Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hoppa till innehållet
Wikipedia
Sök

Normal matris

Från Wikipedia

Ennormal matris är inommatematik enmatris somkommuterar med sitthermiteska konjugat. Normala matriser är alltiddiagonaliserbara, enligtspektralsatsen.

Definition

[redigera |redigera wikitext]

Enkvadratisk matrisA kallasnormal om:

AHA=AAH{\displaystyle A^{H}A=AA^{H}}

DärAH{\displaystyle A^{H}} är dethermiteska konjugatet tillA.

Exempel

[redigera |redigera wikitext]

Exempel på matriser som är normala är allaunitära ochhermiteska (för komplexa matriser) och allasymmetriska ochortogonala matriser (för reella matriser).

Att reella symmetriska matriser är normala följer av att (då matrisen är reell blir det hermiteska konjugatet bara transponat):

ATA=AA=AAT{\displaystyle A^{T}A=AA=AA^{T}}

För unitära matriser (AH=A−1{\displaystyle A^{H}=A^{-1}}) följer det av att:

AHA=A−1A=I=AA−1=AAH{\displaystyle A^{H}A=A^{-1}A=I=AA^{-1}=AA^{H}}

Dock behöver inte normala matriser vara hermiteska eller unitära. Exempel:

A=(110011101){\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}}

A{\displaystyle A} är normal, men varken hermitesk eller unitär.

AHA=AAH=(211121112){\displaystyle A^{H}A=AA^{H}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}}

Ekvivalenta formuleringar

[redigera |redigera wikitext]

Det finns många ekvivalenta formuleringar av villkoret att en matris är normal. Följande påståenden är ekvivalenta:

  1. A{\displaystyle A} är en normal matris
  2. A=UΛU∗{\displaystyle A=U\Lambda U^{*}} för någon unitär matrisU{\displaystyle U} ochdiagonalmatrisΛ{\displaystyle \Lambda }.
  3. Det finns en ortonormerad bas bestående av egenvektorer tillA{\displaystyle A}.
  4. ‖Ax‖=‖A∗x‖{\displaystyle \|Ax\|=\|A^{*}x\|} för varje vektorx{\displaystyle x}
  5. tr⁡(A∗A)=∑jn|λj|2{\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum _{j}^{n}|\lambda _{j}|^{2}} därλj{\displaystyle \lambda _{j}} är egenvärdena.
  6. A∗=AU{\displaystyle A^{*}=AU} för någon unitär matrisU{\displaystyle U}.

Se även

[redigera |redigera wikitext]


v • r
Linjär algebra
Grundläggande begreppBild på euklidiska rummet
Linjär algebra
Matriser
Multilinjär algebra
Konstruktioner
Numerik
KategoriKategori
Hämtad från ”https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Normal_matris&oldid=54313819”
Kategori:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp