Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Перейти до вмісту
Вікіпедія
Пошук

Площа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна:Площа (значення).
Площа
Прямокутник із розмірами сторін 5x4 має площу 20
СимволиS або A
Одиниці вимірювання
SIм2
СГСсм2
РозмірністьL2
Визначення
ФормулаA=∬dxdy{\displaystyle A=\iint \mathrm {d} x\mathrm {d} y}[1] Редагувати інформацію у Вікіданих
Позначенняплоща (A{\displaystyle A})
Cartesian coordinate (x{\displaystyle x})
Cartesian coordinate (y{\displaystyle y})
CMNS: Площа уВікісховищі Редагувати інформацію у Вікіданих

Пло́ща —фізична величина, що визначає розмір поверхні, одна з основних властивостей геометричних фігур, у математиці розглядається як міра множини точок, які займають поверхню або якусь її частину[2]. Історично, обчислення площі називалосяквадратурою. Фігура, що має площу, називається квадрованою. Площу нескладних геометричних фігур визначають, підраховуючи кількість одиничнихквадратів, якими фігури можна покрити. Фігури, що мають однакову площу називаютьрівновеликими.

Загальний метод обчислення площі геометричних фігур надалоінтегральне числення. Узагальненням поняття площі стала теоріяміри множини, яка є придатною для ширшого класу геометричних об'єктів.

Площа у системіSI вимірюється ум² (метрах квадратних). Площу заведено позначати великою латинською літероюS, у англомовній літературі — великою латинською літероюA (відангл.area)[3][4].

Формальне визначення

[ред. |ред. код]
Множина вимірна за Жорданом, якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішній мірі Жордана

Площею впланіметрії може назватися будь-яка величина, яка задовольняє умовам[5][6]:

  • вона додатно-визначена (тобто не менша від нуля);
  • вона адитивна (площа об'єднання двох фігур, що не перетинаються, дорівнює сумі площ цих двох фігур);
  • уконгруентних фігур площа однакова;
  • дляквадрата зі стороною 1 вона приймається рівною 1.

З даного визначення площі випливає її монотонність, тобто площа частини фігури є меншою від площі всієї фігури.

Спочатку визначення площі було сформульоване длямногокутників, згодом воно було розширене на квадровані фігури. Квадрованою називається така фігура, яку можна вписати у многокутник і у яку можна вписати многокутник, причому площі обох многокутників різняться на довільно малу величину. Такі фігури називають такожвимірними за Жорданом[6]. Для фігур на площині, які не складаються з цілої кількості одиничних квадратів, а також для тривимірних поверхонь, площа визначається за допомогоюграничного переходу.

Історична довідка

[ред. |ред. код]

Площа плоских фігур

[ред. |ред. код]

Протягом багатьох років площа вважалася первинним поняттям, яке не вимагає визначення. Основним завданням математиків було обчислення площі, при цьому їм були відомі основні її властивості[5]. УСтародавньому Єгипті використовувались точні правила обчислення площі прямокутників, прямокутних трикутників і трапецій, площа довільного чотирикутника визначалась приблизно як добуток півсум пар протилежних сторін. Застосування такої наближеної формули пов'язане з тим, що ділянки, площу яких треба було визначити, були в основному близькими до прямокутних іпохибка у такому випадку залишалась невеликою. Історик математикиА. П. Юшкевич припускає, що єгиптяни могли і не знати, що користуються наближеною формулою. У задачі 50папірусу Рінда використовується формула обчислення площі круга, яка вважалась рівною площі квадрата зі стороною, рівною 8/9 діаметра круга[7]. Такими ж формулами користувались і уВавилоні, однак для площі круга наближення було менш точним. Крім того, вавилоняни могли наближено обчислити площіправильних п'яти-, шести- і семикутника зі стороною рівною одиниці. Ушістдесятковій системі їм відповідали1,40,2,37,20 і3,41, відповідно[8].

Основним прийомом обчислення площі при цьому була побудова квадрата, площа якого дорівнює площі заданої багатокутної фігурі, зокрема у книзі I«Начал»Евкліда, що присвячена планіметрії прямолінійних фігур, доводиться, що трикутник є рівновеликим половині прямокутника, що має з ним одинакові основи і висоту[9]. Метод розкладання, що ґрунтувався на тому, що дві рівноскладені фігури є рівновеликими, дозволяв також обчислити площі паралелограмів й довільних многокутників[10].

