Bu maddenin veya maddenin bir bölümünün gelişebilmesi içinmatematik konusunda uzman kişilere gereksinim duyulmaktadır. Ayrıntılar için lütfentartışma sayfasını inceleyin veya yeni bir tartışma başlatın. Konu hakkında uzman birini bulmaya yardımcı olarak ya da maddeye gerekli bilgileriekleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz. (Şubat 2009)
Bu madde çoğu okuyucunun anlayamayacağı kadar teknik olabilir. Lütfen teknik detayları çıkarmadan maddeyi uzman olmayan okuyucular tarafından anlaşılabilir hale getirilmesine yardımcı olun.(Kasım 2023)
Bu madde ansiklopedik bir içerik içinçok fazla veya çok uzun alıntılar içeriyor. Alıntıları özetleyerek maddenin iyileştirilmesine yardımcı olun. Doğrudan alıntılarıVikisöz'e aktarmayı düşünebilirsiniz.(Kasım 2021)
Fonksiyon,matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır.Fonksiyon,17. yüzyılda matematiğin kavramlarından biri olmuştur.Fizik,mühendislik,mimarlık ve birçok alanda kullanılmaktadır.Galile,Kepler veNewton hareketlerin araştırılmasında, zaman ve mesafe arasındaki durumu incelemek için fonksiyonlardan faydalanmıştır.Dört işlemden sonra gelen birişlem türüdür.[1]
fonksiyonuna adı verilirse, verilen bir için'nin ilişkisini sağlayan tek elemanı olarak gösterilir. Kimi zaman yerine yazıldığı da olur. Yani her için olur. Ayrıca kümesine fonksiyonunungrafiği adı verilir.[2]
Fonksiyonumatematiksel olarak tanımlamak için bir kural zorunluluğu yoktur. Ama'nin birküme olma zorunluluğu vardır.
Eğer ise üçlüsünün bir fonksiyon olabilmesi için'ninboş küme olması gerektiği açıktır, bu durumda bu üçlüsüboş fonksiyondur. Çizgileri düşey doğruları hepsi grafiği yalnız bir noktada kestiği için f (x) fonksiyondur.
ve ikiküme ise,'nınher elemanını bir şekilde'ninbir ve bir tek elemanıyla ilişkilendirilmiştir. Mesela (gerçel sayılar kümesi), de -3'ten büyükgerçel sayılar kümesi olsun, yani olsun. İlişkilendirme de şöyle yapılmalı:'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanınkaresiyle ilişkilendirilmiş olsun. Böylece ilişkilendirmeyi birformülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, mesela -3 sayısı 9'la, sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte'dan'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyonsembolüyle ifade edilir. Verilen örnek için yazılır.
yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun. fonksiyonu her insanı annesine götürsün.Matematiksel olmasa da bu,'dan'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden kümesine giden bir fonksiyondur.
'dan'ye giden bir fonksiyonu, kümesininher elemanını'ninbir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İleride, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)
Özet olarak, verilmiş bir fonksiyonu,'nınher elemanını bir şekilde'ninbir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.
Yukarıdaki örnekte, kural, olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon birformül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca ve kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile ve kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukarıdaki örnek üzerinden gidelim:
YukarıdaR ve almış ve fonksiyonu kuralıyla tanımlanmıştı. Şimdi yerine alırsak ve formülü ve kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen fonksiyonunu gene ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır.'den'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu mesela ile gösterilebilir.
Bunun gibi, kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; mesela ise, kare alma kuralı'dan'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukarıdakilerle karışmasın diye, ya da ile değil, bir başka sembolle, mesela ile gösterilir.
Aynı şekilde'den'e giden bir fonksiyon, ya da ile değil, mesela ile gösterilmelidir.
Yukarıda koyurenkle yazılı kelimeler şu nedenle önemlidir: Bir fonksiyonu, kümesininher elemanını'nin bir elemanına götürür, yani'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Mesela,karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi'den'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkünegatif sayıların gerçel sayılardakarekökü yoktur. Ya da (doğal sayılar kümesi) ise, kuralı,'dan'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü'dir ve olmasına karşın sayısı'de değildir. Öte yandan bu kuralı,'den tam sayılar kümesi'ye giden bir fonksiyon tanımlar.
