Felix Klein 25 Nisan 1849'daPrusyalı bir ailenin çocuğu olarakDüsseldorf'ta[1] doğdu. Babası Caspar Klein (1809-1889),Ren Eyaleti'nde görevli bir Prusya hükûmet yetkilisinin sekreteriydi. Annesi, Sophie Elise Klein'dı (1819-1890,Evlilik öncesi soyadı Kayser).[2] Düsseldorf'takiGymnasium'a katıldı, daha sonrafizikçi olma niyetiyle[3] 1865-1866Bonn Üniversitesinde matematik ve fizik okudu. O zamanlarJulius Plücker, Bonn'un matematik vedeneysel fizik profesörüydü, ancak Klein asistanı olduğunda, 1866'da Plücker'in ilgisi esas olarak geometri idi. Klein doktorasını 1868'de Bonn Üniversitesinden Plücker'in gözetiminde yaptı.
Plücker 1868'de öldü veçizgi geometrisinin temeli hakkındaki kitabını eksik bıraktı. Klein,Plücker'in Neue Geometrie des Raumes'ın ikinci bölümünü tamamlayan en bariz kişiydi ve böylece 1868'deGöttingen'e taşınanAlfred Clebsch ile tanıştı. Klein ertesi yılBerlin veParis ziyaretleri esnasında Clebsch'i de ziyaret etti. Temmuz 1870'te,Fransa-Prusya Savaşı'nın başında Paris'teydi ve ülkeyi terk etmek zorunda kaldı. 1871'in başlarında Göttingen'de kısa bir süre için öğretim görevlisi olarak atanmadan öncePrusya Ordusunda sağlık memuru olarak görev yaptı.
Technische Hochschule'de beş yıl geçirdikten sonra Klein,Leipzig'de birgeometri kürsüsüne atandı. Meslektaşları arasındaWalther von Dyck, Rohn,Eduard Study veFriedrich Engel de vardı. Klein'ın Leipzig'deki 1880-1886 yılları, hayatını temelden değiştirdi. 1882'de sağlığı çöktü; 1883-1884'te depresyona girdi.[6] Yine de araştırmalarına devam etti; onun hipereliptik sigma fonksiyonları üzerine 1886 ve 1888 yılları arasında yayımlanan ufuk açıcı çalışması bu dönemden kalmadır.
Klein, 1886'daGöttingen Üniversitesinde profesörlüğü kabul etti. O andan itibaren, 1913'te emekli olana kadar, Göttingen'i matematik araştırmaları için dünyanın en önemli merkezi olarak yeniden kurmaya çalıştı. Bununla birlikte,geometri geliştiricisi olarak kendi başrolünü Leipzig'den Göttingen'e asla transfer etmeyi başaramadı. Göttingen'de matematik ve fizik arasındaki arayüz, özellikle demekanik vepotansiyel teori ile ilgili çeşitli dersler verdi.
Klein'ın Göttingen'de kurduğu araştırma ünitesi, dünya çapında bu tür ünitelerin en iyisi için örnek teşkil etti. Haftalık tartışma toplantılarını başlattı ve matematiksel bir okuma odası ve kütüphane oluşturdu. 1895'te Klein,David Hilbert'iKönigsberg Üniversitesinde işe aldı. Bu atamanın büyük önemi olduğunu kanıtladı; Hilbert, Göttingen'in matematikteki önceliğini 1932'de emekli olana kadar geliştirmeye devam etti.
1893'te Klein,Dünya Kolomb Sergisi'nin bir parçası olarak Chicago'da düzenlenen Uluslararası Matematik Kongresi'nde önemli bir konuşmacıydı.[7] Göttingen, kısmen Klein'ın çabalarından dolayı 1893'te kadınları kabul etmeye başladı. Klein, hayranlık duyduğuArthur Cayley'nin İngiliz öğrencisiGrace Chisholm Young tarafından Göttingen'de bir kadın tarafından yazılan ilk matematik doktora tezini yönetti. 1897'de Klein,Hollanda Kraliyet Sanat ve Bilim Akademisi'nin yabancı bir üyesi oldu.[8]
1900'lerde Klein, okullarda matematik öğretimiyle ilgilenmeye başladı. 1905'teanalitik geometrinin, diferansiyel ve integralkalkülüsün temellerinin vefonksiyon kavramının ortaokullarda öğretilmesini öneren bir planın formüle edilmesinde etkili oldu.[9][10] Bu öneri, dünyanın birçok ülkesinde kademeli olarak uygulanmıştır. 1908'de Klein, RomaUluslararası Matematikçiler Kongresi'ndeUluslararası Matematiksel Öğretim Komisyonu'nun başkanı seçildi.[11] Onun rehberliğinde, Komisyon'un Almanlardan oluşan kısmı, Almanya'daki her seviyede matematik öğretimi üzerine birçok cilt yayımladı.
Klein,I. Dünya Savaşı'nın ilk aşamalarında Almanya'nın Belçika'yı işgalini desteklemek için kaleme alınanDoksan Üçler Manifestosu'nun doksan üç imzacısından biriydi.
Klein'ın tezi, çizgi geometrisi vemekaniğe uygulamaları,Weierstrass'ın temel bölenler teorisini kullanarak ikinci derece çizgi komplekslerini sınıflandırdı.
Klein'ın ilk önemli matematiksel keşifleri 1870'te yapıldı.Sophus Lie ile birlikteKummer yüzeyindeki asimptotik çizgilerin temel özelliklerini keşfetti. Daha sonra bir grupizdüşümsel dönüşüm altında değişmeyen eğriler olanW-eğrilerini araştırdılar. Daha sonraki çalışmalarında önemli bir role sahip olacak olan grup kavramını Klein'a tanıtan Lie idi. Klein ayrıcaCamille Jordan'dan da grupları öğrendi.[12]
El yapımı Klein Şişesi
Klein, kendi adını taşıyan "Klein şişesi"ni tasarladı, üç boyutluÖklid uzayına gömülemeyen tek taraflı kapalı bir yüzey, ancak "içeriden" diğer ucuyla birleşmek için kendi içinden geri dönen bir silindir olarak kendi içine daldırılır. 4 ve daha yüksek boyutlardaki Öklid uzayına gömülmüş olabilir. Klein şişesi konsepti, 3 boyutlu birMöbius şeridi olarak tasarlandı ve bir yapım yöntemi, iki Möbius şeridinin kenarlarının bağlanmasıydı.[13]
1871'de Göttingen'deyken Klein geometride büyük keşifler yaptı. Öklidyen ve Öklidyen olmayan geometrilerinCayley-Klein metriğiyle belirlenenmetrik uzaylar olarak kabul edilebileceğini gösterenÖklid Olmayan Geometri Üzerine (On the So-called Non-Euclidean Geometry) adlı iki makale yayımladı. Bu içgörü,Öklid dışı geometrinin ancak ve ancakÖklid geometrisi olduğu takdirde tutarlı olduğu, Öklidyen ve Öklid dışı geometrilere aynı statüyü veren ve Öklid dışı geometri hakkındaki tüm tartışmaları sona erdiren sonuca sahipti.Arthur Cayley döngüsel olduğuna inandığı için Klein'ın argümanını asla kabul etmedi.
Erlangen programı (1872) olarak bilinen belirli birdönüşüm grubu altında değişmeyen bir uzayın özelliklerinin incelenmesi olarak Klein'ıngeometri sentezi, matematiğin evrimini derinden etkiledi. Bu program, Klein'ın Erlangen'de profesör olarak yaptığı açış konuşmasıyla başlatıldı, ancak bu vesileyle yaptığı asıl konuşma değildi. Program, kabul gören modern yöntem hâline gelen birleşik bir geometri sistemi önerdi. Klein, belirli bir geometrinin temel özelliklerinin, bu özellikleri koruyandönüşüm grubu tarafından nasıl temsil edilebileceğini gösterdi. Böylece programın geometri tanımı hem Öklidyen hem de Öklid dışı geometriyi kapsıyordu.
Şu anda, Klein'ın geometriye katkılarının önemi açıktır. Matematiksel düşüncenin o kadar büyük bir parçası oldular ki, ilk sunulduğunda yeniliklerini takdir etmek ve çağdaşlarının tümü tarafından hemen kabul edilmediklerini anlamak zordur.
Klein, derecesi > 4 olan denklemleri değerlendirdi ve özellikle beşinci derecenin genel denklemini çözmek için aşkın yöntemlerle ilgileniyordu.Charles Hermite veLeopold Kronecker'in yöntemlerine dayanarak, Brioschi'ninkilere benzer sonuçlar verdi ve daha sonra problemi (yirmi eşkenar üçgen yüzlü)ikosahedral grubu aracılığıyla tamamen çözdü. Bu çalışma,eliptik modüler fonksiyonlar üzerine bir dizi makale yazmasını sağladı.
Klein,ikosahedron üzerine 1884 tarihli kitabında cebir ve geometriyi ilişkilendiren birotomorfik fonksiyonlar teorisini kurdu.Poincaré, 1881'de otomorfik fonksiyonlar teorisinin bir taslağını yayımladı ve bu, iki adam arasında dostane bir rekabetle sonuçlandı. Her ikisi de yeni teoriyi daha eksiksiz bir şekilde kuracak büyük birTekdüzelik teoremini ifade etmeye ve kanıtlamaya çalıştı. Klein böyle bir teoremi formüle etmeyi ve bunu ispatlamak için bir strateji tanımlamayı başardı.
^Hilbert (İngilizce). New York: Springer-Verlag. 1996. s. 19.ISBN9781461207399. 15 Ekim 2021 tarihinde kaynağındanarşivlendi. Erişim tarihi: 12 Aralık 2020.
^"Felix C. Klein (1849-1925)". Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. 23 Temmuz 2015 tarihinde kaynağındanarşivlendi. Erişim tarihi:22 Temmuz 2015.
Tobies, Renate (Fritz König ile birlikte)Felix Klein. Teubner Verlag, Leipzig 1981.
Rowe, David "Felix Klein, David Hilbert ve Göttingen Matematiksel Geleneği (Felix Klein, David Hilbert, and the Göttingen Mathematical Tradition)", Almanya'da Bilim: Kurumsal ve Entelektüel Sorunların Kesişimi'nde (in Science in Germany: The Intersection of Institutional and Intellectual Issues),Kathryn Olesko, ed., Osiris, 5 (1989), 186–213.
F. Klein."On line geometry and metric geometry" [Çizgi üzerinde geometri ve metrik geometri](PDF). D. H. Delphenich tarafından çevrildi. 21 Ekim 2013 tarihindekaynağından(PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Şubat 2021.
