Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hoppa till innehållet
Wikipedia
Sök

Newtons metod

Från Wikipedia
Newton-Raphsons metod.
Funktionenf(x) = e^(x/4) - 2 analyseras med början i x=10,25.
A=(10,25, 10,98), C=(6,87, 3,57), E=(4,31, 0,94), H=(2,78, 0). Det sökta svaret med två värdesiffror är (2,77, 0).

Newtons metod, ellerNewton–Raphsons metod (efterIsaac Newton ochJoseph Raphson) är ennumerisk metod för att approximera nollställen till en funktion. Man använder alltså en numerisk metod för att hitta enrot till enekvation, vilken går ut på att man väljer en punkt på kurvan som man räknar uttangenten för. Det x-värde vid vilket tangenten skär x-axeln används sedan för att räkna ut en ny tangent i en iterativ process till dess att önskad noggrannhet uppnåtts.

Tangenten till en funktionf(x){\displaystyle f(x)} i punktenx0{\displaystyle x_{0}} har enligtenpunktsformeln ekvationen

y=f′(x0)(x−x0)+f(x0).{\displaystyle y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).}

Den skär x-axeln då y = 0, dvs:

0=f′(x0)(x−x0)+f(x0)x−x0=−f(x0)f′(x0)x=x0−f(x0)f′(x0).{\displaystyle {\begin{aligned}0&=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})\\x-x_{0}&=-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}\\x&=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}.\end{aligned}}}

Iterationsformeln blir alltså

xn+1=xn−f(xn)f′(xn).{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}

Beskrivning

[redigera |redigera wikitext]
Funktionenƒ visas i blått och tangenten till funktionen visas som en tunn mörkröd linje. Vi ser attxn+1 är en bättre approximation änxn till nollstället förf(x).

Idén är att steg för steg beräkna bättre och bättre approximationer till en rot till en ekvationf(x)=0{\displaystyle f(x)=0}. Vi börjar med en approximationx0{\displaystyle x_{0}}. Tangenten tillhörande funktionen f i punkten(x0,f(x0)){\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))} skär x-axeln i en punkt (förutsatt attf′(x)≠0{\displaystyle f'(x)\neq 0}) som betecknasx1{\displaystyle x_{1}}. Man bestämmer denna punkt genom formeln

x1=x0−f(x0)f′(x0),{\displaystyle x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}},}

därf′(x0){\displaystyle f'(x_{0})} är värdet av derivatan till f ix0{\displaystyle x_{0}}, och så itererar man förloppet medx1{\displaystyle x_{1}\;} som startpunkt, och så vidare. Den allmänna formeln blir då

xn+1=xn−f(xn)f′(xn){\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}

Talföljdenx0,x1,x2,…{\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots } konvergerar mot enrot r förutsatt attx0{\displaystyle x_{0}} är tillräckligt nära den rot som ska approximeras.

Blir derivatans värden svårberäknade kan man approximera dem med formeln:

f′(xn)=f(xn+h)−f(xn)h{\displaystyle f'(x_{n})={\frac {f(x_{n}+h)-f(x_{n})}{h}}}
limh→ 0f(xn+h)−f(xn)h,{\displaystyle \lim _{h\,\to \ 0}{\frac {f(x_{n}+h)-f(x_{n})}{h}},}

eller mer exaktapproximation med

f′(xn)=f(xn+h)−f(xn−h)2h{\displaystyle f'(x_{n})={\frac {f(x_{n}+h)-f(x_{n}-h)}{2h}}}
limh→ 0f(xn+h)−f(xn−h)2h.{\displaystyle \lim _{h\,\to \ 0}{\frac {f(x_{n}+h)-f(x_{n}-h)}{2h}}.}

Exempel

[redigera |redigera wikitext]

Kvadratroten ur ett tal

Hur hittar mankvadratroten ur ett tal?. Det finns åtskilliga metoder för att hitta rötter och Newton Raphsons metod är en.

