Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

İçeriğe atla
VikipediÖzgür Ansiklopedi
Ara

Karmaşık sayı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Matematiktekarmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir.[1] a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

z=a+ib{\displaystyle z=a+\mathbf {i} b\,}

Karmaşık sayılar kümesiC şeklinde gösterilir. .i2=−1{\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=-1} özelliğini sağlayan sanal birimei{\displaystyle \mathbf {i} } denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğindei{\displaystyle \mathbf {i} } yerine,j{\displaystyle \mathbf {j} } kullanılır.

Ayrıca matematikte bu sayıların uzayıC{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} } olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeniİngilizcedekarmaşık sözcüğünün karşılığı olarakcomplex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklardacomplex sözcüğünden devşirilenkompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.

Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.

z=a+i⋅0∈R{\displaystyle z=a+\mathbf {i} \cdot 0\in \scriptstyle \mathbb {R} }

Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) fonksiyonlarıyla gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim.z=4−7i{\displaystyle z=4-7\mathbf {i} } sayısı gerçel kısmı Re(4-7i)=4, sanal kısmı Im(4-7i)=-7 olanC{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} } uzayında bir karmaşık sayıdır.Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.

Tanım

[değiştir |kaynağı değiştir]

Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirineeşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik,C{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }. Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimizöğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki taneikili işlemi olan bircisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynıkardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.

Kartezyen uzay tanımı

[değiştir |kaynağı değiştir]

Gerçek sayılar kümesinde her sayıyıi{\displaystyle \mathbf {i} } ile çarparsak elde ettiğimiziR{\displaystyle \mathbf {i} \scriptstyle \mathbb {R} } kümesi öncekiR{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle

C≡R×iR≡{(a,b)|a∈Rveb∈iR}{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \equiv \scriptstyle \mathbb {R} \times \mathbf {i} \scriptstyle \mathbb {R} \equiv \{\,(a,b)\,|\,a\in \scriptstyle \mathbb {R} \,{\text{ve}}\,b\in \mathbf {i} \scriptstyle \mathbb {R} \}}

olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay,Argand düzlemi olarak anılır. EğerR{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } yerine tam sayılar cismiZ{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} } alınırsa oluşan karmaşık tam sayılarGauss düzlemindedir. Bu sayılara daGauss sayıları denir.

Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir:z∈C{\displaystyle z\in \scriptstyle \mathbb {C} } olmak üzere;[2]

z=(a,b){\displaystyle z=(a,b)}

Burada açıkçaRe(z)=a{\displaystyle Re(z)=a} veIm(z)=b{\displaystyle Im(z)=b} dir.

Cisim genişlemesi tanımı

[değiştir |kaynağı değiştir]

Karmaşık olmayan sayılar, gerçel sayılar cisminin bircisim genişlemesidir.i{\displaystyle \mathbf {i} } sayısıx2+1{\displaystyle x^{2}+1}polinomununköklerinden biridir ve diğer kökü de−i{\displaystyle -\mathbf {i} } olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:

R(i)≡R(−i){\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} \left(\mathbf {i} \right)\equiv \scriptstyle \mathbb {R} \left(-\mathbf {i} \right)}

Bu durumda

C≡R(i){\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \equiv \scriptstyle \mathbb {R} \left(\mathbf {i} \right)}

olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasınınx2+1{\displaystyle x^{2}+1} polinomuyla üretilenbölüm halkasıdır:

C≡R[X]/(X2+1)≡{a+ib|a,b∈R}{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \equiv \scriptstyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)\equiv \{\,a+\mathbf {i} b\,|\,a,b\in \scriptstyle \mathbb {R} \,\}}

Bu bölüm halkasındaX öğesiningörüntüsüi{\displaystyle \mathbf {i} } karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkasıcebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır.Cebirin temel teoremi bunu gerektirir,ndereceli her polinomuntamnkökü vardır. Biz, her karmaşık sayınına+ib{\displaystyle a+\mathbf {i} b} olarak ifade edildiği bu tanıma daha âşinâyız.

Karmaşık düzlem

[değiştir |kaynağı değiştir]
Şekil 1: Karmaşık bir düzlemde nokta (kırmızı) ve konum vektörü (mavi) ile çizilen karmaşık sayı;a+ib{\displaystyle a+ib} (veyaa+bi{\displaystyle a+bi} olarak da gösterilir)dikdörtgendir ve noktayı ifade eder.

Karmaşık sayı, iki boyutlukartezyen koordinat sisteminde, nokta veya konumvektörü olarak gösterilebilir. Sayılar alışıla geldiği gibi yatay bileşen gerçel kısmı ve düşey (dikey) bileşende sanal kısmı olarak çizildi (Şekil 1'e bakınız). Bu iki kısım karmaşık bir sayıyı ifade etmek için kullanılır ve bu yüzdenKartezyen-,dikdörtgensel- veyacebirsel form olarak adlandırılır.

İşlemlerin geometrik açıklaması

[değiştir |kaynağı değiştir]

Cebirsel olarak ifade edilen işlemler yukarıdaki karmaşık düzlem kullanılarak gösterilebilir.

X =A +B: Karmaşık düzlemdekiA veB gibi iki noktanın 'toplamı,X =A +Bdir ve köşeleri 0,A,B olan birüçgendir.X,B,A ile benzerdir. Bu iki karmaşık sayı,vektör uzayında aynı katkıya sahiptir.
X =AB:A veB gibi iki noktanınçarpımıX =ABdir ve köşeleri 0, 1,A olan bir üçgendir. 0,B,X benzer üçgenlerdir.
X =A*:A noktasınınKarmaşık eşleniği,X =A*dır ve köşeleri 0, 1,Adır. 0, 1,Xninayna görüntüsüdür.

Bu geometrik açıklamalar, cebirsek problemlerin geometrik biçime dönüştürmeyi sağlar. Ve tam tersi de geçerlidir (geometrik problemler, cebirsel olarak çözülebilir). Örneğin, geometrik şekil olan onyedigen problemi,Gauss tarafından şu şekilde cebirsel denklem analizine dönüştürüldü:x17 = 1 (Çokgene bakınız).


f(x)=(x2−1)(x−2−i)2x2+2+2i{\displaystyle f(x)={\tfrac {(x^{2}-1)(x-2-i)^{2}}{x^{2}+2+2i}}}
fonksiyonunun alan renklendirme çizimi. Ton, fonksiyon değişkenini ifade ederken, doygunluk vecanlılık miktarı ifade eder.

Kutupsal form

[değiştir |kaynağı değiştir]

Şablon:Detail

Şekil 2:φ değişkeni ver mutlak değeri, karmaşık düzlemdeki bir noktanın konumudur. Noktanın kutupsal ifadesi şöyledir:r(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ){\displaystyle r(\cos \phi +i\sin \phi )} veyareiϕ{\displaystyle re^{i\phi }}.

Diyagramlar çeşitli özellik gösteriler. Öncelikle Şekil 2'der ile gösterilen orjin (merkez)denz noktasına olan uzaklık,mutlak değer olarak bilinir.Mutlak değer veya büyüklük|z|{\displaystyle |z|} olarak yazılır.Pisagor teoremine göre,

|x+iy|=x2+y2.{\displaystyle |x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Karmaşık sayılar arasındaki uzaklık genellikle,d(z,w)=|z−w|{\displaystyle d(z,w)=|z-w|} fonksiyonu ile gösterilir. Bu fonksiyon, karmaşık sayıların metrik uzayına dönüşüdür.Limit vesüreklilik hakkında fikir verir. İki boyutlu uzayın tüm standart özellikleri karmaşık sayılar için geçerlidir. (tümz vew için,|z+w|≤|z|+|w|{\displaystyle |z+w|\leq |z|+|w|}).

İkinci olarak,z=x+iy{\displaystyle z=x+iy} şeklindeki karmaşık sayınınargümanı veyafazı, reel eksenle yaptığı açıdır (Şekil 2'deφ olarak gösteriliyor) vearg⁡(z){\displaystyle \arg(z)} olarak yazılır. Mutlak değer olarak, argüman dikdörtgensel formdan elde edilebilirx+iy{\displaystyle x+iy}:

φ=arctan⁡yx{\displaystyle \varphi =\arctan {\frac {y}{x}}} veyaφ=π+arctan⁡yx{\displaystyle \varphi =\pi +\arctan {\frac {y}{x}}} (x<0{\displaystyle x<0} olduğundaπ ekleyerek,x+iy=r(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ){\displaystyle x+iy=r(\cos \phi +i\sin \phi )} olur).

φ değeri, 2π'nin herhangi çarpanı olarak değiştirilebilir ve yine aynı açıyı verir (buradaradyan kullanıldığına dikkat ediniz). Bundan dolayı, arg fonksiyonu bazen çok değerli olarak ifade edilir, Fakat çoğunlukla değer(−π,π]{\displaystyle (-\pi ,\pi ]} veya[0,2π){\displaystyle [0,2\pi )} aralığında seçilir (Bu asıl değerdir).

