Den här artikelnbehöverkällhänvisningar för att kunnaverifieras.(2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kanifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras pådiskussionssidan.

Inommatematik är enmatrisnorm en naturlig förlängning avvektorrnormen förmatriser.

En matrisnorm har samma egenskaper som en vektornorm, och följande gäller då för en matrisnorm i rummet${\displaystyle K_{m,n}}$, då${\displaystyle K}$ är enkropp, till exempel dereella ellerkomplexa talen.${\displaystyle A}$ och${\displaystyle B}$ är matriser i${\displaystyle K_{m,n}}$:

• ${\displaystyle \Vert A\Vert \ge 0}$ med likhet om och endast om${\displaystyle A=0}$
• ${\displaystyle \Vert \alpha A\Vert =|\alpha |\Vert A\Vert }$ för alla${\displaystyle \alpha \in K}$
• ${\displaystyle \Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert }$

För kvadratiska matriser uppfyller vissa, men inte alla, matrisnormer

${\displaystyle \Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert }$

ett rum av reella eller komplexa kvadratiska matriser med en norm som uppfyller detta bildar enBanachalgebra.

Om normer för${\displaystyle K^m}$ och${\displaystyle K^n}$ är givna (då${\displaystyle K}$ är någonkropp, exempelvis dereella ellerkomplexa talen), kan man definiera en inducerad norm (en så kalladoperatornorm) på rummet av alla matriser med format m × n med:

${\displaystyle \Vert A\Vert =max\{\Vert Ax\Vert :x\in K^n,\Vert x\Vert \le 1\}=max\{\Vert Ax\Vert :x\in K^n,\Vert x\Vert =1\}=max\{\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }:x\in K^n,\Vert x\Vert \ne 0\}}$

Om vektornormen är enp-norm blir då matrisnormen:

${\displaystyle \Vert A{\Vert }_p=\underset{x\ne 0}{max}\frac{\Vert Ax{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p}}$

Om${\displaystyle p=1}$ eller${\displaystyle p=\mathrm{\infty }}$ kan normen beräknas som:

${\displaystyle \Vert A{\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{max}\sum _{i=1}^m|a_{ij}|}$, dvs den största kolumnsumman (av elementensbelopp)

${\displaystyle \Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le m}{max}\sum _{j=1}^n|a_{ij}|}$, den största radsumman.

Om${\displaystyle p=2}$ och${\displaystyle m=n}$ kallas den inducerade matrisnormen förspektralnormen och är lika med matrisens störstasingulärvärde eller den roten ur det största egenvärdet till denpositivt definita matrisen${\displaystyle A^{\ast }A}$:

${\displaystyle \Vert A{\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_{max}(A^{\ast }A)}}$,

där${\displaystyle A^{\ast }}$ är dethermiteska konjugatet till${\displaystyle A}$.

För matriser i${\displaystyle K_{m,n}}$:

Frobeniusnormen är i princip en förlängning av den vanliga euklidiska normen för vektorer:

${\displaystyle \Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^2}=\sqrt{\mathrm{tr}(A^{\ast }A)}}$

Där tr ärmatrisspåret och${\displaystyle A^{\ast }}$ betecknar${\displaystyle A}$:shermiteska konjugat.

En generalisering av Frobeniusnormen är p-normen:

${\displaystyle \Vert A{\Vert }_p=(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^p{)}^{1/p}}$

Maximalnormen är det till beloppet största talet i matrisen:

${\displaystyle \Vert A{\Vert }_{max}=\max |a_{ij}|}$.

• Wikimedia Commons har media som rörMatrisnorm.
  Bilder & media

v • r Linjär algebra Grundläggande begrepp Skalär ·Vektor ·Noll ·Ortogonalitet ·Ekvationssystem ·Rum ·Linjärkombination ·Inre produkt ·Oberoende ·Bas ·Radrum ·Kolonnrum ·Nollrum ·Gram-Schmidt ·Egenvärde ·Hölje ·Linjäritet Linjär algebra Kryssprodukt ·Trippelprodukt Matriser Elementär ·Block ·Enhet ·Determinant ·Norm ·Rang ·Transformation ·Rotation ·Invers ·Cramers regel ·Trappstegsform ·Spår ·Transponat ·Gausselimination ·Symmetri ·Addition Multilinjär algebra Geometrisk algebra ·Yttre algebra ·Bivektor ·Multivektor ·Tensor Konstruktioner Delrum ·Dualrum ·Funktionsrum ·Kvotrum ·Tensorprodukt Numerik Flyttal ·Gles matris Kategori

• Linjär algebra
• Normer

• Artiklar som behöver källor 2020-04
• Alla artiklar märkta med mallen källor
• Alla artiklar som behöver källor