Etttranscendent tal är ett tal, som inte kan definieras som ettnollställe till ettändligtpolynom med rationella koefficienter. Vissa transcendenta tal kan i stället definieras som ettgränsvärde. Kända exempel äre ochπ. Motsatsen är ettalgebraiskt tal. Däri ingår till exempel allarationella tal, liksom alla rötter av rationella tal.[1]
Oegentligt uttryckt är de transcendenta talen "fler" än de algebraiska (sekardinalitet), i den meningen att de algebraiska talen utgör enuppräkneligt oändlig mängd, medan det inte finns något sätt att räkna upp de transcendenta talen. Trots att det alltså finns "oändligt mycket fler" transcendenta tal än algebraiska tal känner man inte till särskilt många och det är mycket svårt att visa att ett tal är transcendent.
År 1873 visadeCharles Hermite att e var ett transcendent tal, och 1882 gjordeFerdinand von Lindemann, med utnyttjande av Hermites metoder, samma sak medtalet π. År 1885 visadeKarl Weierstrass att ea är transcendent för varje algebraiskt tala skilt från noll, och 1934 visadeAleksandr Gelfond attab är transcendent för alla de fall då uttrycket består av ett algebraiskt tala skilt från 0 och 1, ochb ettirrationellt algebraiskt tal. Det senare resultatet är känt somGelfond–Schneiders sats.

- Gelfond–Schneiders konstant (eller Hilberttalet).

- sin(a), cos(a) och tan(a) och deras inverser, csc(a), sec(a) och cot(a) för alla algebraiska tala som inte är noll (enligt Lindemann–Weierstrass sats).
- ln(a) oma är algebraiskt och inte lika med 0 eller 1 (enligt Lindemann–Weierstrass sats).
- W(a) oma är algebraiskt och inte lika med noll (enligt Lindemann–Weierstrass sats).
- Γ(1/3),[2] Γ(1/4),[3] och Γ(1/6).[3]
- 0,12345678910111213141516...,Champernownes konstant.[4][5]
- Ω,Chaitins konstant.[6]
- Fredholms tal[7][8]

- eller mer allmänt, vilket som helst tal av formen

- med 0 < |β| < 1 och β algebraiskt.[9]

- eller mer allmänt, vilket som helst tal av formen

- med 0 < |β| < 1 och β algebraiskt.

- där β ↦ ⌊β⌋ ärgolvfunktionen.
- För de flesta summorna, produkterna, potenserna etc. av π och e, exempelvis π + e, π − e, πe, π/e, ππ, ee, πe, π√2, eπ2 är det obekant om de är transcendenta. Vissa undantag finns dock, π + eπ, πeπ och eπ√n (för alla positiva heltaln) som har bevisats vara transcendenta.[12][13]
- Eulers konstant γ, som inte har bevisats vara irrationell.
- Catalans konstant, som inte har bevisats vara irrationell.
- Apérys konstant ζ(3), somApéry bevisade är irrationell
- Riemanns zetafunktion för vissa udda positiva heltal ζ(5), ζ(7), ... (det är inte känt om dessa är irrationella)
- Feigenbaums konstanter δ och α.
Förmodanden:
- ^Baker, Alan (1975). Transcendental Number Theory.Cambridge University Press.ISBN 0-521-20461-5
- ^Le Lionnais, F. Les nombres remarquables (ISBN 2-7056-1407-9). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld,Transcendental Number
- ^ [ab]Chudnovsky, G. V. (1984). Contributions to the Theory of Transcendental Numbers. Providence, RI:American Mathematical Society.ISBN 0-8218-1500-8 via Wolfram Mathworld,Transcendental Number
- ^K. Mahler (1937). ”Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen”. Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. (40): sid. 421–428.
- ^Mahler (1976) p.12
- ^ Information and Randomness: An Algorithmic Perspective. Texts in Theoretical Computer Science (2nd rev. and ext.).Springer-Verlag. 2002. sid. 239.ISBN 3-540-43466-6
- ^Allouche & Shallit (2003) pp.385,403
- ^Shallit, Jeffrey (1999). ”Number theory and formal languages”. i Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel;Gutzwiller, Martin C. m.fl.. Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15--26, 1996. The IMA volumes in mathematics and its applications. "109".Springer-Verlag. sid. 547–570.ISBN 0-387-98824-6
- ^Loxton, J. H. (1988). ”13. Automata and transcendence”. i Baker, A.. New Advances in Transcendence Theory.Cambridge University Press. sid. 215–228.ISBN 0-521-33545-0
- ^Mahler, Kurt (1929). ”Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen”. Math. Annalen 101: sid. 342–366.doi:10.1007/bf01454845.
- ^Allouche & Shallit (2003) p.387
- ^Weisstein, Eric W., "Irrational Number",MathWorld.(engelska)
- ^Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319