Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Перейти до вмісту
Вікіпедія
Пошук

Площина

Очікує на перевірку
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Статус версії сторінки

На цій сторінці показано неперевірені зміни

Дві площини, що перетинаються

Площина́ — одне з основних понятьгеометрії. У систематичному викладенні геометрії поняттяплощини зазвичай сприймають як первісне, яке лише опосередковано визначаєтьсяаксіомами геометрії.Рівняння площини вперше трапляється вА. К. Клеро (1731), рівняння площини у відрізках, вочевидь, вперше трапяється в Ламе (1816—1818), нормальне рівняння увів (1861).

Деякі характерні властивості площини

[ред. |ред. код]
  • Площина —поверхня, яка повністю містить кожнупряму, що сполучає її довільніточки;
  • Площина —множина точок, рівновіддалених від двох заданих.

Площини в тривимірному Евклідовому просторі

[ред. |ред. код]

Визначення на основі точок і прямих, що належать площині

[ред. |ред. код]

ВЕвклідовому просторі будь-якої вимірності площина зазвичай визначається за допомогою:

  • Трьох не-колінеарних точок (точки не розташовані на одній прямій).
  • Прямою і точкою, що не належить цій прямій.
  • Двома різними прямими, що перетинаються.
  • Двомапаралельними прямими.

Властивості

[ред. |ред. код]

Наступні твердження справедливі для тривимірного Евклідового простору, але не для більших розмірностей, хоча вони мають аналогії за вищих розмірностей:

  • Дві різні площини є або паралельними, або перетинаються попрямій.
  • Пряма може бути або паралельною до площини, або перетинає її в єдиній точці, або вона розташована на площині.
  • Дві різні прямі,перпендикулярні до однієї площини, є паралельними одна до одної.
  • Дві різні площини, перпендикулярні до одної прямої, є паралельними одна до одної.

Рівняння площини

[ред. |ред. код]

Площина —алгебрична поверхня першого порядку: вдекартовій системі координат площина може бути заданарівнянням першого степеня.

  • Загальне (повне) рівняння площини
Ax+By+Cz+D=0(1){\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)}

деA,B,C{\displaystyle A,B,C} таD{\displaystyle D} — сталі, при чомуA,B{\displaystyle A,B} іC{\displaystyle C} не всі рівні нулю; увекторній формі:

(r,N)+D=0{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0}

деr{\displaystyle \mathbf {r} } — радіус-вектор точкиM(x,y,z){\displaystyle M(x,y,z)}, векторN=(A,B,C){\displaystyle \mathbf {N} =(A,B,C)} перпендикулярний до площини (нормальний вектор).Напрямні косинуси вектораN{\displaystyle \mathbf {N} }:

cos⁡α=AA2+B2+C2,{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}
cos⁡β=BA2+B2+C2,{\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}
cos⁡γ=CA2+B2+C2.{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}

Якщо один зкоефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю, то рівняння називаютьнеповним. За умовиD=0{\displaystyle D=0} площина проходить черезпочаток координат, заA=0{\displaystyle A=0} (абоB=0{\displaystyle B=0},C=0{\displaystyle C=0}) площина паралельна осіOx{\displaystyle Ox} (відповідноOy{\displaystyle Oy} чиOz{\displaystyle Oz}). ЗаA=B=0{\displaystyle A=B=0} (A=C=0{\displaystyle A=C=0} чиB=C=0{\displaystyle B=C=0}) площина паралельна площиніOxy{\displaystyle Oxy} (відповідноOxz{\displaystyle Oxz} чиOyz{\displaystyle Oyz}).

  • Рівняння площини у відрізках:
xa+yb+zc=1,{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,}

деa=−D/A,b=−D/B,c=−D/C{\displaystyle a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C} — відрізки, які площина відсікає на осяхOx,Oy{\displaystyle Ox,Oy} іOz{\displaystyle Oz}.

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0;{\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}

у векторній формі:

((r−r0),N)=0.{\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.}
  • Рівняння площини, що проходить через три задані точкиM(xi,yi,zi){\displaystyle M(x_{i},y_{i},z_{i})},які не лежать на одній прямій:
((r−r1),(r−r2),(r−r3))=0{\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r} -\mathbf {r_{2}} ),(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} ))=0}

(мішаний добуток векторів), іншими словами

|x−x1y−y1z−z1x2−x1y2−y1z2−z1x3−x1y3−y1z3−z1|=0.{\displaystyle \left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.}
  • Нормальне (нормоване) рівняння площини
xcos⁡α+ycos⁡β+zcos⁡γ−p=0(2){\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)}

у векторній формі:

(r,N0)=0,{\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )=0,}

деN0{\displaystyle \mathbf {N^{0}} } —одиничний вектор,p{\displaystyle p} —відстань від площини до початку координат. Рівняння(2) можна отримати з рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник

μ=±1A2+B2+C2{\displaystyle \mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}

(знакиμ{\displaystyle \mu } іD{\displaystyle D} протилежні).

Пов'язані поняття

[ред. |ред. код]
δ=x1cos⁡α+y1cos⁡β+z1cos⁡γ−p;{\displaystyle \delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;}

δ>0{\displaystyle \delta >0}, якщоMi{\displaystyle M_{i}} і початок координат лежать по різні сторони площини, в протилежному випадкуδ<0{\displaystyle \delta <0}.Відстань від точки до площини дорівнює|δ|.{\displaystyle |\delta |.}

  • Кут між площинами. Якщо рівняння площини задані у вигляді (1), то
cos⁡φ=A1A2+B1B2+C1C2(A12+B12+C12)(A22+B22+C22);{\displaystyle \cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}};}

Якщо у векторній формі, то

cos⁡φ=(N1,N2)|N1||N2|.{\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )}{|\mathbf {N_{1}} ||\mathbf {N_{2}} |}}.}
A1A2=B1B2=C1C2{\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}} чи[N1,N2]=1.{\displaystyle [\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} ]=1.}
A1A2+B1B2+C1C2=0{\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0} чи(N1,N2)=0{\displaystyle (\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )=0}.
  • Пучок площин — рівняння довільної площини, що проходить через лінію перетину двох площин
α(A1x+B1y+C1z)+β(A2x+B2y+C2z)=0,{\displaystyle \alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z)+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z)=0,}

деα{\displaystyle \alpha } іβ{\displaystyle \beta } — довільні числа, які не одночасно дорівнюють нулю.

Література

[ред. |ред. код]
  • Ильин В. А., Позняк Э. Г.Аналитическая геометрия М.: ФИЗМАТЛИТ / 2002 р., 240с.

Посилання

[ред. |ред. код]
Отримано зhttps://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Площина&oldid=45664909
Категорії:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp