Пентагра́ма (такожп'ятипроменева зірка,зірчастий пятикутник;грец.πεντάγραμμον відπέντε — «п'ять» іγράμμα — «риска, лінія») — плоский неопуклийбагатокутник з п'ятьма вершинами та п'ятьма сторонами, що взаємно перетинаються між собою.
Якщо сторони пентаграми та кути між ними рівні, то пентаграма єправильною.
Правильний зірчастий п'ятикутник позначаєтьсясимволом Шлефлі як {5/2} (5 — кількість сторін багатокутника, а2 — його щільність).
Група симетрії правильної п'ятипроменевої зірки —діедрична група D5 порядку 10.
Правильні зірчасті багатокутники вперше систематично вивчались Томасом Брадвардіном та Йоганном Кеплером.[1]
Два типи зірчастих п'ятикутників
{5/2}
|5/2|
Бранко Ґрюнбаум розрізнив два види зірчастих багатокутників. Пеший — зірчастийn — кутник, сторони якого перетинаються, і точки перетину не утворюють нових вершин. Другий — неопуклийізотоксальний простий 2n- кутник.
Пентаграма, променями якої є рівносторонні трикутники
Таким чином до п'ятипроменевої зірки (пентаграми) також можна віднести неопуклийізотоксальний десятикутник, з десятьма сторонами та десятьма вершинами, які становлять дві групи по п'ять вершин, що чергуються між собою.
Пентаграма використовувалася як символ вСтародавній Греції іВавилонії, і використовується сьогодні як символ віри в багатьох[джерело не вказане 2768 днів]неоязичницьких релігіях, подібно якхрест у християн чигексаграма в юдеїв. Пентаграму пов'язують змагією, і багато людей, які практикують новоязичництво, вірять в силу ювелірних виробів із зображенням пентаграми, носячи їх. Християни ж зазвичай використовують пентаграму для символічного зображення п'яти святих ранІсуса.[джерело не вказане 2768 днів] Пентаграму асоціюють також змасонством, про неї пишуть фантасти, нетрадиційні історики[2] тощо.
Пентакль, за Оксфордським словником англійської мови, це дископодібний предмет із зображенням пентаграми.
Пентаграма є найпростішим правильним зірчастим багатокутником. Має п'ять вершин та п'ять рівних внутрішніх кутів, кожен з яких становить (або жрадіан).
Пентаграма і правильний п'ятикутник, в який вона вписана.
Пентаграму можна утворити, з'єднавши вершиниправильного п'ятикутника через одну. Іншими словами, провівши у правильному п'ятикутнику всі йогодіагоналі.
Пентаграма і п’ятикутник, в який вона вписана, утворюютьповний граф із 5 вершинами.
Правильна пентаграма з позначенням лінійних сегментів на її ребрах, що знаходяться у відношенні «золотого перетину» один до одного.
Золотий перетин,φ = (1 +√5) / 2 ≈ 1.618, відіграє важливу роль у правильних п'ятикутниках і пентаграмах.
У правильній пентаграмі (п'ятипроменевій зірці) її ребра взаємно перетинаються і точками перетину розділяться на лінійні сегменти (відрізки), що знаходяться у відношенні «золотого перетину» один до одного. Зокрема, відношення довжини ребра до довшого відрізка дорівнюєφ, так само як і відношення довжини довшого відрізка до коротшого. Також відношення довжини коротшого відрізка до відрізка, який відтинається двома ребрами, що виходять з однієї вершини (сторона п'ятикутника в центрі пентаграми), дорівнюєφ.
Пентаграма, яка вписана в правильний п'ятикутник, розділяє його на десятьрівнобедрених трикутників: п'ять гострокутних («золоті трикутники») і п'ять тупокутних («золоті гномони»). У всіх них відношення довшої сторони до коротшої дорівнюєφ.
Відношення «золотого перетину» також можна знайти через кути пентаграми:
Якщо побудувати нескінченну пентаграму (продовжити «правильну п'ятипроменеву зірку» п'ятикутниками і «вістряками» назовні і всередину) і надати якомусь її відрізку значення 1,000 — отримаємо ряд чисел, який є послідовними степенями числа (фі):
Степені числа
:
:
Можна виявити дивну властивість цих двох послідовностей («назовні» і «всередину» від одиниці): парні степені числа дають ЦІЛІ ЧИСЛА при додаванні:
Ряд Фібоначчі виходить схожим чином, при діленні на: для непарних n = 2k + 1 і для парних n = 2k (тут навпаки: непарні степені числа додаються, а парні — віднімаються). Обидві формули вивів в 19 столітті французький математикЖак Філіпп Марі Біне (1786—1856).
Варто також зауважити, що будь-який ряд, з будь-якими початковими числами, у якого наступний член виходить додаванням двох попередніх: — у великих числах (при n → ∞) прагне до «золотого відношення» між сусідніми членами.
Тобто до класичної формули знаходження числа через: 1) ми можемо додати ще дві: 2) як границя співвідношення між сусідніми членами будь-якоїпослідовності Фібоначчі:
3) і третя формула виходить з геометрії пентаграми:
П'ятипроменева зірка — символ дохристиянської епохи, його використовували під час поклоніння силам Природи. Давні люди ділили весь світ на дві половини — чоловічу та жіночу (боги й богині, що зберігали баланс сил). Пентаграма, абопентакль, символізує жіночу половину всього земного. Цей символ часто називають «священним жіночим початком», або «священною богинею». Інакше цей символ інтерпретують, як богинюВенеру. Ранні релігії відштовхувались від божественості Природи, а богиня Венера і планетаВенера — одне і те ж. Кожні вісім років Венера робить абсолютно правильну пентаграму по великому колу небесної сфери. Давні люди помітили це явище і проголосилиВенеру та п'ятипроменеву зірку символом досконалості, краси та сексуальності. Шануючи це явище, древні греки влаштовувалиОлімпійські ігри кожні вісім років, а сучасні змагання — половинний циклВенери. Саме п'ятипроменева зірка мала стати символом Ігор, проте згодом вирішили, щоп'ять кілець краще відображають атмосферу заходу.Алхіміки,чорнокнижники та ін. вважали пентаграму захистом віддиявола. Так,Гете у трагедії«Фауст» описав, щоМефістофель проник до помешканняФауста, скориставшись невеличким проміжком у куточку начертаної на будинку пентаграми. Демонічна інтерпретація зірки історично невірна. Значення пентаграми було спаплюженоРимською католицькою церквою на ранньому етапі її розвитку, це була частина компаніїВатикану зі знищенняязичницьких релігій.
Пентаграми на зображенніАнубіса у вигляді шакала, який сидить на гробниці. Реконструкція зображення періодуНового царства
Перші зображення пентаграми датуються приблизно 3500 р. до н. е., це намальовані на глині п'ятипроменеві зірки, знайдені на руїнах стародавнього містаУрука. Зображення пентаграм зустрічаються і наєгипетських статуях. Як пише у своїй «Новій Енциклопедії Франк-масонства»Артур Вейт, єгиптяни називали пентаграму «зіркою песиголовогоАнубіса».
Аракелян Г. Б. История пентаграммы, с. 207—270. Гл. 6 в его кн.: Математика и история золотого сечения. М.: Логос, 2014, 404 с. ISBN 978-5-98704-663-0.
.svg)
