Logaritmfunktioner, ritade för 3 olika baser. Samtliga grafer avbildar punkten (1, 0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (b, 1) för basenb, då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x → 0 från höger
Logaritmen är inom matematiken den inversa funktionen tillexponentiering. Logaritmen för ett tala är denexponentx till vilket ett givet tal, medbasenb, måste upphöjas för att anta värdeta:
Logaritmer kan vara ett hjälpmedel, i synnerhet vid manuella beräkningar med stora antal av tal, genom att multiplikationer och divisioner kan omvandlas till additioner respektive subtraktioner.
Logaritmernas uppfinnare anses vara skottenJohn Napier (1600-talet).
Förreella tal måste det gälla atta > 0 ochb > 0 för att logaritmen ska kunna beräknas. Logaritmenx kan anta godtyckliga värden. I uttrycketa = bx kallasx logaritmen ava i basenb och skrivs
Om kan även skrivningenlba förekomma (b:et står för binär")[1] och även skrivningenlda förekommer (speciellt i tyskspråkig litteratur[2] - "ld" står förlatinlogarithmus dualis[3]). I viss amerikansk litteratur användslga för tvålogaritmer, vilket inte rekommenderas eftersom denna betckning är standard för tiologaritmer i exempelvis svensk- eller tyskspråkig litteratur.[2]
Ett praktiskt val av logaritmbas vid användning av den decimala notationen är den briggska logaritmen (10-logaritmen utvecklad avHenry Briggs). Den briggska logaritmen för ett tala är den exponentx till vilken 10 skall upphöjas för att bilda taleta:
Andra beteckningssätt för log10a är10loga och loga.
En speciell bas äre (Eulers tal). Beteckningen för logea, dennaturliga logaritmen av a, är ln a.
Detta ger sambanden
En viktig anledning till att denna logaritm används är att den är den inversa funktionen tillexponentialfunktionen ex.
En intressant egenskap hos den naturliga logaritmfunktionen är att dess derivata är 1/x, vilket gör att den fyller ut en lucka bland deprimitiva funktionerna till potensfunktioner:
n = -1 leder till division med noll, vilket är otillåtet. För varje tal nära -1 kommer "första primitiva funktionen" att vara godtyckligt nära ln x. Därför kan logaritmen ses som en kontinuerlig utvidgning av polynomen, ett faktum som även kan motiveras genom att betrakta vissa speciella gränsfall av interpolationspolynomen (kanske enklast via Newtons interpolationspolynom).
där + innebär addition av vektormängder och arg ärargumentsfunktionen. Den komplexa logaritmen uppfyller de flesta räkneregler för den reella logaritmen; problem kan uppstå om exempelvis summan av två argument hamnar utanför grenen. Man kan studera engren av logaritmen, som då blir enenvärd funktion. För principalgrenen Log används principalgrenen av argumentsfunktionen, dvs
På samma sätt som ovan kan man definiera en logaritm i en godtycklig ändligkropp. Det är då ett väldefinierat begrepp eftersom en kropp under multiplikation (andra kompositionsoperatorn) är isomorf med en cykliskdelgrupp. Som bas för logaritmen väljer man engenerator för denna cykliskagrupp. Utvidgningen är helt analog med reella logaritmer. Skillnaden mellan reella logaritmer och diskreta logaritmer är att den diskreta logaritmen alltid blir ettheltal. I övrigt har diskreta och reella logaritmen likartade lagar och följer ungefärligen samma teori.
Till skillnad från vanliga (reella) logaritmer är det generellt sett svårt att hitta logaritmen för ett givet tal. Man kallar dettadiskreta logaritmproblemet. Faktum är att det är så svårt, att man använder denna svårighet för att konstruera säker kryptering. Poängen är att det är lätt att verifiera en föreslagen logaritm, men svårt att finna den. Metoden påminner om hur man i krypteringsalgoritmer utnyttjar problemet med finna primtalsfaktorisering av stora tal.
Logaritmernas främsta ursprungliga nytta var att ersätta långa sekvenser av multiplikationer med mindre tidskrävande sekvenser av additioner.
Antag att produkten 217 · 596 skall beräknas utan användande av multiplikation. Enligt logaritmlagarna är summan av faktorernas logaritmer lika med logaritmen för produkten:
Med hjälp av en tabell går det att bestämma vilket tal som har logaritmen 5.11171:
Det går att använda diskreta logaritmer för att lösa ekvationer i godtyckliga kroppar. Här visas hur man bestämmer diskreta logaritmer i en given kropp.
I exemplet kommer vi att betraktagaloiskroppen av ordning 27, GF(33). Den genereras av ett kubiskt irreducibelt polynom över ℤ3 viaKroneckers konstruktion. Ett sådant irreducibelt polynom ärx3 + 2x + 1 vilket inses genom att manuellt undersöka de möjliga rötterna. Därmed har vi en kropp
med 27 element som kommer att varaisomorf med GF(27). I den går det nu att beräkna diskreta logaritmer.
Låt oss här återge stegen vi tagit lite mer detaljerat. Vi har hittat ett irreducibelt polynom över ℤ3. Då kommer
Detta förklaras genom att ℤ3 är en kropp och därför är varjeideal i ℤ3[x] principalt och genom att polynometx3 + 2x + 1 är irreducibelt. Därför är<x3 + 2x + 1 > ett maximalt ideal. Och därför är kvotringen
inte bara en kvotring, utan en kropp.
Låt oss ta reda på vad elementet/sidoklassenx2 + 1 har som diskret logaritm. Genom att successivt beräkna potenserxn där fås att första gångenxn = x2 + 1 är närn = 21:
Därför är logx(x2 + 1) = 21. Notera att det var nödvändigt att gå igenom ett stort antal exponentern = 0, 1, … för att hitta den vi sökte. Det finns bättre algoritmer för att hitta diskreta logaritmen. Men även med dessa är det generellt sett en tidsödande process, eftersom man kan konstruera kroppar av mycket hög ordning.