Karmaşık sayıların çeşitli formlarda gösterilebilir.Kutupsal form, bir düzlemdeki noktanın tam konumunu belirten mutlak değer ve argüman bileşenleri olarak gösterilebilir, şöyle ki; (r,φ) kutupsal çiftlerinden, özgün dikdörtgenin koordinatları olan(x,y)=(rcos⁡φ,rsin⁡φ){\displaystyle (x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )} elde edildi). Diğer gösterimi:

z=r(cos⁡φ+isin⁡φ){\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\,}

bunatrigonometrik form denir ve bazenr cis φ olarak kısaltılır.Euler formülü kullanılarak şu şekilde gösterilebilir:

z=reiφ,{\displaystyle z=re^{i\varphi },}

buna daüstel form denir.Elektrik Mühendisliği'nde daha çok açısal gösterim kullanımı yaygındır. Bu gösterim,A genlikli veθ fazına sahipfazörü ifade eder ve şu şekilde yazılır:

A∠θ=Aejθ.{\displaystyle A\angle \theta =Ae^{j\theta }.}

Açısal gösterimdeθ, hem radyan hem de derece olabilir. Elektrik akımını ifade edeni ile karıştırmamak için, Elektrik Mühendisliği'ndei yerine daha çokj kullanılır.

Kutupsal formdaki işlemler

[değiştir |kaynağı değiştir]

Çarpma ve bölme kutupsal formda temel formüllere sahiptir:

(r1eiφ1)⋅(r2eiφ2)=r1r2ei(φ1+φ2){\displaystyle (r_{1}e^{i\varphi _{1}})\cdot (r_{2}e^{i\varphi _{2}})=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}}

ve

r1eiφ1r2eiφ2=(r1r2)ei(φ1−φ2).{\displaystyle {\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}.}

Bu formda her iki çarpanın (eşitliklerin solundakiler) katsayıları çarpımın özelliğinden dolayı yan yana (çarpma işleminde) veya alt alta (bölme işleminde) getirilebilirler. Diğer yandanüslü sayıların kuralları gereği ifadeler aynı ise (buradae{\displaystyle e}), bunlar aynı ifade altına alınırken çarpma işleminde üsler toplanır, bölme işleminde ise üsler çıkartılır.

Üstam sayı ise şöyle gösterilir:

(r(cos⁡φ+isin⁡φ))n=rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ).{\displaystyle (r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}[De Moivre formülü

Sonuç olarak kutupsal formlar kökleri bulmak içinde kullanılabilir.z herhangi karmaşık sayı olmak üzere ven pozitif tam sayı içinzn = c olarak gösterilebilir. Bu dacninn. kökü diye okunur. Eğerc sıfır değilse, tamn tane farklıc nin kökü vardır (cebirin temel teoremine göre).r > 0 için,c = re iφ'dec ninn. kökleri:

{rnei(φ+2kπn)∣k∈{0,1,…,n−1}}{\displaystyle \left\{{\sqrt[{n}]{r}}\,e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}\mid k\in \{0,1,\ldots ,n-1\}\,\right\}}

Buradarn{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}, pozitif reel sayı olanr nin genellikle pozitif olann. kökünü ifade eder. Eğerc = 0 isec nin tek bir kökü vardır, o da 0'dır.

Karmaşık sayılarda işlem

[değiştir |kaynağı değiştir]

Karmaşık sayılarda cebirselişlemler gerçel sayıların genişlemesidir.[2] Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.

Eşitlik

[değiştir |kaynağı değiştir]

Birz=a+ib{\displaystyle z=a+\mathbf {i} b} vew=c+id{\displaystyle w=c+\mathbf {i} d} karmaşık sayıları için

z=w{\displaystyle z=w}ancaka=c{\displaystyle a=c} veb=d{\displaystyle b=d} iken geçerlidir.bu doğru bir kavramdır...

Toplama

[değiştir |kaynağı değiştir]

Birz=a+ib{\displaystyle z=a+\mathbf {i} b} vew=c+id{\displaystyle w=c+\mathbf {i} d} karmaşık sayıları için

z+w=(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d){\displaystyle z+w=(a+\mathbf {i} b)+(c+\mathbf {i} d)=(a+c)+\mathbf {i} (b+d)\,}

Çarpma

[değiştir |kaynağı değiştir]

Birz=a+ib{\displaystyle z=a+\mathbf {i} b} vew=c+id{\displaystyle w=c+\mathbf {i} d} karmaşık sayıları için

zw=(a+ib)(c+id)=ac−bd+i(bc+ad){\displaystyle zw=(a+\mathbf {i} b)(c+\mathbf {i} d)=ac-bd+\mathbf {i} (bc+ad)\,}

Eşlenik

[değiştir |kaynağı değiştir]
Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karmaşık uzaydaki gösterimi.

Birz=a+ib{\displaystyle z=a+\mathbf {i} b} karmaşık sayısı içineşlenik ifadesii↦−i{\displaystyle \mathbf {i} \mapsto -\mathbf {i} } dönüşümüdür ve

z¯=a−ib{\displaystyle {\bar {z}}=a-\mathbf {i} b}

ya da matrislerde

z¯=zT=[ab−ba]{\displaystyle {\bar {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} ^{T}={\begin{bmatrix}a&b\\-b&\;\;a\end{bmatrix}}}

olarak tanımlanır.

Eşleniğin cebirsel özellikleri

[değiştir |kaynağı değiştir]

Çarpımsal ters

[değiştir |kaynağı değiştir]

Birz=a+ib{\displaystyle z=a+\mathbf {i} b} karmaşık sayısının tersi ancak

z−1=z¯zz¯=z¯|z|2=aa2+b2−iba2+b2{\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={a \over a^{2}+b^{2}}-\mathbf {i} {b \over a^{2}+b^{2}}}

olarak ya da birmatrisin tersine uygun olarak

z−1=1detz[ab−ba]=[aa2+b2ba2+b2−ba2+b2aa2+b2]{\displaystyle \mathbf {z} ^{-1}={1 \over \det \mathbf {z} }{\begin{bmatrix}a&b\\-b&\;\;a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a \over a^{2}+b^{2}}&{b \over a^{2}+b^{2}}\\-{b \over a^{2}+b^{2}}&\;\;{a \over a^{2}+b^{2}}\end{bmatrix}}}

olduğu görülür.

Karmaşık sayının karekökü

x+i.y=±12[x+x2+y2+i.y.sgn⁡(y)x+x2+y2]{\displaystyle {\sqrt {x+i.y}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\sqrt {x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}+{\frac {i.y.\operatorname {sgn}(y)}{\sqrt {x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}}\right]}

buradasgn⁡(a){\displaystyle \operatorname {sgn}(a)}İşaret fonksiyonudur.

Karmaşık sayının n dereceden kökü

Kök derecesi iki den büyük olan karmaşık sayıların genel denklemi uzundur. n sayısı artıkça genel denklemde uzar. Trigonometrik ve üstel biçim daha uygundur.

n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2} için tam sayı olmak üzere

Üstel biçim:

x+i.yn=x2+y22n.ei.(arctan⁡(yx)+2k.π)n{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x+i.y}}={\sqrt[{2n}]{x^{2}+y^{2}}}.e^{\frac {i.(\arctan({\frac {y}{x}})+2k.\pi )}{n}}}

Trigonometrik biçim:

x+i.yn=x2+y22n.{cos⁡[arctan⁡(yx)+2k.πn]+i.sin⁡[arctan⁡(yx)+2k.πn]}{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x+i.y}}={\sqrt[{2n}]{x^{2}+y^{2}}}.\left\{\cos \left[{\frac {\arctan({\frac {y}{x}})+2k.\pi }{n}}\right]+i.\sin \left[{\frac {\arctan({\frac {y}{x}})+2k.\pi }{n}}\right]\right\}}

k={0,1,2,3,…,n−1}{\displaystyle k=\left\{0,1,2,3,\dots ,n-1\right\}} kök derecesinin bir eksiği kadar sıfırdan başlayarak tam sayılar verilebilir. Bu da n dereceden alınan karmaşık sayının köklerini verir.

Ayrıca bakınız

[değiştir |kaynağı değiştir]
Sayı sistemleri
Karmaşık:C{\displaystyle :\;\mathbb {C} }
Reel:R{\displaystyle :\;\mathbb {R} }
Rasyonel:Q{\displaystyle :\;\mathbb {Q} }
Tam sayı:Z{\displaystyle :\;\mathbb {Z} }
Doğal:N{\displaystyle :\;\mathbb {N} }
Sıfır: 0
Bir: 1
Asal sayılar
Bileşik sayılar
Negatif tam sayılar
Kesir
Sonlu ondalık sayı
İkili (sonlu ikili)
Devirli ondalık sayı
İrrasyonel
Cebirsel irrasyonel
Aşkın
Sanal

Kaynakça

[değiştir |kaynağı değiştir]
Özel
  1. ^Matematik ve Oyun.Ali Nesin. Nesin Yayıncılık. 2007. s. 189. 11 Ocak 2021 tarihinde kaynağındanarşivlendi. Erişim tarihi:10 Ocak 2021. 
  2. ^abAndreescu, Titu; Andrica, Dorin (17 Şubat 2014).Complex Numbers from A to ... Z (İngilizce). Springer Science & Business Media. ss. 1-10.ISBN 978-0-8176-8415-0. 
Genel
Sayılabilir küme
Kompozisyon cebiri
Split türleri
Diğerhiperkarmaşık sayılar
Diğer türler
İlgili diğer kavramlar
Otorite kontrolüBunu Vikiveri'de düzenleyin
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Karmaşık_sayı&oldid=36387848" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
Gizli kategoriler:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp