Medyan (ya daortanca) biranakütle ya daörneklem veri serisini küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda, seriyi ortadan ikiye ayıran değere denir.İstatistiğin bir alt dalı olanbetimsel istatistikde medyan birmerkezsel konum ölçüsü kabul edilir.[1]
Birolasılık dağılımı simetrik olmayıp,çarpıklık gösteriyorsa, medyan,aritmetik ortalamadan daha uygun birmerkezsel konum ölçüsüdür. Simetrik olmama, sıralanmış veri değerleri için ya en küçük değerlerin ya da en büyük değerlerin diğerlerinden çok daha fazla uzaklaşması ile ortaya çıkar. Bu beklenmedik küçük veya büyük değerlereaykırı değer (outlier) adı verilir. Eğer veri dağılımıasitmetrik olan aykırı değerler kapsıyorsa, medyan aritmetik ortalamaya nazaran daha güçlü (robust) bir merkezsel konum ölçüsü halini alır.
Veri sayıları küçükten büyüğe doğru sıralandıktan sonra,n gözlem sayısı olmak üzere, medyan değerinin bu seri içindeki sıra numarası şu şekilde bulunur:
Eğer gözlem sayısı tek ise medyanın sıra numarası birtam sayı olacaktır ve doğrudan medyan bulunur. Eğer gözlem sayısı çift ise medyanın sıra numarası ½ li bir sayı çıkar. Bu durumda bu sayının etrafındaki iki değerin aritmetik ortalaması medyandır.
- Örnek
1,3,4,5,7,8,13 dizisinin medyanı 4. sıradaki eleman olan 5'tir.
2,4,6,8 dizisinin medyan pozisyonu 2.5'tir. Bu durumda 2. ve 3. elemanların aritmetik ortalaması yani (4+6)/2=5 medyan değeridir.
Gözlem sayısı küçükse, gözlem değerlerinin sıralaması elle kolay olarak yapılabilmekte ve bu hesaplama kolaylığımerkezsel konum ölçüsü olarak medyanın tercih edilmesine bir neden olmaktadır. Ancak gözlem sayısın artıkça, sıralama işlemleri gittikçe zorlaşmaktadır; ayrıca basit el hesap makinaları ile sıralama yapmak imkanı olmamaktadır. Bilgisayar kullanılmadan ve elle yapılan işlemler kullanarak büyük gözlem sayılı verilerinin sıralanması zorluğu nedeni ile medyan büyük veri kullanılması gerektiren araştırmalarda kullanılmamıştır. Ama bilgisayarların gelişmesi ile medyan kullanılmasının bu dezavantajı kaybolmuştur. Bilgisayarla yapılan veri sıralanması için, özellikle çok büyük gözlem sayıda veri için özel hızlısıralama algoritmaları kullanılmaktadır. Busıralama algoritmalarında genellikle (n logn) işlem yapılmaktadır ama özelböl ve fethet algoritması kullanılması ile sadecen işlem gerekmektedir.
Veri değerleri gruplanmış veçokluk dağılımları olarak verilmişler ise, medyan, gözlem sayısında N/2 inci değerin denk düştüğü sınıftadır veinterpolasyon ile ortaya çıkartılan formülü şu şekilde verilir:
- L: Medyan sınıfın alt değeri
- c: Medyan sınıfın aralığı
- f: Medyan sınıfın frekansı
- N: Toplam birim sayısı
- d: Medyan sınıftan bir önceki sınıfın birikimli frekansı.
Reel doğrusu üzerinde olan veF fonksiyonu ile ifade edilenyığmalı dağılım fonksiyonu gösteren herhangi birolasılık dağılımı için,kesikli veyasürekli olması özelliğine bakılmadan, medyan değerim şu eşitsizlik ifadelerine her zaman uyar:
veya
Belirli parametreleri olan belirli dağılımların medyanları hakkında şunlar söylenebilir:
Medyan, mutlak dağılmaların ortalamalarının en küçük değerini bulan bir merkezsel noktadır. Olasılık kuramının özel terimlerine göre
ifadesini en küçük yapanc değeri için,Xrassal değişkenin olasılık dağılımının medyanıdır. Dikkat edilmesi gerekir ki, c her zaman tek değildir ve onun için genellikle kesinlikle tanımlanamaz.
- Sürekli bir olasılık dağılımı için, medyan sayı değeri ile ortalama sayı değeri arasında birstandart sapmaya eşit bir fark vardır.
- Medyan 2incidörttebirlik, 5inciondabirlik ve 50inciyüzdebirlik'e eşittir.
- Genellikle medyan bir yanlı kestirimcidir.