Наступним кроком було обчислення площ круга, кругового сектора, лунок та інших фігур. Основу обчислень при цьому становивметод вичерпування многокутниками[6][10], з якого бере початоктеорія границь. Метод полягає у побудові послідовності площ, які при поступовому нарощуванні «вичерпують» площу, що розглядається. Метод вичерпування, який отримав свою назву лише у XVII столітті, ґрунтується нааксіомі неперервності Евдокса — Архімеда, авторство якої приписуєтьсяЕвдоксу Кнідському, котрий за її допомогою показав, що площі кругів відносяться одна до одної як квадрати їх діаметрів. Метод описаний у «Началах» Евкліда:аксіома Евдокса сформульована у книзі V, а сам метод вичерпування і відношення, що ґрунтуються на ньому — у книзі XII[9]. Більшої досконалості у застосуванні методу досягнувАрхімед, котрий за його допомогою вирахував площу сегмента параболи та площу поверхні сфери[11][12]. Праця Архімеда «Про спіралі» містить багато тверджень, що стосуються площ різних витків спіралі та їх співвідношень[13]. Архімеду належить ідея використання площ або об'ємів як вписаних, так і описаних фігур для визначення величини заданої площі чи об'єму[14].

У Стародавній Індії на початках користувались тією ж формулою для обчислення площ чотирикутників, що й єгиптяни та греки.Брамагупта використовувавформулу для обчислення площі чотирикутників, виражену через їх півпериметр, що давала вірне значення для вписаного у коло чотирикутника. Формули обчислення площі зазвичай не доводились, але демонструвались з наочними рисунками[15]. Формула Брамагупти є аналогомформули Герона для площі трикутника, яку той навів у своїй «Метриці»[16].

Розвиток та узагальнення методу вичерпування відбулися лише у XVII столітті. У 1604 році у праці «Три книги про центр тяжіння тіл»Лука Валеріо (італ.Luca Valerio 1552—1618) широко використовує теорему, за якою різниця між площами вписаної і описаної фігур, складених з паралелограмів можна зробити меншою від будь-якої заданої площі[17]. Справжній прорив було зробленоЙ. Кеплером, якому для астрономічних розрахунків потрібно було вміти обчислювати площу еліпса. Кеплер розглядав площу як «суму ліній» і, розліновуючи еліпс з кроком у один градус, показав[18], що∫0φsin⁡xdx=1−cos⁡φ{\displaystyle \int \limits _{0}^{\varphi }\sin xdx=1-\cos \varphi }.Б. Кавальєрі, обґрунтовуючи схожий метод, названий«методом неподільних», порівнював площі плоских фігур, використовуючи перетин фігур паралельними прямими[19]. Застосуванняпервісної для знаходження площі плоскої фігури є найуніверсальнішим методом. За допомогою первісної доводитьсяпринцип Кавальєрі, за яким дві плоскі фігури мають однакову площу, якщо при перетині кожної з них прямою, паралельною до фіксованої, отримуються відрізки однакової довжини. Принцип був відомий задовго до формування інтегрального числення[6][10].

Площа поверхонь

[ред. |ред. код]

Обчисленням площ кривих поверхонь займався Архімед, визначивши, зокрема, площу поверхні кулі[14]. У загальному випадку для визначення площі поверхні неможливо скористатися а ні розгорткою (не підходить для сфери), а ні наближенням багатогранними поверхнями (аналогом методу вичерпування). Останнє продемонструвавГ. Шварц, побудувавши для бічної поверхні циліндра послідовності, які приводять до різних результатів (так званий«чобіт Шварца»)[6][20].

Загальний прийом обчислення площі поверхні на рубежі XIX—XX століть запропонувавГ. Мінковський, який для кожної поверхні будував «огортальний шар» малої сталої товщини, тоді площа поверхні буде приблизно рівною об'єму цього шару, поділеному на його товщину. Граничне значення цього відношення при товщині шару, що прямує до нуля дає точне значення площі. Однак, для площі за Мінковським не завжди виконується властивість адитивності. Узагальнення даного визначення приводить до поняття лінії за Мінковським[21].

Площа в аналітичній геометрії

[ред. |ред. код]

Аналітична геометрія дозволяє розв'язувати геометричні задачі алгебраїчними методами, оперуючи такими поняттями яксистема координат,вектор тощо.Площина в тривимірному просторі має дві поверхні. Площі цих двох поверхонь позначаються із протилежними знаками. Оскільки орієнтація поверхні задається вектором нормалі до неї, то площу теж визначають як вектор, колінеарний нормалі до поверхні.

