Matematik (frångrekiska: Μαθηματικά) är enabstrakt och generell vetenskap om problemlösning och metodutveckling[3] – abstrakt därför att den frigjort sig från problemens konkreta ursprung och generell därför att den är tillämpbar i ett stort antal områden och teoretiska modeller.[3] Alternativt kan man även benämna den som en vetenskap om kvantitativa relationer och rumsliga strukturer i den verkliga världen.[4] Exempel på matematiska begrepp ärtal,data,struktur,kvantiteter,rum och deras förhållanden.[5][6] Antingen som abstrakta koncept (ren matematik) eller tillämpningar ivetenskapliga discipliner såsomfysik ochteknik (tillämpad matematik).[5]
Det grekiska ordetmathemata betyder ungefärvad som lärs, ibland i en generell bemärkelse, ibland relaterat tillastronomi,aritmetik ochmusik.[8] Detta ord är nära relaterat till substantivetmathema(μάθημα), som betyder "lärdom", "kunskap" eller "studie".Mathema kommer i sin tur från verbetmanthanein(μανθάνειν), vilket betyder "att lära sig".[9]
Ordetmathemata och desssläktord har i efterhand trätt in ietymologin hos andraeuropeiskaspråk.[8] Franskamathématiques, spanskamatemáticas, latinskamathematica och engelskamathematics har alltså ett gemensamt ursprung.[10][8] Definitionen av ordet matematik har aldrig varit enhetlig och har varierat genomhistorien och mellanvärldsdelar somEuropa,Kina ochMellanöstern.[11] I historisk forskning om matematik letas ekvivalenta ord i andra kulturer. Genom att undersöka dessa ord och de aktiviteter som förknippats med dessa har historievetenskapen om matematik utvecklats.[11]
I Sverige har matematik kommit att betyda skolämnet eller vetenskapen matematik, som imeningarna ”lärobok i matematik” och ”professor i matematik”. Ibland sägs vardagligt ”det är matematik”, med avseende påaritmetik som i ”det är lätt att räkna ut”.[12]
Rhindpapyrusen frånThe British Museum. Texten består av 84 problem om numeriska operationer, praktisk problemlösning och geometriska former.[15]
Matematiken har en minst 4000 år lång historia.[16] Vissa menar att matematikens historia går mycket längre bak; bland annat utvecklades matematik iSumer, södraMesopotamien och nuvarandeIrak, i samband med utvecklandet avskrivkonsten ochläsandet för cirka 5000 år sedan.[17] Vår äldsta kunskap om människans användande av matematik är från antika Egypten och Babylonien.[18] Andra kulturer där matematik förekommit är grekisk, arabisk, kinesisk, indisk, mayansk och amerikansk kultur.[19] De matematiska ämnen som diskuterats har varit, bland andra, algebra, analys, tal och talteori, geometri och topologi, matematisk fysik och matematisk astronomi.[19]
Norman L. Biggs skriver i sinlärobokDiscrete Mathematics: "Matematiker behandlarpåståenden. Ofta handlar påståendena omtal. Påståendena är antingensanna ellerfalska. För att bestämma om ett påstående är sant eller falskt krävs ettbevis."[23][en 1]
Matematiska begrepp införs med endefinition som beskriver hur begreppet ska tolkas. Här presenteras ett antal grundläggande begrepp inom modern matematik. Nedanstående ska dock inte tolkas som matematiska definitioner, utan försök att förklara hur begreppen används.
Enmängd är en samling objekt, till exempel en samling tal {1, 2, 3} som är enändlig mängd, {1, 2, 3, ...} är däremot enoändlig mängd där punkterna markerar att numreringen fortsätter. En mängd utan innehåll kallasden tomma mängden. En mängd kan bestå av fleradelmängder. Om har två mängder, kan man ta elementen som är gemensamma (snittet) eller ta elementen som finns i någon mängd (unionen). Dessutom kan man takomplementet, de element som inte finns i den givna mängden men som finns i den största tänkbara mängden.[24] Mängder och dess operationer studeras inommängdteori, därZermelo-Fraenkels mängdteori är den vanligaste modellen.
Funktioner tar värden från ett område,definitionsmängden, och tilldela värden i ett annat område,värdemängden. Inom grundskolan är ofta dessa mängder mängden av de reella talen R.
Matematikens numeriska system består bl.a. av de naturliga talen, heltalen, de rationella talen, de reella talen och de komplexa talen. Vi ska i detta avsnitt ge ett förslag till en konstruktion av de naturliga talen som använder sig avPeanos axiom. Utifrån denna konstruktion ska vi ge en axiomatisk definition av heltalen; vi använder ordet axiom för att mena grundantaganden som inte är i sig själva logiskt härledda resultat. Utifrån definitionen av heltal kan vi konstruera de rationella talen genom att använda oss av ordnade par av tal. En konstruktion av de reella talen finns bland annat iRichard Dedekind arbete.
Med de naturliga talen N, avser vi mängden av icke-negativa heltal (0, 1, 2, osv). Intuitivt bygger vi de hela talen genom att börja med ett unikt element 0. Därefter associerar vi nästa tal i N med 0+1, och andra med (0+1)+1, osv. En sådan här förståelse av de naturliga talen är intuitiv, med det menat icke-formellt, eftersom + inte är en väldefinierad operation. Vi kan inte heller, under denna uppfattning, se att N är en oändlig mängd, ty ett argument för att N är oändligt är följande: () antag att det finns ett största element n i N, då är n+1 i N och n+1 är större än n, således kan inte n vara det största talet i N och via reductio ad absurdum innehåller inte N ett största tal. Notera påståendet att n+1 är större än n, det är inte sant eftersom vi ännu inte har funnit någon matematisk mening med "större än" eller "mindre än". Peanos axiom löser problemen från denna diskussion:
Systemet, vars element vi kallar naturliga tal, är en mängd med ett unikt element 0 och en funktion s från N till N så att följande tre villkor är uppfyllda:
Några kommentarer: till varje naturligt tal n säger vi att s(n) är dess efterföljare och vi definierar s i "konkreta" termer genom att skriva. Eftersom vi vill att alla tal i N är icke-negativa är det inte svårt att se att (i) är ett rimligt krav. Angående (ii): antag att kravet inte vore uppfyllt. Vi skulle då ha. Ofta inser vi nu att vi kan subtrahera (en operation ej definierad på, ty om subtraktion vore definierad vore en icke-stängd mängd; dvs. att det finns element i sådan att en binär operation applicerad på dem resulterar i ett element som inte innheåller. T.ex: 0-1=-1 är inte i) och att n=m, så att om m är skilt från n har vi ett matematisk resultat som inte är i enlighet med allmän/kulturell/standardiserad matematisk intuition. Det är därför rimligt att (ii) gäller. (iii) kallar vi för matematisk induktion. A kan tänkas bestå av en mängd egenskaper P(n) som beror på naturliga tal n i. Om det från egenskapen, ibland kallat påstående, P(n) följer att P(n+1) för alla n i, säger vi att P(n) håller för alla n och kan skriva (mängden A utläses: mängden av naturliga tal n för vilka P(n) gäller). Att induktion leder till många filosofiska problem är bland annat välkänt efterDavid Hume.
Med notationen från Peanos axiom definierar vi addition och multiplikation.
Addition: För element m, n i har vi att m+n är lika med s applicerad n gånger på s(m). Kortfattat:. Då vi utför denna procedur säger vi att vi adderar n till m. Proceduren kallar vi addition. Därmed är + en väldefinierad binär operation.
Multiplikation: m*n fås av att bygga en funktion g som applicerar s m gånger, och sen applicera g n gånger på 0. Kortfattat:. Då vi utför denna procedur säger vi att vi multiplicerar m och n. Proceduren kallar vi multiplikation. Därmed är * en väldefinierad binär operation.
Större än eller lika med: Vi säger att m är större än eller lika med n, skrivet, om ekvationen m=n+x har en lösning x i N. Under samma villkor säger vi att n är mindre än eller lika med m. Om lösningen ges av x=0 säger vi att m är lika med n och skriver. Om lösningen x är nollskild, säger vi att m är större än n och skriver. Dvs: tecknet kan utläsas "större än eller lika med".
Argumentet () för att är en oändlig mängd är nu giltigt baserat på Peanos axiom.
Envektor kan ses som en lista av tal, kalladeelement. Vektorer kan visas ikoordinatsystem, eller definiera ett så kallatvektorrum. Dessa punkter kan sättas samman till geometriska figurer. En vektor kan i stället för tal bestå av andra objekt, som följer vissa grundläggande räkneregler. Till exempel kan polynom användas som vektorer.
Matematisk notation är symboler som låter matematiker uttrycka idéer koncist. Till exempel tros symbolerna föraddition ochsubtraktion uppstått på 1300-talet. Addition betecknas+ och subtraktion betecknas−.[25]
Vetenskapen om tal, och operationer på mängder av tal, kallas aritmetik.[26] Aritmetiska operationer inkluderar addition, subtraktion, multiplikation och division, som kallas de fyra räknesätten. Dessutom ingårkongruensrelationen (att resten vid division är lika), faktorisering (uppdelning av ett tal i faktor som multiplicerade ihop blir talet) och potenser (att upphöja ett tal till ett annat).Operatorprioriteten avgör i vilken ordning olika delar av ett matematiskt uttryck ska beräknas. Aritmetiken var en del av quadrivium vid medeltida universitet.[27]
Geometri är vetenskapen omrumsliga strukturer. Under 1600-talet vidaredefinieradeRené Descartes geometrin till algebraiska formuleringar, ett ämne som kom att kallasanalytisk geometri. Några följder av Descartes upptäckter är att olikakägelsnitt kunde representeras i form av korta ekvationer och att plana geometriska figurer kunde avbildas i ettkartesiskt koordinatsystem. Vetenskapen som studerarvinklar och deras förhållanden mellan varandra kallastrigonometri, sambanden mellan geometriska och trigonometriska satser är starka. I modern tid hartopologi blivit ett viktigt område, där studeras rumsliga strukturer precis som i geometrin med undantaget att formen, och inga avstånd, hos objekten betraktas. Strukturerna kan töjas eller dras ihop fast håligheter ska bevaras.[28]
Algebra är en sorts vetenskap omkvantitativ balans. Elementär algebra, linjär algebra och abstrakt algebra är exempel på områden som alla behandlar algebraiska strukturer, som innehåller en mängd, några operation och räkneregler för dessa.Elementär algebra behandlar tal ochlinjär algebra matriser och vektorer.Abstrakt algebra eller modern algebra uppkom på 1800-talet när problem från talteorin och teorin för ekvationer ledde till studien av abstrakta matematiska objekt som kunde vara tal, polynom, permutationer eller element i andra mängder. De aritmetiska operationerna kan tillämpas på dessa objekt.[29]
Matematisk analys handlar omförändring. En stor del av analysen består av teorier omgränsvärden, varur teorin om derivator, ett mått på förändring, och integraler, gränsvärdet av en summa, bildas. Ibland pratas det omvektoranalys, där används matematisk analys och linjär algebra för att lösa problem, oftast i ett tredimensionellt rum.
Matematiken söker abstrahera och generalisera olika koncept. Till exempel kan det finnas anledning att abstrahera begreppetsymmetri, vilket bland annat leder tillgaloisteori.[31]
Kortfattat är matematiskasatser resultat härledda från ett antal påståenden,axiom, vilka är betraktade som uppenbara och sanna utanbevis. Ett axiom är inte enförmodan ellerhypotes ty de senare betraktas ej somuppenbara.[32]
En sats kan betraktas som ettsant matematiskt påstående. Ett bevis av en sats verifierar att satsen är en otvetydig sanning. Beviset är en verifikation i den meningen att den övertygar läsaren, med relevanta förkunskaper, om att satsen är sann. Relevanta förkunskaper inkluderar kunskapen om tidigare satser, axiom och definitioner. När vi skriverdefinition, avser vi en exakt förklaring av ett matematiskt ord eller en matematisk mening. Ibland förekommer ordenlemma ochföljdsats för sanna matematiska påståenden. Ett lemma är en sats vars huvudsyfte är att förenkla beviset av en större sats. En följdsats är en direkt konsekvens av en sats.[33]
Låt oss betrakta definitionen "ettheltaln ärudda omn=2a+1 för något heltala". Vi påstår att "7 är ett udda heltal" är ett sant matematiskt påstående. Genom att sätta "a=3" i definitionen har vi bevisat att 7 är ett udda heltal, eftersom 7=2·3+1.[33]
Ren matematik består fullständigt av förklaringar som, om det och det påståendet är sant om någonting, är det och det påståendet sant om den saken... Det är nödvändigt att inte diskutera huruvida påståendet är verkligen sant, och inte nämna vad någonting är som antas vara sant... Om vår hypotes är om någonting och inte om någon eller några specifika saker, då konstituerar våra deduktioner matematik. Därför kan matematik definieras som det ämne inom vilken vi aldrig vet vad vi pratar om, eller om vad vi säger är sant.
Många matematiker har talat om skönheten i matematik.[35] Bland annat skrevG. H. Hardy:
”
Matematikerns mönster, som konstnärens eller poetens, måste vara vackra; idéerna, likt färgerna eller orden, måste bindas på ett harmoniskt sätt. Skönhet är det första testet: det finns ingen permanent plats i den här världen för ful matematik.
Fysik är den ursprungliga benämningen på all naturvetenskap. När bland andra kemin, biologin och geovetenskaperna blev separata vetenskaper kom fysiken att bli den vetenskap som studerar de grundläggande strukturerna hosmateria.[37] Teoretisk fysik är rätt så matematiskt inriktad.
Numerisk analys är en vetenskap som består av metoder för att med dator numeriskt finna (approximativa) lösningar till matematiska problem.[38] Exempel är att finna rötter till ekvationer på formen eller att anpassa ett polynom till ett antal punkter.
Sannolikhetsteorin söker beskriva och studera matematiska modeller av slumpmässiga fenomen från ett teoretiskt perspektiv.[39] Statistik är det område som vill skapa metoder, principer, kriterier, m.m. för att diskutera data från slumpmässiga fenomen eller data från experiment och observationer från verkligheten.[39] Kunskaper och teorier från sannolikhetsteorin kan exempelvis användas till att formulera sådana metoder, principer och kriterier; något som visar att sannolikhetsteorin och statistikteorin är tätt förknippade.[39]
Modeller används i många akademiska vetenskaper, dessa är oftast deterministiska. Det innebär att givet ett antal initiala kända värden, kan vi förutsäga en framtida händelse.[39]Isaac Newton visade att hans rörelselagar är deterministiska eftersom de kan förutsäga tiden det tar förjorden att göra ett varv runtsolen.[40] I sannolikhetsteorin studeras slumpmässiga fenomen där framtida utfall inte kan förutsägas exakt, därför diskuteras inte deterministiska modeller utan s.k. probabilistiska modeller.[39] Exempelvis beskriver myntkast ett slumpmässigt fenomen: trots att vi har fullständig kunskap om myntets konstruktion, t.ex. att det är symmetriskt, kan vi inte förutsäga i vilket fall det blir krona eller klave. Istället för en deterministisk modell krävs en probabilistisk.[39]
Den relevanta skillnaden mellan sannolikhetsteorin och statistikteorin är att vi i sannolikhetsteorin har (a) en given slumpmodell och försöker utifrån denna förutsäga utfallet i ett slumpförsök, medan i statistikteorin är förhållandet omvänt och vi har (b) ett utfall från ett slumpförsök och vill beskriva den underliggande slumpmodellen.[41] En biokemist kan använda sig av statistiska metoder för att utveckla medicin som lindrar huvudvärk. Ges medicinen till olika personer kommer variationen mellan personer innebära att de upplever olika mycket förändring i sin huvudvärk. En statistik analys av data från ett sådant experiment kan svara på hur mycket lindring som kan förväntas i genomsnitt.[42]
Matematiklärarutbildning bedrivs viduniversitet ochhögskolor. Exempelvis Matematiska institutionen vidStockholms universitet anger att man "inom ämneslärarprogrammet i matematik, naturvetenskapliga ämnen och teknik har du möjlighet att välja matematik antingen som första eller som andra ämne. ... Man kan också kombinera matematik med ämnen från andra fakultet, såsom historia eller engelska".[46]
Elwes, Richard (2010), Maths 1001 (2), USA, Kanada: Firefly Books,ISBN 978-1-55407-719-9
Biggs, Norman (2009), Discrete Mathematics (2), USA: Oxford University Press,ISBN 978-0-19-850718-5
Clapham, Christopher; Nicholson, James (2009), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics (4), USA: Oxford University Press,ISBN 978-0199235940
Gut, Allan (2009), An intermediate course in probability (2), Heidelberg, London, New York: Springer,ISBN 978-1-4419-0161-3
Devore, Jay; Berk, Kenneth (2012), Modern Mathematical Statistics with Applications (2), Heidelberg, London, New York: Springer,ISBN 978-1-4614-0391-3
Britton, Tom; Alm, Sven Erick (2008), Stokastik: Sannolikhetsteori och statistikteori med tillämpningar (1), Sverige, Stockholm: Liber,ISBN 978-1-107-60463-6
Beachy, John A.; William D. Blair (1996). Abstract algebra. Prospect Heights, Ill.: Waveland Press.ISBN 0-88133-866-4
^"Mathematicians deal withstatements. Usually the statements are aboutnumbers. The statements may betrue orfalse. To decide whether a statement is true or false requires aproof."
^"Pure mathematics consists entirely of such asseverations as that, if such and such a proposition is true of anything, then such and such another proposition is true of that thing... It's essential not to discuss whether the proposition is really true, and not to mention what the anything is of which it is supposed to be true... If our hypothesis is about anything and not about some one or more particular things, then our deductions constitute mathematics. Thus mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true."
^"The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's must be beautiful; the ideas, like the colors or the words must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics."