İkinci koyu renkli kısmın önemi ise şu şekildedir: Bir fonksiyonu,'nın her elemanını'ninbir ve bir tek elemanına götürür, yani'nın aynı elemanı'nin iki ayrı elemanına gidemez.[3] (Yukarıda verilen kardeş misali hatırlanmalı.) Mesela ise,'nin bir elemanını denkleminin çözümlerine götüremez, çünkü eğer değilse, bu denkleminR'de iki değişik çözümü vardır, nitekim denkleminin çözümleri ve'tir. Burada,'nin'e mi yoksa'e mi gideceği belirtilmemiştir ve bu, bir fonksiyon yaratmada sorun teşkil eder. Bir fonksiyonunda,'nın her elemanını'ninbir ve bir tek elemanına gitmelidir, iki ya da daha fazla elemana gidemez. (Birkaç yüzyıl önce bu tür fonksiyonlar kabul ediliyordu ama bugün bunlara fonksiyon denmiyor.)
Karmaşık üstel grafiğin yüzey grafikleri fonksiyonu
Eğer ise'e'in altındagörüntüsü adı verilir.'nin
altkümesi olarak gösterilir ve bu kümeye'ningörüntü kümesi adı verilir. (Kimi yerine'yegörüntü kümesi demeyi yeğliyor ama her zaman görüntü kümesi değer kümesine eşit olmak zorunda değildir.)
Mesela kuralıyla tanımlanan(-3,5)R fonksiyonunun görüntü kümesi aralığıdır.
ve fonksiyonlarının birbirine eşit olması için, 1) tanım kümelerinin eşit olması, 2) değer kümelerinin eşit olması ve 3) tanım kümesindeki her için olması gerekmektedir. Bu üç şarttan biri eksikse fonksiyonlar eşit olmaz. (Genellikle liselerde sadece üçüncü şart üzerinde durulur.) Gene de eşitlikte en önemli şart (3) şartıdır. Ardından (1) şartı gelir. (2) şartının gözden kaçtığı olur.
ve iki küme olsun ve olsun.'nın her elemanını'nin bu elemanına götüren fonksiyonasabit fonksiyon adı verilir. değerini alan sabit fonksiyonu olarak gösterirsek, o zaman fonksiyonu, her için kuralıyla tanımlanır.Not: ve kümelerinin önemini ortaya çıkarmak istiyorsak, yerine yazmak gerekebilir. Bu fonksiyona "sabit fonksiyonu" adı verilir.
Eğer ise, hangi küme olursa olsun,'dan'ye giden bir ve tek fonksiyon vardır:boş fonksiyon. Pek de önemli olmayan bu olgu, birazdan, fonksiyonun matematiksel tanımı verdiğimizde bariz olacak.
Eğer bir fonksiyonsa ve,'nın biraltkümesiyse, o zaman fonksiyonunu altkümesine kısıtlayabiliriz, yani'nin sadece kümesinin elemanlarında alacağı değerlerle ilgilenilebilir. Bu yeni fonksiyon
olarak yazılır ve bu fonksiyona'nin'ekısıtlanmışı adı verilir. Elbette eğer ise eşitliği geçerlidir.
Bir fonksiyonun varış kümesini de değiştirilebilir: bir fonksiyon olsun.,'nin görüntü kümesi'yı altküme olarak içeren herhangi bir küme olsun. O zaman tanım kümesini ve kuralını değiştirmeden yeni bir fonksiyonu elde edilebilir. Bu fonksiyon - daha önceki paragraftaki gibi - özel bir sembolle gösterilmez.
ve iki fonksiyon olsun. üzerinde olan, üzerinde olan ve'den'ye giden bir fonksiyonu tanımlamak istiyoruz. Eğer ise olmalı. Eğer ise olmalı. Ama olduğunda, için ya da arasında bir seçim yapmalıyız, özellikle eğer ise... Bu durumda hangi seçimi yapılırsa yapılsın istediğimiz iki şarttan birini çiğnemek zorunda kalacağız. Ama diyelim ki, her için, yani ve fonksiyonları kesişiminde aldıkları değer aynı, bir başka deyişle. O zaman fonksiyonunu herhangi bir seçime gerek kalmadan şöyle tanimlayabiliriz:
eğer ise
eğer ise.
Bu fonksiyona ve fonksiyonlarının birleşimi ya da yapıştırılması adı verilir ve yukarıda gösterildiği gibi bu fonksiyon olarak yazılır.
Mesela fonksiyonu olarak tanımlanmışsa ve fonksiyonu olarak tanımlanmışsa, o zaman fonksiyonu aynenmutlak değer fonksiyonudur:.
Elbette ve.
Gene doğal olarak diye bir fonksiyon varsa diye bir fonksiyon de vardır ve bu iki fonksiyon birbirine eşittir.
Yukarıdaki yapıştırmayı yapabilmemiz için ve fonksiyonlarının varış kümeleri aynı olmak zorunda değildi. Nitekim, eğer ve iki fonksiyon ise ve bu fonksiyonların kümesinde aldıkları değer eşitse, o zaman üzerinde olan, üzerinde olan bir fonksiyonunu gene tanımlayabiliriz.
İkiden çok, hatta sonsuz tane fonksiyonu da yapıştırabiliriz eğer gerekli şartlar sağlanıyorsa: birfonksiyon ailesi olsun. Ayrıca hergöstergeçleri (endisleri) için ve fonksiyonlarının kesişiminde aldıkları değerler eşit olsun. O zaman her ve her için eşitliğini sağlayan bir fonksiyonu,
"eğer ise"
kuralıyla tanımlanabilir. Bu tür yapıştırmalar topolojide ve analizde sık sık kullanılır.
Bir fonksiyonun altkümeler kümesinde neden olduğu fonksiyon. bir fonksiyon olsun.'nın her altkümesi için,'nin altkümesi şöyle tanımlanır:
.
Bu yazılımı ender de olsa soruna yol açabilir, çünkü'nın altkümesi bal gibi de aynı zamanda'nın bir elemanı olabilir, o zaman ifadesinin fonksiyonunun'te aldığı değer mi olduğu, yoksa yukarıdaki gibi' nin altkümesi olarak mı tanımlandığı anlaşılamaz. Mesela, olsun. olsun. fonksiyonu,, olarak tanımlansın. Ve son olarak olsun., hem'nın bir elemanı hem de bir alt kümesidir. eleman olarak görüldüğünde olur ama altküme olarak görüldüğünde olur. Belki bu yüzden
tanımı yerine,
tanımını yapmak daha yerinde olur.
Eğer,'in alt kümeleri kümesiyse, yukarıdaki kuralı,'ten'ye giden bir fonksiyon tanımlar. Bu fonksiyonu altküme olma ilişkisine saygı duyar.
X kümesindeki her eleman (bir giriş),Y kümesindeki bir elemanla mutlaka eşlenmelidir. (bir çıkış)Bu gösterim bir fonksiyon (fonksiyon) değildir. (Bir girişe iki çıkış vardır.)Örnek bir fonksiyon (fonksiyon) grafiği
A'dan B'ye tanımlı bir gönderme (f), (A, B, F) şeklinde gösterilebilen bir üçlüdür. Burada F, aşağıdaki özelliklere sahipsıralı ikilikümesidir.
Başka bir deyişle, bir bağıntının gönderme olabilmesi için, A kümesindeki herhangi bir ögenin B kümesinden en fazla bir ögeyle eşleşmesi gerekmektedir.
Gönderme, dahasoyut matematiksel anlamda bir kümedir ve tanımı şu şekildedir: göndermesi için,
Yukarıdaki resmi tanımlama, her zaman kullanışlı olmadığından genelde göndermeler farklı tanımlanır.
En yaygın tanımlama biçimi, örneklerde görüldüğü gibi sağ tarafıgirdilere (parametrelere) dayalı formül, sol tarafı göndermenin ve bağımsız girdilerin belirtildiği bir eşitliktir.
Göndermeler aşağıda örnekte görüldüğü gibi parçalı şekilde de tanımlanabilir.