Наприклад, для паралелограма, побудованого на векторахa{\displaystyle \mathbf {a} } таb{\displaystyle \mathbf {b} } площа визначається яквекторний добуток:

S=[a×b]{\displaystyle \mathbf {S} =[\mathbf {a} \times \mathbf {b} ]}.

При зміні порядку множників у цій формулі,S{\displaystyle \mathbf {S} } міняє знак, що відповідає нормалям до двох різних боків поверхні. Як добуток двох векторівS{\displaystyle \mathbf {S} } єпсевдовектором — при зміні напрямку кожного із векторівa{\displaystyle \mathbf {a} } таb{\displaystyle \mathbf {b} } на протилежний,S{\displaystyle \mathbf {S} } напрямку не міняє.

Площа в математичному аналізі

[ред. |ред. код]
Площу між двома графіками можна знайти як різницю інтегралів відповідних функцій

Математичний аналіз надає широкі можливості для обчислення площ криволінійних фігур. Поняттяінтеграла, яке має широке застосування і в інших галузях, має просту інтерпретацію, як площа криволінійної фігури обмеженої підінтегральною функцією, віссю абсцис і двома прямими, паралельними осі ординат:

S=∫abf(x)dx{\displaystyle S=\int _{a}^{b}f(x)dx}.

Оскільки функціяf(x){\displaystyle f(x)} може мати як додатні, так і від'ємні значення на інтервалі [a, b], то інтеграл теж може бути додатнім або від'ємним. Для того, щоб отримати площу фігури в її геометричному сенсі потрібно інтегрувати абсолютну величину функції:

S=∫ab|f(x)|dx{\displaystyle S=\int _{a}^{b}|f(x)|dx}.

Виходячи з цього означення, площу між двомаграфіками функцій можна знайти якінтегралів однієї функції,f(x),мінус інтеграл іншої функції,g(x).

S=∫ab|f(x)−g(x)|dx{\displaystyle S=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx}.

Площу криволінійної фігури, обмеженої функцієюr=r(φ){\displaystyle r=r(\varphi )}, вираженою вполярних координатах, знаходять за формулою

S=12∫02πr2dφ{\displaystyle S={1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }r^{2}\,d\varphi }.

Площу обмеженупараметричною кривоюu(t)=(x(t),y(t)){\displaystyle \mathbf {u} (t)=(x(t),y(t))} з кінцевими точкамиu(t0)=u(t1){\displaystyle \mathbf {u} (t_{0})=\mathbf {u} (t_{1})} знаходять затеоремою Грінакриволінійним інтегралом

∮t0t1xy˙dt=−∮t0t1yx˙dt=12∮t0t1(xy˙−yx˙)dt{\displaystyle \oint _{t_{0}}^{t_{1}}x{\dot {y}}\,dt=-\oint _{t_{0}}^{t_{1}}y{\dot {x}}\,dt={1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})\,dt}

Водночас, ця формула є z-координатою векторного добутку:

12∮t0t1u×u˙dt.{\displaystyle {1 \over 2}\oint _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}\,dt.}

В цій формулі крапка надu{\displaystyle \mathbf {u} } означаєпохідну.

Для поверхніΩ{\displaystyle \Omega } у тривимірному просторі, заданої функцієюz=z(x,y){\displaystyle z=z(x,y)} над деякою областюΩ′{\displaystyle \Omega '} (абоΩ′{\displaystyle \Omega '} єпроєкцією поверхніΩ{\displaystyle \Omega } на площинуxOy{\displaystyle xOy}[22]):

S=∬ΩdΩ=∬Ω′1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2dxdy.{\displaystyle S=\iint \limits _{\Omega }d\Omega =\iint \limits _{\Omega '}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,dxdy.}

Корисні рівняння

[ред. |ред. код]

Поширені рівняння для обчислення площі планіметричних фігур

[ред. |ред. код]
ФігураРівнянняЗмінні
Квадратs2{\displaystyle s^{2}\,\!}s{\displaystyle s} — довжина сторони квадрата.
Правильний трикутник34s2{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}\,\!}s{\displaystyle s} — довжина сторони трикутника.
Правильний шестикутник332s2{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}s^{2}\,\!}s{\displaystyle s} — довжина сторони шестикутника.
Правильний восьмикутник2(1+2)s2{\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})s^{2}\,\!}s{\displaystyle s} — довжина сторони восьмикутника
Правильний багатокутникP2/n4⋅tan⁡(π/n){\displaystyle {\frac {P^{2}/n}{4\cdot \tan(\pi /n)}}\,\!}P{\displaystyle P} — периметр, аn{\displaystyle n} — кількість сторін.
Правильний багатокутник (кути в градусах)P2/n4⋅tan⁡(180∘/n){\displaystyle {\frac {P^{2}/n}{4\cdot \tan(180^{\circ }/n)}}\,\!}P{\displaystyle P} — периметр, аn{\displaystyle n} — кількість сторін.
Прямокутнийтрикутникab2{\displaystyle {\frac {ab}{2}}\,\!}a{\displaystyle a} іb{\displaystyle b} — катети трикутника.
Довільнийтрикутник12ah{\displaystyle {\frac {1}{2}}ah\,\!}a{\displaystyle a} — сторона трикутника,h{\displaystyle h} — висота, проведена до цієї сторони.
12absin⁡α{\displaystyle {\frac {1}{2}}ab\sin \alpha \,\!}a{\displaystyle a},b{\displaystyle b} — будь-які дві сторони,α{\displaystyle \alpha } — кут між ними.
p(p−a)(p−b)(p−c){\displaystyle {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\,\!} (формула Герона)a{\displaystyle a},b{\displaystyle b},c{\displaystyle c} — сторони трикутника,p{\displaystyle p} — півпериметр(p=a+b+c2){\displaystyle \left(p={\frac {a+b+c}{2}}\right)}.
12|x0y01x1y11x2y21|{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}}у випадку обходу вершин трикутника за годинниковою стрілкою отримаємо додатний результат, інакше від'ємний.
Прямокутникab{\displaystyle ab\,\!}a{\displaystyle a} таb{\displaystyle b} — довжини сторін прямокутника (його довжина та ширина).
Паралелограмah{\displaystyle ah\,\!}a{\displaystyle a} таh{\displaystyle h} — довжина сторони та опущеної на неї висоти відповідно.
absin⁡α{\displaystyle ab\sin \alpha \,\!}a{\displaystyle a} іb{\displaystyle b} — сусідні сторони паралелограма,α{\displaystyle \alpha } — кут між ними.
Ромб12cd{\displaystyle {\frac {1}{2}}cd}c{\displaystyle c} таd{\displaystyle d} — довжинидіагоналей ромба
Трапеція12(a+b)h{\displaystyle {\frac {1}{2}}(a+b)h\,\!}a{\displaystyle a} таb{\displaystyle b} — паралельні сторони аh{\displaystyle h} — відстань між ними (висотатрапеції)
Довільнийчотирикутник(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)−abcdcos2⁡α{\displaystyle {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\alpha }}}
(формула Брамагупти)		a{\displaystyle a},b{\displaystyle b},c{\displaystyle c},d{\displaystyle d} — сторони чотирикутника,p{\displaystyle p} — його півпериметр,α{\displaystyle \alpha } — півсума протилежних кутів кутів чотирикутника
Довільниймногокутник (опуклий і неопуклий)12|∑i=1n(xi+1−xi)(yi+1+yi)|{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i+1}-x_{i})(y_{i+1}+y_{i})\right|}
(метод трапецій)		(xi;yi){\displaystyle (x_{i};y_{i})} — координати вершин многокутника за порядком їх обходу, замикаючи останню з першою:(xn+1;yn+1)=(x1;y1){\displaystyle (x_{n+1};y_{n+1})=(x_{1};y_{1})}; при наявності отворів напрям їх обходу — протилежний до напряму обходу зовнішньої границі многокутника
Еліпсπab{\displaystyle \pi ab\,\!}a{\displaystyle a} таb{\displaystyle b} — довжини малої та великої півосей відповідно

Формули для обчислення площі поверхні тіл у просторі

[ред. |ред. код]
ТілоРівнянняЗмінні
Повна площа поверхніциліндра2πr2+2πrh{\displaystyle 2\pi r^{2}+2\pi rh\,\!}r{\displaystyle r} таh{\displaystyle h} — радіус та висота відповідно.
Площа бічної поверхніциліндра2πrh{\displaystyle 2\pi rh\,\!}r{\displaystyle r} таh{\displaystyle h} — радіус та висота відповідно.
Повна площаконусаπr(l+r){\displaystyle \pi r(l+r)\,\!}r{\displaystyle r} таl{\displaystyle l} — радіус та висота бічної поверхні відповідно.
Площа бічної поверхніконусаπrl{\displaystyle \pi rl\,\!}r{\displaystyle r} таl{\displaystyle l} — радіус та твірна бічної поверхні відповідно.
Площа поверхнісфери (кулі)4πr2{\displaystyle 4\pi r^{2}\,\!} абоπd2{\displaystyle \pi d^{2}\,\!}r{\displaystyle r} таd{\displaystyle d} радіус та діаметр, відповідно.

