Movatterモバイル変換

İçeriğe atla

Determinant

Bağlantıları değiştir

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Determinant kare birmatris ile ilişkili özel bir sayıdır.

BirA matrisin determinant'ıdet(A) ya dadetA şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin:

{\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}

matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir:

{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}\

.

Basit bir örnek olarak,

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\,$

matrisinin determinantı şudur:

\det A=ad-bc.\

Determinantın açık tanımı

[değiştir |kaynağı değiştir]

Determinantın açık tanımı birA matrisinin kofaktörüC ya daminörüM cinsinden gösterilebilir:

\det(A)=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}C_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}(-1)^{i+j}M_{i,j}

.

Determinant ve geometri

[değiştir |kaynağı değiştir]

Yukarıda belirtilen 2x2A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a +c,b +d) ve (c,d) noktalarında olan birparalelkenarın alanına eşittir.

Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutluparalelyüz cisminin hacmine eşittir.

Determinantın temel özellikleri

[değiştir |kaynağı değiştir]

Birim matrisin determinantı birdir:

{\begin{vmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1\end{vmatrix}}=1.

Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:

{\mathsf {\det(AB)=\det(A)\det(B)}}

.

det(A) sıfırdan farklı ise,A matrisinin tersiA⁻¹ tanımlıdır. Bu durumda:

{\mathsf {\det(A^{-1})=\left(\det(A)\right)^{-1}}}

.

A veB benzer matrisler olsun: $\textstyle {\mathsf {A=X^{-1}BX}}$ ve dönüşüm matrisiX in tersi $\textstyle {\mathsf {X^{-1}}}$ tanımlı olsun. Bu durumda:

{\mathsf {\det(A)=\det(X)^{-1}\det(BX)=\det(X)^{-1}\det(B)\det(X)=\det(B)\det(X)^{-1}\det(X)=\det(B)}}

.

Bir matrisintranspozunun determinantı kendi determinantına eşittir:

{\mathsf {\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)}}

.

Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:

{\mathsf {\det(\alpha A)=\alpha ^{n}det(A)}}

.

Kalıp Matrisler (Blok matrisler)

[değiştir |kaynağı değiştir]

Boyutların×n,n×m,m×n vem×m olanA,B,C veD matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarakn+m ×n+m boyutunda büyük bir kare matrisM oluşturalım.M'yi oluşturanA,B,C ya daD kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise,M'nin determinantı kolayca hesaplanabilir:

\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&0\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\0&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(A)\det(D)}}.

Bu sonuçM matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir.Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda

{\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&0\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {I}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\mathsf {I}}&{\mathsf {A}}^{-1}{\mathsf {B}}\\0&{\mathsf {D-CA^{-1}B}}\end{pmatrix}}

denkliği yazılabilir ve buradan determinant

\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(A)\det(D-CA^{-1}B)}}.

şeklinde hesaplanır.B ya daCnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etmiş oluruz.

Ayrıca,

C veD'nin değişme özelliği var ise, yaniCD = DC ise, $\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(AD-BC)}}$ .

A veC'nin değişme özelliği var ise, yaniAC = CA ise, $\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(AD-CB)}}$ .

B veD'nin değişme özelliği var ise, yaniBD = DB ise, $\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(DA-BC)}}$ .

A veB'nin değişme özelliği var ise, yaniAB = BA ise, $\det {\begin{pmatrix}{\mathsf {A}}&{\mathsf {B}}\\{\mathsf {C}}&{\mathsf {D}}\end{pmatrix}}={\mathsf {\det(DA-CB)}}$ .

Notlar

[değiştir |kaynağı değiştir]

Bu sayfanın içeriği aynı adlı İngilizce makaleden alınmıştır:en:Wikipedia:Determinant

Taslak simgesi

Matematik ile ilgili bu maddetaslak seviyesindedir. Madde içeriğinigenişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.

g t d Lineer cebir
Temel kavramlar	Skaler Vektör Vektör uzayı Skaler çarpım Vektörel izdüşüm Doğrusal germe Doğrusal dönüşüm İzdüşüm Doğrusal bağımsızlık Doğrusal birleşim Çokludoğrusal gönderim Taban Taban değişimi Satır vektör Sütun vektör Satır ve sütun uzayları Sıfır uzayı Özdeğer, özvektör, özuzay Devriklik Doğrusal denklemler
Matrisler	Blok Ayrışım Tersinir Minör Çarpım Rank Dönüşüm Cramer kuralı Gauss eleme yöntemi
Çifte doğrusallık	Ortogonallik Nokta çarpım İç çarpım uzayı Dış çarpım Kronecker çarpımı Gram–Schmidt işlemi
Çokludoğrusal cebir	Determinant Çapraz çarpım Üçlü çarpım Geometrik cebir Dışsal cebir Bivector Multivector Tensör Outermorphism
Vektör uzayı yapıları	Fonksiyon Dual Bölüm Altuzay Tensör çarpımı
Nümerik	Kayan nokta Nümerik stabilite Seyrek matris
Kategori

"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Determinant&oldid=34100983" sayfasından alınmıştır

Gizli kategoriler:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp