Sezgisel olarak, bir eğri, hareket eden birnoktanın bıraktığı iz olarak düşünülebilir.Bu, 2000 yıldan daha uzun bir süre önceÖklid'inElementler'inde ortaya çıkan tanımdır: "[Eğri] çizgi[a] […] yalnızca bir boyuta, yani uzunluğa sahip olan, genişliği ve derinliği olmayan ilk nicelik türüdür ve […] hayali hareketinden uzunlamasına, her türlü genişlikten muaf bir iz bırakacak olan noktanın akışından veya gidişinden başka bir şey değildir."[1]
Bir eğrinin bu tanımı modern matematikte şu şekilde resmîleştirilmiştir:Bir eğri, biraralığın birsürekli fonksiyon aracılığıyla birtopolojik uzaya gidengörüntüsüdür.Bazı bağlamlarda, eğriyi tanımlayan fonksiyonaparametrizasyon, eğriye iseparametrik eğri denir.Bu maddede, bu tür eğriler,türevlenebilir eğriler gibi daha kısıtlı eğrilerden ayırt edilmek üzere bazentopolojik eğriler olarak adlandırılmıştır.Bu tanım, matematikte incelenen çoğu eğriyi kapsar;kayda değer istisnalardüzey eğrileri (eğrilerin ve ayrık noktalarınbirleşimi olan) vecebirsel eğrilerdir. Düzey eğrileri ve cebirsel eğriler, genellikleörtük denklemlerle tanımlandıkları için bazenörtük eğriler (implicit curves) olarak adlandırılır.
Yine de, topolojik eğriler sınıfı çok geniştir ve bir eğri için beklenebilecek görünüme sahip olmayan, hatta çizilemeyen bazı eğrileri içerir.Uzay dolduran eğriler vefraktal eğrilerin durumu böyledir.Daha fazla düzenlilik sağlamak için, eğriyi tanımlayan fonksiyonun genellikletürevlenebilir olduğu varsayılır ve bu durumda eğriyetürevlenebilir eğri denir.
Bir düzlemselcebirsel eğri, ikibelirsizli birpolinomunsıfır kümesidir.Daha genel olarak, bir cebirsel eğri, sonlu sayıda polinomun oluşturduğu ve bir boyutlu bircebirsel varyete olma koşulunu sağlayan sıfır kümesidir.Polinomların katsayıları birkcismine aitse, eğrininküzerinde tanımlı olduğu söylenir.k'nıngerçel sayılar cismi olduğu yaygıngerçel cebirsel eğri durumunda, bir cebirsel eğri, topolojik eğrilerin sonlu bir birleşimidir.Karmaşık sıfırlar dikkate alındığında,topolojik açıdan bir eğri değil, biryüzey olan ve genellikleRiemann yüzeyi olarak adlandırılan birkarmaşık cebirsel eğri elde edilir.Yaygın anlamda eğri olmamalarına rağmen, diğer cisimler üzerinde tanımlanan cebirsel eğriler geniş çapta incelenmiştir.Özellikle, birsonlu cisim üzerindeki cebirsel eğriler modernkriptografide yaygın olarak kullanılmaktadır.
Eğrilere olan ilgi, matematiksel bir çalışma konusu olmalarından çok önce başlamıştır.Bu durum, tarih öncesi zamanlara dayanan sanat eserlerinde ve günlük nesnelerdeki dekoratif kullanımlarının sayısız örneğinde görülebilir.[2] Eğriler veya en azından bunların grafiksel temsilleri, örneğin sahildeki kumun üzerine bir çubukla çizilerek kolayca oluşturulabilir.
Tarihsel olarak, daha modern olaneğri terimi yerineçizgi (line) terimi kullanılmıştır.Bu nedenle, bugün doğru (line) olarak adlandırılan nesneleri eğri çizgilerden ayırmak içindüz çizgi vesağ çizgi (right line) terimleri kullanılıyordu.Örneğin,Öklid'in Elementleri Kitap I'de, bir çizgi "genişliği olmayan uzunluk" (Tanım 2) olarak tanımlanırken,düz bir çizgi "üzerindeki noktalarla bir hizada yatan çizgi" (Tanım 4) olarak tanımlanır.Öklid'in çizgi fikri belki de "Bir çizginin uçları noktalardır" (Tanım 3) ifadesiyle açıklığa kavuşturulmuştur.[3] Daha sonraki yorumcular çizgileri çeşitli şemalara göre sınıflandırmışlardır. Örneğin:[4]
Bileşik çizgiler (bir açı oluşturan çizgiler)
Bileşik olmayan çizgiler
Belirli (daire gibi sonsuza kadar uzamayan çizgiler)
Belirsiz (doğru ve parabol gibi sonsuza kadar uzanan çizgiler)
Yunangeometriciler başka birçok eğri türünü de incelemişlerdir.Bunun bir nedeni, standartpergel ve cetvel inşası kullanılarak çözülemeyen geometrik problemleri çözmeye olan ilgileriydi.Bu eğriler şunları içerir:
Eğriler teorisindeki temel bir ilerleme, on yedinci yüzyıldaRené Descartes tarafındananalitik geometrinin tanıtılmasıydı.Bu, bir eğrinin karmaşık bir geometrik inşa yerine bir denklem kullanılarak tanımlanmasını sağladı.Bu sadece yeni eğrilerin tanımlanmasına ve incelenmesine izin vermekle kalmadı, aynı zamandapolinom denklemleri kullanılarak tanımlanabilencebirsel eğriler ile tanımlanamayanaşkın eğriler arasında resmi bir ayrım yapılmasını sağladı.Daha önce eğriler, nasıl oluşturulduklarına veya oluşturulabileceklerine göre "geometrik" veya "mekanik" olarak tanımlanıyordu.[2]
Newton davaryasyonlar hesabının erken bir örneği üzerinde çalıştı.Brakistokron vetotokron soruları gibi varyasyonel problemlere getirilen çözümler, eğrilerin özelliklerini yeni yollarla tanıttı (bu durumda,sikloid).Zincir eğrisi, adını asılı bir zincir problemine çözüm olmasından alır; bu tür sorulardiferansiyel hesap aracılığıyla rutin olarak erişilebilir hale gelmiştir.
On sekizinci yüzyılda, genel olarak düzlemsel cebirsel eğriler teorisinin başlangıcı geldi.Newton, reel noktaların 'ovaller' halindeki genel tanımında kübik eğrileri incelemişti.Bézout teoreminin ifadesi, zamanın geometrisiyle doğrudan erişilemeyen, tekil noktalar ve karmaşık çözümlerle ilgili bir dizi yönü gösterdi.
Birtopolojik eğri,gerçel sayıların birIaralığından birXtopolojik uzayına giden birsürekli fonksiyonu ile belirtilebilir.Bir başka deyişle,eğri,'nıngörüntüsüdür. Ancak bazı bağlamlarda,'nın kendisi, özellikle görüntü genel olarak eğri olarak adlandırılan şeye benzemediğinde ve'yı yeterince karakterize etmediğinde, bir eğri olarak adlandırılır.
Örneğin,Peano eğrisinin veya daha genel olarak biruzay dolduran eğrinin görüntüsü bir kareyi tamamen doldurur ve bu nedenle'nın nasıl tanımlandığına dair herhangi bir bilgi vermez.
Bir eğrisi, eğer ve isekapalıdır[b] veya birilmektir.Dolayısıyla kapalı bir eğri, birçemberin sürekli bir eşlemesinin görüntüsüdür.Kapalı olmayan bir eğriyeaçık eğri de denebilir.
Bir topolojik eğrinintanım kümesi, kapalı ve sınırlı bir aralık ise, eğriyeyolak veyatopolojik yay (ya da sadeceyay) denir.
Bir eğri, bir aralığın veya bir çemberinbirebir sürekli bir fonksiyonla görüntüsü isebasittir.Başka bir deyişle, bir eğri bir aralığı tanım kümesi olarak alan sürekli bir fonksiyonu ile tanımlanıyorsa, eğrinin basit olması için gerek ve yeter şart, noktaların aralığın uç noktaları olması durumu haricinde, aralığın herhangi iki farklı noktasının farklı görüntülere sahip olmasıdır.Sezgisel olarak, basit bir eğri "kendisini kesmeyen ve eksik noktası olmayan" (kendisiyle kesişmeyen sürekli bir eğri) bir eğridir.[8]
Birdüzlemsel eğri,'inÖklid düzlemi olduğu (bunlar ilk karşılaşılan örneklerdir) veya bazı durumlardaprojektif düzlem olduğu bir eğridir.Biruzay eğrisi,'in en azüç boyutlu olduğu bir eğridir;birçarpık eğri, hiçbir düzlemde yatmayan bir uzay eğrisidir (örneğin, birsarmal).Düzlem, uzay ve çarpık eğrilerin bu tanımları, yukarıdaki eğri tanımı geçerli olmasa da (bir reel cebirsel eğribağlantısız olabilir),reel cebirsel eğriler için de geçerlidir.Uzay eğrisi için daha eski bir terim "çifte eğrilikli eğri"dir, çünkü iki şekilde eğrilir (hem eğrilik hem de burulma ile).
Düzlemsel basit kapalı eğriyeJordan eğrisi de denir.Ayrıca düzlemde kendisiyle kesişmeyensürekli ilmek olarak da tanımlanır.[9]Jordan eğrisi teoremi, bir Jordan eğrisinin düzlemdekitümleyen kümesinin ikibağlantılı bileşenden oluştuğunu (yani eğrinin düzlemi kesişmeyen ikibölgeye ayırdığını ve her ikisinin de bağlantılı olduğunu) belirtir. Bir Jordan eğrisinin içindeki sınırlı bölgeJordan bölgesi olarak bilinir.
Eğri tanımı, yaygın kullanımda eğri olarak adlandırılması zor olan şekilleri de içerir.Örneğin, bir eğrinin görüntüsü düzlemdeki birkareyi kaplayabilir (uzay dolduran eğri) ve basit bir eğri pozitif bir alana sahip olabilir.[10]Fraktal eğriler sağduyuya aykırı özelliklere sahip olabilir.Örneğin, bir fraktal eğri birden büyük birHausdorff boyutuna (bkz.Koch kartanesi) ve hatta pozitif bir alana sahip olabilir.Bir örnek, birçok başka sıra dışı özelliğe sahip olanejderha eğrisidir.
Kabaca,türevlenebilir bir eğri, yerel olarakgerçel sayıların birIaralığından genellikle olan bir türevlenebilirX manifolduna giden birebir türevlenebilir bir fonksiyonunun görüntüsü olarak tanımlanan bir eğridir.
Daha kesin olarak, türevlenebilir bir eğri,C'nin her noktasının,'nun gerçel sayıların bir aralığınadifeomorfik olduğu birU komşuluğuna sahip olduğu,X'in birC alt kümesidir. Başka bir deyişle, türevlenebilir bir eğri, birinci boyuttan türevlenebilir bir manifolddur.
"Yay (geometri)" buraya yönlendirilmektedir. sonlu projektif geometrideki kullanım içinYay (projektif geometri) sayfasına bakınız. özellikle çemberlerde kullanım içinDairesel yay sayfasına bakınız.
Eğer,-boyutlu Öklid uzayı ise ve birebir ve sürekli türevlenebilir bir fonksiyon ise,'nın uzunluğu şu miktar olarak tanımlanır:
Bir eğrinin uzunluğu,parametrizasyonundan bağımsızdır.Özellikle, kapalı bir aralığında tanımlanmış sürekli türevlenebilir bir fonksiyonunungrafiğinin uzunluğu şöyledir:
bu, sezgisel olarakPisagor teoreminin eğrinin tam uzunluğu boyunca sürekli olarak sonsuz küçük ölçekte kullanılması olarak düşünülebilir.[11]
Daha genel olarak, eğer, metriğine sahip birmetrik uzay ise, o zaman bir eğrisinin uzunluğunu şu şekilde tanımlayabiliriz:
burada supremum, tüm ve'nin tüm parçalanışları üzerinden alınır.Rektifiye edilebilir (uzunluğu ölçülebilir) bir eğri,sonlu uzunluğa sahip bir eğridir. Bir eğrisi, olan herhangi bir için şu geçerliysedoğal (veya birim hızlı veya yay uzunluğu ile parametrize edilmiş) olarak adlandırılır:
Eğer birLipschitz-sürekli fonksiyon ise, o zaman otomatik olarak rektifiye edilebilirdir.Ayrıca, bu durumda, noktasında'nın hızı (veyametrik türevi) şu şekilde tanımlanabilir:
Karşılaşılan ilk eğri örnekleri çoğunlukla düzlemsel eğriler (yani günlük kelimelerle,iki boyutlu uzaydakieğri çizgiler) olsa da, üç boyutta doğal olarak var olansarmal gibi bariz örnekler de vardır.Geometrinin ve örneğinklasik mekaniğin ihtiyaçları, herhangi bir sayıdaki boyuta sahip uzayda bir eğri kavramına sahip olmaktır.Genel görelilikte, birdünya çizgisi,uzay-zamandaki bir eğridir.Eğer birtürevlenebilir manifold ise, o zaman içindetürevlenebilir eğri kavramını tanımlayabiliriz.Bu genel fikir, matematikteki eğri uygulamalarının çoğunu kapsamak için yeterlidir.Yerel bir bakış açısından, Öklid uzayı olarak alınabilir.Öte yandan, (örneğin)'e teğetteğet vektörlerini bu eğri kavramı aracılığıyla tanımlamanın mümkün olması bakımından daha genel olmak yararlıdır.Eğerdüzgün bir manifold ise, içindeki birdüzgün eğri, birdüzgün tasvirdir (map):
.