T.ex. om man önskar hitta kvadratroten ur 1395, så är det ekvivalent med att:

x2=1395{\displaystyle \,x^{2}=1395}

Funktionen i Newton Raphsons metod blir då,

f(x)=x2−1395{\displaystyle \,f(x)=x^{2}-1395}

med derivatan,

f′(x)=2x.{\displaystyle f'(x)=2x.\,}

Med en inledande gissning 12, så blir ordningsföljden enligt Newton Raphsons metod:

x1=x0−f(x0)f′(x0)=12−122−13952⋅12=64.125x2=x1−f(x1)f′(x1)=64.125−64.1252−13952⋅64.125=42.93969298x3=⋮=⋮=37_.71355835x4=⋮=⋮=37.3_5145405x5=⋮=⋮=37.349698_84x6=⋮=⋮=37.34969879_{\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\dfrac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&12-{\dfrac {12^{2}-1395}{2\cdot 12}}&=&64.125\quad \quad \quad {}\\x_{2}&=&x_{1}-{\dfrac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&64.125-{\dfrac {64.125^{2}-1395}{2\cdot 64.125}}&=&42.93969298\\x_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {37}}.71355835\\x_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {37.3}}5145405\\x_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {37.349698}}84\\x_{6}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {37.34969879}}\end{matrix}}}

Dvs

1395=37,34969879_{\displaystyle {\sqrt {1395}}={\underline {37,34969879}}}

Där de korrekta siffrorna är understrukna. Vi ser här att bara med några få iterationer så får vi fram en lösning som stämmer överens på många decimaler.

Väljer vi attx0→0{\displaystyle x_{0}\;\to \;0} i samma funktion som i exemplet ovan


x1=x0−f(x0)f′(x0)⇔x1=0−02−13952⋅0→∞{\displaystyle x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f^{\prime }(x_{0})}}\Leftrightarrow x_{1}=0-{\dfrac {0^{2}-1395}{2\cdot 0}}\;\to \;\infty }Som vi ser så går funktion mot oändligheten då x går mot noll.

Väljer vi attx0→ ∞{\displaystyle x_{0}\;\to \ \infty }

x1=x0−f(x0)f′(x0)⇔x1=x0−x02−13952⋅x0⇔x1=2x02−x02+13952x0⇔x1=x̸0⋅(x0+1395x0)x̸0⋅2⇔x1=(x0+1395x0)2→∞{\displaystyle x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f^{\prime }(x_{0})}}\Leftrightarrow x_{1}=x_{0}-{\dfrac {x_{0}^{2}-1395}{2\cdot x_{0}}}\Leftrightarrow x_{1}={\dfrac {2x_{0}^{2}-x_{0}^{2}+1395}{2x_{0}}}\Leftrightarrow x_{1}={\dfrac {\not x_{0}\cdot (x_{0}+{\dfrac {1395}{x_{0}}})}{\not x_{0}\cdot 2}}\Leftrightarrow x_{1}={\dfrac {(x_{0}+{\dfrac {1395}{x_{0}}})}{2}}\;\to \;\infty \;}

Här ser vi att funktionen→∞{\displaystyle \to \;\infty } för både noll och x. Detta implicerar då att Newton-Raphsons metod endast fungerar om den inledande gissningen är större än noll dvsx>0{\displaystyle x\;>0} och mindre än oändligheten dvsx<∞{\displaystyle x<\infty }Så vårt intervallI=[ab]{\displaystyle I=[a\;b]} borde då varaI=]0∞[{\displaystyle I=]0\;\infty [}

Historia

[redigera |redigera wikitext]

Redan på Babylons tid visste man hur man kunde approximerarötter och rotberäkningar förekom också i de tidiga kulturerna iEgypten,Kina,Indien (Aryabhata) ochGrekland (Heron). I Indien finns metoder för att beräkna närmevärden till kvadratrötter beskrivna på 500-talet f.Kr., i bland annatBaudhayanasutran.

Men det var Newton och Raphson som använde sig av analys för att generalisera denna urgamla metod för att hitta rötterna till en godtycklig ekvation. Newtons metod publicerades först år 1685 i bokenA Treatise of Algebra both Historical and Practical avJohn Wallis. 5 år senare publicerade Joseph Raphson en förenklad version i avhandlingenAnalysis aequationum universalis. Där Raphson visade att det är algebraisk metod som är begränsad tillpolynom. Newtons metod har också beskrivits avIsaac Newton år 1669 i sin bokDe analysi per aequationes numero terminorum infinitas (som publicerades 1711 avWilliam Jones) och iDe metodis fluxionum et serierum infinitarum(författad 1671, översatt och publicerad somMethod of Fluxions år 1736 avJohn Colson). Men det ska nämnas att den beskrivning som Newton gav i de ovannämnda böckerna skiljer sig mycket från den beskrivning som har angivits ovan.

Referenser

[redigera |redigera wikitext]

Externa länkar

[redigera |redigera wikitext]
Auktoritetsdata
Hämtad från ”https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Newtons_metod&oldid=56675039”
Kategori:
Dold kategori:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp