Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

İçeriğe atla
VikipediÖzgür Ansiklopedi
Ara

Potansiyel kuyusu

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Potansiyel kuyusu, bir parçacığın bağlı olması durumunu modelleyen sistemdir. Tek boyutta uygulanan potansiyel,

V(x)={0,0<x<a∞,diger {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&0<x<a\\\infty ,&{\mbox{diger }}\end{cases}}}

şeklinde verilir. Burada parçacık görüldüğü üzere a genişlikli sonsuz kuyunun içine hapsolmuştur. Parçacık içinSchrödinger denklemi yazılırsa:

d2ψdx2=−2mEℏ2ψ{\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi }

d2ψdx2+k2ψ=0 , (I){\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+k^{2}\psi =0{\mbox{ , (I)}}}

k2=2mEℏ2 , (II){\displaystyle k^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}{\mbox{ , (II)}}}

(I){\displaystyle {\mbox{(I)}}\,} denklemin çözümü iseψic(x)=Asin⁡(kx)+Bcos⁡(kx){\displaystyle {\psi }_{\mbox{ic}}(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,} olarak elde edilir. Bu, parçacığı kuyu içinde temsil edendalga fonksiyonudur. Uygulanan potansiyel sonsuz olduğu için parçacığın dışarıda bulunması olasılığı sıfır olacağından, dışarıdakidalga fonksiyonuψdis(x)=0{\displaystyle {\psi }_{\mbox{dis}}(x)=0\,} olur. Sınırlarda iki dalga fonksiyonunun değerlerinin alacağı değerler birbirine eşit olmak zorunda olduğundan sınır koşulları ortaya çıkar.

Asin⁡0+Bcos⁡0=0  , B=0{\displaystyle A\sin 0+B\cos 0=0\ {\mbox{ , }}B=0\,}

ψic(x)=Asin⁡(kx){\displaystyle {\psi }_{\mbox{ic}}(x)=A\sin(kx)\,}

Asin⁡(ka)=0{\displaystyle A\sin(ka)=0\,}

A≠0 , {\displaystyle A\neq 0{\mbox{ , }}}sin⁡(ka)=0{\displaystyle \sin(ka)=0\,}

ka=nπ  , k=nπa{\displaystyle ka=n\pi \ {\mbox{ , }}k={\frac {n\pi }{a}}}

(II){\displaystyle {\mbox{(II)}}\,} denklemi ile karşılaştırılırsa

2mEℏ2=k2=n2π2a2{\displaystyle {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}=k^{2}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{a^{2}}}}

En=n2π2ℏ22ma2 , n=1,2,3...{\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}{\mbox{ , }}n=1,2,3...}

elde edilir. Böylece bağlı durumdaki parçacıkların enerjilerinin kuantalandığı gösterilmiş olur zira parçacığın enerji seviyeleriE0=π2ℏ22ma2{\displaystyle E_{0}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}} olmak üzere bu enerjinin tam katlarıdır.En=n2E0 , n=1,2,3...{\displaystyle E_{n}=n^{2}E_{0}{\mbox{ , }}n=1,2,3...\,}

Diğer bir deyişle kuyudaki parçacığın enerjisi iki enerji seviyesi arasındaki enerjiyi alamaz. Bu yüzden enerjide süreksizlik vardır, bu duruma enerjinin kuantalanması denir.

"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Potansiyel_kuyusu&oldid=33573749" sayfasından alınmıştır
Kategori:
Gizli kategori:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp