Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hoppa till innehållet
Wikipedia
Sök

Tjebysjovpolynom

Från Wikipedia
Den här artikelnbehöverkällhänvisningar för att kunnaverifieras.(2020-06)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kanifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras pådiskussionssidan.
Pafnutij Tjebysjov (1821-1894).

Tjebysjovpolynomen är en serieortogonala polynom uppkallade efterPafnutij Tjebysjov.

Definition

[redigera |redigera wikitext]

Tjebysjovpolynomen av första ordningen definieras med hjälp avdifferensekvationen

T0(x)=1T1(x)=xTn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x)..{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}.}

De kan även definieras trigonometriskt som

Tn(x)=cos⁡(narccos⁡x)=cosh⁡(narccoshx).{\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!.}

Derasgenererande funktion är

∑n=0∞Tn(x)tn=1−tx1−2tx+t2.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}

Den exponentiella genererande funktionen är

∑n=0∞Tn(x)tnn!=12(e(x−x2−1)t+e(x+x2−1)t).{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\tfrac {1}{2}}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!}

En annan genererande funktion är

∑n=1∞Tn(x)tnn=ln⁡11−2tx+t2.{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}\left(x\right){\frac {t^{n}}{n}}=\ln {\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}.}

Tjebysjovpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

U0(x)=1U1(x)=2xUn+1(x)=2xUn(x)−Un−1(x).{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}

Deras genererande funktion är

∑n=0∞Un(x)tn=11−2tx+t2.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}

Egenskaper

[redigera |redigera wikitext]

För varje icke-negativt heltaln ärTn(x) ochUn(x) polynom av gradn.

Flera polynom, såsomLucaspolynomen (Ln),Dicksonpolynomen (Dn) ochFibonaccipolynomen (Fn) är relaterade till Tjebysjovpolynomen.

Tjebysjovpolynomen av första ordningen satisfierar relationen

Tj(x)Tk(x)=12(Tj+k(x)+T|k−j|(x)),∀j,k≥0{\displaystyle T_{j}(x)T_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(T_{j+k}(x)+T_{|k-j|}(x)\right),\quad \forall j,k\geq 0\,}

En analog identitet för Tjebysjovpolynomen av andra ordningen är

Tj(x)Uk(x)=12(Uj+k(x)+Uk−j(x)),∀j,k.{\displaystyle T_{j}(x)U_{k}(x)={\tfrac {1}{2}}\left(U_{j+k}(x)+U_{k-j}(x)\right),\quad \forall j,k.}

En formel analogisk till

Tn(cos⁡θ)=cos⁡(nθ){\displaystyle T_{n}\left(\cos \theta \right)=\cos(n\theta )}

är

T2n+1(sin⁡θ)=(−1)nsin⁡((2n+1)θ){\displaystyle T_{2n+1}\left(\sin \theta \right)=(-1)^{n}\sin((2n+1)\theta )}.

Förx≠0{\displaystyle x\neq 0} är

Tn(12[x+x−1])=12(xn+x−n){\displaystyle T_{n}\left({\tfrac {1}{2}}\left[x+x^{-1}\right]\right)={\tfrac {1}{2}}\left(x^{n}+x^{-n}\right)} and
xn=Tn(12[x+x−1])+12(x−x−1)Un−1(12[x+x−1]){\displaystyle x^{n}=T_{n}\left({\tfrac {1}{2}}\left[x+x^{-1}\right]\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(x-x^{-1}\right)U_{n-1}\left({\tfrac {1}{2}}\left[x+x^{-1}\right]\right)}

som följer ur definitionen genom att låtax=eiθ{\displaystyle x=e^{i\theta }}.