Bu temel bir kavramdır. Daha az ve daha çok kısıtlanmış fikirler de vardır.Eğer bir manifoldu ise (yani,haritasınıngeçiş haritaları kezsürekli türevlenebilir olan bir manifold), o zaman içindeki bir eğrisi, yalnızca (yani kez sürekli türevlenebilir) olduğu varsayılan böyle bir eğridir.Eğer biranalitik manifold ise (yani sonsuz kez türevlenebilir ve haritalarıkuvvet serileri olarak ifade edilebilir) ve analitik bir tasvir ise, o zaman'nın biranalitik eğri olduğu söylenir.Bir türevlenebilir eğri,türevi asla yok olmuyorsadüzenli olarak adlandırılır.(Kelimelerle ifade edilirse, düzenli bir eğri asla yavaşlayıp durmaz veya kendi üzerinden geri dönmez.) İki türevlenebilir eğri;
geçerliyse, bu eğrilerindenk olduğu söylenir. tasvirine'in biryeniden parametrizasyonu denir; ve bu, içindeki tüm türevlenebilir eğriler kümesi üzerinde birdenklik bağıntısı oluşturur.Biryayı, yeniden parametrizasyon bağıntısı altındaki eğrilerinin birdenklik sınıfıdır.
Cebirsel eğriler,cebirsel geometride ele alınan eğrilerdir.Bir düzlemsel cebirsel eğri,f'in birF cismi üzerinde tanımlı iki değişkenli bir polinom olduğuf(x,y) = 0 olacak şekildex,y koordinatlarına sahip noktalarınkümesidir.EğrininFüzerinde tanımlı olduğu söylenir. Cebirsel geometri normalde sadeceF içindeki koordinatlara sahip noktaları değil, bircebirsel kapalı cisimK içindeki koordinatlara sahip tüm noktaları dikkate alır.
EğerC, katsayılarıF içinde olan birf polinomu ile tanımlanan bir eğri ise, eğrininF üzerinde tanımlı olduğu söylenir.
Gerçel sayılar üzerinde tanımlı bir eğri durumunda, normaldekarmaşık koordinatlara sahip noktalar dikkate alınır.Bu durumda, gerçel koordinatlara sahip bir noktareel noktadır (gerçel nokta) ve tüm reel noktaların kümesi eğrininreel kısmıdır.Bu nedenle, topolojik bir eğri olabilen yalnızca bir cebirsel eğrinin reel kısmıdır (bu her zaman geçerli değildir, çünkü bir cebirsel eğrinin reel kısmı bağlantısız olabilir ve ayrık noktalar içerebilir).Eğrinin tamamı, yani karmaşık noktalar kümesi, topolojik açıdan bir yüzeydir.
Özellikle, tekil olmayan karmaşık projektif cebirsel eğrilereRiemann yüzeyleri denir.BirG cismindeki koordinatlara sahipC eğrisinin noktalarınınG üzerinde rasyonel olduğu söylenir veC(G) şeklinde gösterilebilir.Grasyonel sayılar cismi olduğunda, basitçerasyonel noktalardan söz edilir.
Örneğin,Fermat'nın Son Teoremi şu şekilde yeniden ifade edilebilir:n > 2için,n dereceliFermat eğrisinin her rasyonel noktasının sıfır olan bir koordinatı vardır.Cebirsel eğriler ayrıca uzay eğrileri veya daha yüksek boyutlu, örneğinn, bir uzaydaki eğriler olabilir.Bunlar, birboyutlucebirsel varyeteler olarak tanımlanır.n değişkendeki en azn–1 polinom denkleminin ortak çözümleri olarak elde edilebilirler.n boyutlu bir uzayda bir eğriyi tanımlamak içinn–1 polinom yeterliyse, eğrinin birtam kesişim olduğu söylenir.
Bir düzlemsel eğri,projektif düzlemde bir eğriye de tamamlanabilir: eğer bir eğri toplam derecesid olan birf polinomu ile tanımlanıyorsa,wdf(u/w,v/w),d dereceli birhomojen polinom olang(u,v,w)'ye sadeleşir.g(u,v,w) = 0 olacak şekildekiu,v,w değerleri, eğrinin projektif düzlemdeki tamamlanmasının noktalarının homojen koordinatlarıdır ve başlangıç eğrisinin noktalarıw'nin sıfır olmadığı noktalardır.
Bir örnek,xn +yn = 1 afin formuna sahip olanun +vn =wn Fermat eğrisidir.Benzer bir homojenleştirme işlemi, daha yüksek boyutlu uzaylardaki eğriler için de tanımlanabilir.
^Eski Fransızcada: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude."Sayfa 7 ve 8;Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
