. А.Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — 304 с. —ISBN 5-7768-0388-8.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц.Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)

• Диференціальна геометрія кривих
• Кривина (Математика)

• Сторінки, що використовують магічні посилання ISBN