Låt

Cn(x)=2Tn(x2){\displaystyle C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)}

då är

Cn(Cm(x))=Cm(Cn(x)).{\displaystyle C_{n}\left(C_{m}(x)\right)=C_{m}(C_{n}(x)).}


Ortogonalitet

[redigera |redigera wikitext]
∫−11Tn(x)Tm(x)dx1−x2={0:n≠mπ:n=m=0π/2:n=m≠0{\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}}

Relationer mellan Tjebysjovpolynom av första och andra ordningen

[redigera |redigera wikitext]

Följande relationer gäller mellan Tjebysjovpolynomen av första och andra ordningen:

ddxTn(x)=nUn−1(x) , n=1,…{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots }
Tn(x)=12(Un(x)−Un−2(x)).{\displaystyle T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).}
Tn+1(x)=xTn(x)−(1−x2)Un−1(x){\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}
Tn(x)=Un(x)−xUn−1(x),{\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x),}
Un(x)=2∑juddanTj(x){\displaystyle U_{n}(x)=2\sum _{j\,\,{\text{udda}}}^{n}T_{j}(x)}, där n är udda.
Un(x)=2∑jjämntnTj(x)−1{\displaystyle U_{n}(x)=2\sum _{j\,{\text{jämnt}}}^{n}T_{j}(x)-1}, där n är jämnt.

Explicita uttryck

[redigera |redigera wikitext]

Det finns ett flertal olika explicita uttryck för Tjebysjovpolynomen:

Tn(x)={cos⁡(narccos⁡(x)), |x|≤1cosh⁡(narccosh(x)), x≥1(−1)ncosh⁡(narccosh(−x)), x≤−1{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ |x|\leq 1\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!}


Tn(x)=(x−x2−1)n+(x+x2−1)n2=∑k=0⌊n/2⌋(n2k)(x2−1)kxn−2k=xn∑k=0⌊n/2⌋(n2k)(1−x−2)k=n2∑k=0⌊n/2⌋(−1)k(n−k−1)!k!(n−2k)! (2x)n−2k(n>0)=n∑k=0n(−2)k(n+k−1)!(n−k)!(2k)!(1−x)k(n>0)=2F1(−n,n;12;1−x2){\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(1-x^{-2})^{k}\\&={\tfrac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=\,_{2}F_{1}\left(-n,n;{\frac {1}{2}};{\frac {1-x}{2}}\right)\\\end{aligned}}}


Un(x)=(x+x2−1)n+1−(x−x2−1)n+12x2−1=∑k=0⌊n/2⌋(n+12k+1)(x2−1)kxn−2k=xn∑k=0⌊n/2⌋(n+12k+1)(1−x−2)k=∑k=0⌊n/2⌋(2k−(n+1)k) (2x)n−2k(n>0)=∑k=0⌊n/2⌋(−1)k(n−kk) (2x)n−2k(n>0)=∑k=0n(−2)k(n+k+1)!(n−k)!(2k+1)!(1−x)k(n>0)=(n+1)2F1(−n,n+2;32;12[1−x]){\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(1-x^{-2})^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=(n+1)\,_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}\left[1-x\right]\right)\end{aligned}}}

där2F1{\displaystyle _{2}F_{1}} ärhypergeometriska funktionen.

Relation till andra funktioner

[redigera |redigera wikitext]

Tjebysjovpolynomen är ett specialfall avGegenbauerpolynomen, som igen är ett specialfall avJacobipolynomen:

Tn(x)=1(n−12n)Pn−12,−12(x)=n2Cn0(x){\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{n-{\frac {1}{2}} \choose n}}P_{n}^{-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(x)={\frac {n}{2}}C_{n}^{0}(x)}Un(x)=12(n+12n)Pn12,12(x)=Cn1(x).{\displaystyle U_{n}(x)={\frac {1}{2{n+{\frac {1}{2}} \choose n}}}P_{n}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(x)=C_{n}^{1}(x).}

Se även

[redigera |redigera wikitext]

Referenser

[redigera |redigera wikitext]
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material frånengelskspråkiga Wikipedia,Chebyshev polynomials,5 december 2013.

Externa länkar

[redigera |redigera wikitext]
Hämtad från ”https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Tjebysjovpolynom&oldid=55186053”
Kategorier:
Dolda kategorier:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp