Икенче ранглы механик көчәнеш тензоры. Өч үлчәмле Декарт системасында тензорның компонентлары матрицаны төзи:σ = [ T ( e 1 ) T ( e 2 ) T ( e 3 ) ] = [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] {\displaystyle \scriptstyle \sigma ={\begin{bmatrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}} e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}} Тензор (латинчаtensus - киеренке) - берсызыкча фәзаның элементларын икенче сызыкча фәзаның элементларына үзгәртүчесызыкча алгебраның объекты.
Тензорларның аерым очраклары -скалярлар ,векторлар , бисызыкча формалар һ.б.
Еш кынатензор исәпләве тикшерә торгантензор кыры өчен тензор кыскартмасы кулланыла.
Гадәттә тензор саннар (тензор компонентлары) белән тутырылган күп үлчәмлеX j 1 j 2 … j s i 1 i 2 … i r {\displaystyle X_{j_{1}j_{2}\dots j_{s}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}} фәзасының үлчәме, анда тензор билгеләнгән, тапкырлаучылар саны -тензорның рангы яки валентлыгы дип йөртелә.
Бу тасвирлама тик базис яки координатлар системасын сайлаудан соң мөмкин була. Базис үзгәргәндә, тензорның компонентлары да үзгәрә. Тензор үзе геометрик объект буларак үзгәрми, мисал өчен вектор - тензорның очрагы - базис үзгәргәндә, компонентлары үзгәрәләр, ләкин вектор үзе үзгәрми.
Гадәттә тензор хәрефаскы (ковариант) һәмөске (контрвариант) индекслары белән билгеләнә:X j 1 j 2 … j s i 1 i 2 … i r {\displaystyle X_{j_{1}j_{2}\dots j_{s}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}}
Базис үзгәргәндә, тензорның ковариант компонентлары базис кебек үзгәрә, ә контрковариант компонентлары базиска каршы рәвештә үзгәрә.
Тензор = компонентлары җыелмасы + базис үзгәргәндә, аларның үзгәртүләр кануны.
Тензорның компонентлары
τ j k i {\displaystyle \tau _{jk}^{i}} Өч векторның тапкырчыгышы кебек үзгәрә:
a i b j c k {\displaystyle \ a^{i}b_{j}c_{k}} ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} скаляр ;( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} вектор (дөресрәк — контравариант вектор)( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} ковектор (ковариант вектор)( 0 , 2 ) {\displaystyle (0,2)} метрик тензор g i j {\displaystyle g_{ij}} ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} сызыкча оператор A : V → V {\displaystyle A:V\to V} A : V ∗ → V ∗ {\displaystyle A:V^{*}\to V^{*}} Риман кәкрелеге R j k l i {\displaystyle R_{\ jkl}^{i}} ( 1 , 3 ) {\displaystyle (1,3)} Риччи тензоры R i j {\displaystyle R_{ij}} скаляр кәкрелек R = R i j g i j {\displaystyle R=R_{ij}g^{ij}} ( 0 , 2 ) {\displaystyle (0,2)} ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} Леви-Чивита символы — 3-ранглы тензор -ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} Скалярга тапкырлау - тензорның һәр компонентасы скалярга тапкырлау Тензорларның тапкырчыгышы: σ ⊗ τ ∈ T n + n ′ m + m ′ = T n m ⊗ T n ′ m ′ . {\displaystyle \sigma \otimes \tau \in T_{n+n'}^{m+m'}=T_{n}^{m}\otimes T_{n'}^{m'}.} Компонентлары:
P k l i j = A i j B k l {\displaystyle P_{\ \ kl}^{ij}\ =A^{ij}B_{kl}} Тензорның төрелүе - тензорның валентлыгын киметүче махсус тензорлык операция: B k l i = ∑ j A j k l j i = A j k l j i {\displaystyle B_{\ kl}^{i}\ =\sum _{j}A_{\ \ jkl}^{ji}=A_{\ \ jkl}^{ji}} Эйнштейн килешүе v k = a i b k i = ∑ i a i b k i = ∑ i = 1 n a i b k i {\displaystyle v_{k}=a_{i}b_{k}^{i}=\sum _{i}{a_{i}b_{k}^{i}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{k}^{i}} C j k i = ∑ m B m i A j k m = B m i A j k m {\displaystyle C_{jk}^{i}\ =\sum _{m}B_{m}^{i}A_{jk}^{m}=B_{m}^{i}A_{jk}^{m}} Тензор сызыкча оператор белән төрелүе: u i = ∑ j A j i v j = A j i v j {\displaystyle u^{i}\ =\sum _{j}A_{j}^{i}v^{j}=A_{j}^{i}v^{j}} C j i = ∑ k B k i A j k = B k i A j k {\displaystyle C_{j}^{i}\ =\sum _{k}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=B_{k}^{i}A_{j}^{k}} биредә һәркайда соңгы язма Эйнштейн килешүе буенча күрсәтелә
Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969; Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Высшая школа, 2001. — 576 с.ISBN 5-06-004155-7 . Коренев Г. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Издательство МФТИ, 2000. — 240 с. —ISBN 5-89155-047-4 . Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (9-е издание). — М.: Наука, 1965; Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. — М.: Физматлит, 1963; Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960; Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. (3-е изд.). — М.: Изд-во МГУ, 1986; Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ (3-е издание). — М.: Наука, 1967; Шарипов Р. А. Быстрое введение в тензорный анализ. — БашГУ. 