Наведені вище формули призначені для обчислення площі багатьох фігур.

Формули для обчислення площі круга, його частин, описаних і вписаних у коло фігур

[ред. |ред. код]
ФігураРівнянняЗмінні
Кругπr2{\displaystyle \pi r^{2}\,\!} абоπd24{\displaystyle {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!}r{\displaystyle r} — радіус, аd{\displaystyle d} —діаметр круга.
Сектор кругаαr22{\displaystyle {\frac {\alpha r^{2}}{2}}\,\!}r{\displaystyle r} — радіус круга,α{\displaystyle \alpha } — центральний кут сектора (врадіанах).
Сегмент кругаr22(α−sin⁡α){\displaystyle {\frac {r^{2}}{2}}(\alpha -\sin \alpha )\,\!}r{\displaystyle r} — радіус круга,α{\displaystyle \alpha } — центральний кут сегмента (врадіанах).
Трикутник, вписаний у колоabc4R{\displaystyle {\frac {abc}{4R}}}a{\displaystyle a},b{\displaystyle b},c{\displaystyle c} — сторони трикутника,R{\displaystyle R} — радіус описаного кола.
Довільний багатокутник, описаний навколо кола12Pr{\displaystyle {\frac {1}{2}}Pr\,\!}r{\displaystyle r} — радіус кола, вписаного в багатокутник, аP{\displaystyle P} —периметр багатокутника.

Вимірювання площ

[ред. |ред. код]
Планіметр Амслера-Кораді у робочому положенні

Прилад, що слугує для простого механічного визначення площ (інтегрування) плоских замкнутих контурів носить назвупланіметр.

Найбільше використовувалась одна з можливих реалізацій даного приладу — планіметр Амслера-Кораді, фактично є частковим випадкоманалогового обчислювального пристрою. Основними частинами найпоширенішого планіметра є обвідний важіль з штифтом, який обводить контур фігури і лічильний механізм, що, фіксуючи переміщення штифта, вказує шукану величину площі[23].

Одиниці вимірювання площ

[ред. |ред. код]

Метричні одиниці

[ред. |ред. код]
В одномуквадратному сантиметрі міститься 100 квадратних міліметрів
В одномуквадратному кілометрі міститься 100гектарів

Британські/американські одиниці

[ред. |ред. код]

Стародавні одиниці

[ред. |ред. код]
  • Морг (Середньовічна Європа), найчастіше 1 морг = 0,57га = 5700 м² (прусський морг — 0,2553 га)
  • Дуньом (Османська імперія), 1 дунам = 919,3 м²
  • Арура (Стародавній Єгипет), 1 арура = 2735,29 м²
  • Плефр (Візантія), 1 плефр = 1261,9 м²
  • Унція (Римська імперія), 1 унція = 209,91 м²
  • Югер (Римська імперія)), 1 югер = 12 унцій = 2519 м²
  • Центурія (Римська імперія), 1 центурія = 200 югерів = 503800 м².

Площі деяких об'єктів

[ред. |ред. код]
Об'єктПлоща у квадратних метрах
Ядерна пора2×10-14[25]
БактеріяE. coli6×10-12[27]
Піксель уLCD дісплеї 3D-окулярів7×10-11[28]
Переріз людськоїволосини5×10-9
Центральна ямка ока9×10-8
Дірка віддіркопробивача4×10-5
Поштова марка5×10-4
Кредитна картка4,6×10-3
Лист А40,0625
Баскетбольний м'яч0,18
Середня площа людини1,73[29]
Легені людини70[30]
Футбольне поле7140
Майдан Свободи (Харків)119 000
Ватикан440 000
Монако2×106
Шпола (17000 жителів)6,1×107
Київ8,4×108
Озеро Сиваш4×109
Чернівецька область8×109
Шрі-Ланка6,5×1010
Україна6×1011
Римська імперія (максимальна площа)5×1012[31]
Місяць3,7×1013
Земля5,1×1014
Нептун7,6×1015
Юпітер6,1×1016
Сонце6,1×1018
Альдебаран11,8×1021
Бетельгейзе4,8×1024
UY Щита1,8×1025
Площа, що замітаєтьсяПлутоном при переміщенні по орбіті1,1×1026
Хмара Оорта5,1×1032
Чумацький Шлях (приблизна площа галактичного диску)5,1×1032[32]

Див. також

[ред. |ред. код]

Примітки

[ред. |ред. код]
  1. ↑аб3-3 //Quantities and units—Part 3: Space and time — 1 —ISO, 2006. — 19 p.
  2. ↑«Площа»[Архівовано 26 березня 2017 уWayback Machine.] //Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред.М. П. Бажан ; редкол.:О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. —К. :Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
  3. ↑ДСТУ 3651.1-97 Похідні одиниці фізичних величин міжнародної системи одиниць та позасистемні одиниці. Основні поняття, назви та позначення.
  4. ↑Bureau international des poids et mesures (2006).The International System of Units (SI)(PDF). 8th ed. Архіворигіналу(PDF) за 5 листопада 2013. Процитовано 13 лютого 2008. Chapter 5.(англ.)
  5. ↑абЭнциклопедия элементарной математики, кн. 5, 1966, с. 7—13.
  6. ↑абвгдПлощадь //Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 4.
  7. ↑История математики, т. I, 1970, с. 30—32.
  8. ↑История математики, т. I, 1970, с. 47—53.
  9. ↑абИстория математики, т. I, 1970, с. 111—114.
  10. ↑абвБолтянский В.О понятиях площади и объёма.[Архівовано 5 травня 2017 уWayback Machine.]Квант, № 5, 1977, c.2—9
  11. ↑Исчерпывания метод //Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
  12. ↑История математики, т. I, 1970, с. 101—105.
  13. ↑Boyer & Merzbach, 2010, p. 127—128.
  14. ↑абИстория математики, т. I, 1970, с. 117—124.
  15. ↑История математики, т. I, 1970, с. 197—198.
  16. ↑Boyer & Merzbach, 2010, p. 172, 219.
  17. ↑История математики, т. II, 1970, с. 131—135.
  18. ↑История математики, т. II, 1970, с. 166—171.
  19. ↑История математики, т. II, 1970, с. 174—181.
  20. ↑Дубровский В. Н.В поисках определения площади поверхности[Архівовано 27 червня 2017 уWayback Machine.] //Квант. — 1978. № 5. — С.31—34.
  21. ↑Дубровский В. Н.Площадь поверхности по Минковскому[Архівовано 15 лютого 2017 уWayback Machine.] //Квант. — 1979. № 4. — С.33—35.
  22. ↑Мышкис А. Д. (1973).Лекции по Высшей Математике.
  23. ↑«Планіметр»[Архівовано 26 березня 2017 уWayback Machine.]//Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред.М. П. Бажан ; редкол.:О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. —К. :Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
  24. ↑Bureau International des Poids et MesuresResolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960)[Архівовано 28 липня 2012 уWayback Machine.], retrieved 15 July 2012
  25. ↑Gateway to the Nucleus[Архівовано 2013-08-22 уWayback Machine.](англ.)
  26. ↑[]
  27. ↑General Statistics(англ.)
  28. ↑DPI Calculator[Архівовано 17 липня 2020 уWayback Machine.](англ.)
  29. ↑The Average Body Surface Area of Adult Cancer Patients in the UK: A Multicentre Retrospective Study[Архівовано 3 березня 2022 уWayback Machine.](англ.)
  30. ↑Lung Surfactants: Basic Science and Clinical Applications[Архівовано 22 липня 2020 уWayback Machine.](англ.)
  31. ↑East-West Orientation of Historical Empires and Modern States[Архівовано 17 травня 2016 у Portugese Web Archive](англ.)
  32. ↑The Milky Way[Архівовано 10 серпня 2015 уWayback Machine.](англ.)

Джерела

[ред. |ред. код]

Посилання

[ред. |ред. код]
Вікісховище має мультимедійні дані за темою:Площа
Тематичні сайти
Словники та енциклопедії
Довідкові видання
Нормативний контроль
Отримано зhttps://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Площа&oldid=42341301
Категорії:
Приховані категорії:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp