Topologi frångrekiskansτόπος ("topos": plats, ställe) ochλόγος ("logos": lära), är en gren inom den modernamatematiken. Det är en form avgeometri där endast formen på objekten, och inte några avstånd, betraktas.[1]
En topologi beskriver ett antal volymers fysiska form och formen på deras gemensamma rum såsom de gemensamma resulterande öppningarna och överbryggningarna. En topologisk beskrivning kan till exempel vara ett schema över hållplatserna för kollektivtrafik som inte tar hänsyn till avstånden. Topologi är viktigt för att avgöralogistik då man adderar anläggningar av industrikomplex i flera plan och i många byggnader. Topologi används också då man anlägger datanätverk och väljer hur datorerna skall kopplas samman i förhållande till varandra inätverk.
Topologi föddes i början av 1900-talet och är därför ett relativt nytt område inom matematiken. Den har visat sig mycket användbar och tillämpas idag inom andra grenar av matematik såsomanalys ochalgebra, såväl som inom andra vetenskaper som till exempelfysik ochgenetik.
Igeografiska databaser är topologi en förutsättning för att kunna göra vissaGIS-analyser, såsom närmaste väg mellan två noder, se vilka objekt som finns intill varandra osv.
Topologin generaliserar begreppenkontinuerlig funktion ochöppen mängd. Den introduceras ofta genom att först definiera"topologiska rum", sedan "kontinuerliga funktioner" mellan dessa rum. Därefter studerar man olika "topologiska egenskaper" hos dessa. Se definitioner nedan.
Etttopologiskt rum är ett par (X,T), därX är en mängd ochT en samling avdelmängder tillX. Denna samling kallas för entopologi påX och definieras av följande tre egenskaper.[2]
FamiljenT är sluten under bildandet av godtyckliga unioner: Om {Ai}i ∈I är en godtycklig samling av mängder där varje mängdAi tillhör familjenT, så är unionen ⋃i ∈IAi också ett element i familjenT.
FamiljenT är sluten under bildandet av ändliga snitt: Om {Ai}ni=1 är en ändlig samling av mängder där varje mängdAi tillhör samlingenT, så är snittet ⋂ni=1Ai också ett element i familjenT.
En delmängdA avX säges varaöppen med avseende på en topologiT, omA är ett element i familjenT. Om topologin är underförstådd i sammanhanget säger man bara attA är en öppen delmängd avX.
Rummet ℝ3 där de öppna mängderna är alla mängder som är öppna med avseende på någonmetrik i ℝ3, exempelvisd((x₀,x₁,x₂), (y₀,y₁,y₂)) =.
En mängdX med dentriviala topologin T = {Ø,X}. Detta är den minsta möjliga topologin påX. Med avseende på denna topologi är det endast den tomma mängden,Ø, och mängdenX själv, som är öppna mängder.
En mängdX med dendiskreta topologinT = 2X. Mängden 2X kallas förpotensmängden avX och består av samtliga delmängder tillX. Detta är den största möjliga topologin påX. Med avseende på denna topologi ärvarje delmängd avX en öppen mängd.
En delmängdA av ett topologiskt rum (X, T) kallassluten om desskomplementmängdAc = {x ∈X :x ∉A} är öppen, det vill säga mängdenAc är ett element i topologinT.
Enkontinuerligfunktionf :X →Y från ett topologiskt rum (X, T) till ett topologiskt rum (Y, S) är en funktion som är sådan att mängden är ett element i topologinT för alla val avA∈S.
OmS är den triviala topologin påY så ärvarje funktionf :X →Y kontinuerlig.
OmT är den diskreta topologin påX så ärvarje funktionf :X →Y kontinuerlig.
OmS är den diskreta topologin påY så är de enda kontinuerliga funktionernaf :X →Y delokalt konstanta funktionerna. Med andra ord, funktioner sådana att det till varjex ∈X finns en omgivningU sådan attf är konstant påU. OmX antas vara sammanhängande sammanfaller dessa med de konstanta funktionerna.
Enhomeomorfi frånX tillY är enbijektiv kontinuerlig funktion sådan att dessinvers också är kontinuerlig.
Entopologisk egenskap, alternativttopologisk invariant, är en egenskap som bevaras under homeomorfier. Exempel på sådana egenskaper är bland annat
