Enring är enalgebraisk struktur betecknad R(+,·), på vilken finns tvåoperatorer + och · sådana att:
- 1. R är enabelsk grupp underaddition, +.
- 2. Multiplikationen ·, ärbinär, sluten,associativ ochdistributiv med avseende på addition.[1]
Om multiplikationen har ettneutralt element, ofta betecknat med 1, så sägs ringen vara unitär. Om multiplikationen ärkommutativ, så kallas ringen kommutativ.
Z,Q ochR är kommutativa unitära ringar. Mängden 2Z av jämna heltal utgör en ickeunitär kommutativ ring. Det (euklidiska) tredimensionellavektorrummet medvektoradditionen ochkryssprodukten som operationer utgör en ring som varken är unitär eller kommutativ.
På en urtavla finns tal mellan 1 och 12. Om man använder de fyra räknesätten och om resultaten av räkningarna endast anges medtal mellan 0 och 11, får man en kommutativ unitär ring, i vilken gäller att:
- 1 + 1 = 2
- 10 + 1 = 11
- 11 + 1 = 12 = 0
- 3 * 3 = 9
- 3 * 4 = 12 = 0
- 4 * 4 = 4 (16 - 12 = 4, visaren fortsätter på nästa varv)
- 5 * 5 = 1 (25 - 12 - 12 = 1 , visaren går två varv)
Enring är en struktur (S,*,+) som uppfyller
- S är sluten under addition: Oma ochb är element iS är
ett element iS. - Additionen är associativ: För alla elementa,b ochc iS gäller att
. - Det existerar ettneutralt element0, för additionen:
. - Additionen är inverterbar: För varje elementa iS existerar ettb iS sådant att:
. - Additionen är kommutativ: För allaa ochb iS gäller
.
- S är sluten undermultiplikation: Oma ochb är element iS är
ett element iS. - Multiplikationen är associativ: För alla elementa,b ochc iS gäller att
.
- Operatorn *distribuerar över operatorn +, det vill säga för alla elementa,b, ochc iS så gällera * (b +c) = (a *b) + (a *c) och (b +c) *a = (b *a) + (c *a)
En ring sägs vara enkommutativ ring om (S, *) är enkommutativ semigrupp, det vill säga om
. En ring sägs varaunitär eller "ha en etta", om (S, *) är enmonoid, det vill säga om det finns ettneutralt element med avseende på multiplikationen. Ofta underförstås att de betraktade ringarna är unitära och ibland också att de är kommutativa.Exempel på ringar är:
- Ringen avheltal,Z.
- Ringen avgaussiska heltalZ[i], det vill säga mängden av tal på formena +bi dära,b är heltal och där + och * är de gängse additions- respektive multiplikationoperatorerna.
- Ringen av polynom
![{\displaystyle \mathbf {C} [x_{1},..,x_{n}]}](/image.pl?url=https%3a%2f%2fwikimedia.org%2fapi%2frest_v1%2fmedia%2fmath%2frender%2fsvg%2fafdbedb334d4ed7235465049d6343c7a88ffed64&f=jpg&w=240)
in variabler. Denna ring ärkoordinatringen för detn-dimensionella komplexa affina planet. - Ringen av de hela talenmodulo 12, {0, 1, 2...11}, som harnolldelare.
- Ringen avn×n-matriser.
Samtliga dessa ringar är unitära och alla utom den sista är kommutativa.
- ^Israel Nathan Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, New York 1964.
