Movatterモバイル変換

Hoppa till innehållet

Kvadratrot

Redigera länkar

Från Wikipedia

Den här artikelnbehöverkällhänvisningar för att kunnaverifieras.(2023-07)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kanifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras pådiskussionssidan.

Grafen tillfunktionen $y={\sqrt {x}}$ är en halv, liggandeparabel.

{\displaystyle y={\sqrt {x}}} — Grafen tillfunktionen $y={\sqrt {x}}$ är en halv, liggandeparabel.

Kvadratroten ur ett talx är det icke-negativa taly varskvadrat är lika medx, det vill sägay² =x.

Kvadratrot betecknas med ettrottecken och exempelvis är ${\sqrt {16}}=4$ eftersom 4²=16 och ${\sqrt {1}}=1$ eftersom 1² = 1.

Namnet kommer av att kvadratroten är en lösning, rot, till en kvadratisk ekvation av typeny = x². Ekvationen har två lösningar medolika tecken. Med "kvadratrot" avses ofta denpositiva lösningen, även kalladprincipalvärdet av kvadratroten. Exempel: ekvationen 4 = x² har två lösningar, det positiva talet 2 och det negativa talet −2. Med "kvadratroten ur 4" avses då 2.

Anledningen till att man väljer bara den icke-negativa lösningen är att man vill att ${\sqrt {x}}$ skall vara enfunktion, som då enbart får anta maximalt ett värde för varjex. Det går att generalisera kvadratroten till enflervärd funktion, men detta är inte särskilt vanligt när man bara behandlar reella tal.

Kvadratrötter ur negativa tal behandlas ikomplex analys. Mer generellt kan begreppet användas i sammanhang där kvadrering av ettmatematiskt objekt är definierat.

Formell definition

[redigera |redigera wikitext]

Kvadratroten urx är den icke-negativa lösningeny till ekvationen

\ y^{2}=x

därx är ettpositivt reellt tal eller noll.

Att det finns sådana lösningar tillalla positiva reella tal har inte alltid ansetts självklart. Se artikeln omkvadratroten ur två.

Kvadratroten ur negativa tal kan inte definieras på ett tillfredsställande sätt, men genom att införa deimaginära talen kan man finna lösningar till ekvationer av ovanstående typ även närx är negativt.

Mer allmänt kan kvadratrötter definieras för diverse objekt som exempelvismatriser,funktioner och heltal undermoduloräkning.

Positiva tal

[redigera |redigera wikitext]

Räknelagar

[redigera |redigera wikitext]

Följande egenskaper för kvadratrötter gäller för alla positiva reella talx ochy:

{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}

{\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}

Dessa samband är ganska lätta att härleda; till exempel är

{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}={\sqrt {\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\right)\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}\right)}}={\sqrt {{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}}={\sqrt {{\sqrt {x}}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}{\sqrt {y}}}}={\sqrt {xy}}

Dessutom gäller enligt definitionen avpotens (se ävenpotenslagarna) att

{\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}

Ibland används följande samband mellan kvadratrot ochabsolutbelopp:

{\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|

Kvadratroten ur ett positivtheltaln är ett heltal endast omn är ettkvadrattal, det vill säga förn = 1, 4, 9, 16, 25, …, och i annat fall ettirrationellt tal. Mer generellt är kvadratroten ur ett rationellt tal ett irrationellt tal, om det rationella talet inte går att skriva som ett bråk med kvadrattal som täljare och nämnare.Kvadratroten ur 2, ungefär lika med 1,4142, var troligtvis det första kända irrationella talet, studerat avPythagoréerna. Däremot är kvadratroten ur ettalgebraiskt tal alltid algebraisk.

Beräkningsmetoder

[redigera |redigera wikitext]

Omexponential- ochlogaritmfunktionerna exp och ln finns tillgängliga kan kvadratrötter beräknas enligt

{\sqrt {x}}=e^{\frac {\ln x}{2}}

En effektivalgoritm för att approximera kvadratrötter, känd under namnetbabyloniska metoden, är ett specialfall avNewton-Raphsons metod. För att beräkna roten urx:

Starta med ett godtyckligt värder_n (ju närmare roten, desto färre upprepningar behöver göras):r_n
ersättr med medelvärdet avr och ${\frac {x}{r}}$ : $r_{n+1}=(r_{n}+{\frac {x}{r}}_{n})/2$
omr_n+1 −r_n inte nått önskvard noggrannhetsgräns: gå till steg två igen

Beräkningskomplexiteten för den babyloniska metoden är densamma som för multiplikation.

Negativa och komplexa tal

[redigera |redigera wikitext]

Riemannytan till kvadratrotsfunktionen visar hur de två grenarna förhåller sig till varandra

För att kunna lösaekvationenr² = x därx är ett käntnegativt tal har man infört taleti (kallatimaginära enheten) enligt definitioneni² = −1. Det visar sig då att man kan lösa alla typer avpolynom ekvationer.

Eftersom kvadratrotsfunktionen inte är kontinuerlig så gäller oftast inte regeln ${\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}$ . Detta problem uppstår på grund av friheten att väljagren, och ett liknande problem uppstår för denkomplexa logaritmen och relationen $\log z+\log w=\log(zw)$ . Om man skulle använda regeln ovan utan att bestämma sig för att använda en av de två grenarna kan detta leda till motsägelser, till exempel att −1 = 1:

-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}={\sqrt {1}}=1

Historik

[redigera |redigera wikitext]

Det äldsta kända exemplet på kvadratrotsberäkningar finns i denegyptiska Rhindpapyrusen från1650 f.Kr.

Kvadratroten användes också i både det antikaKina ochIndien. I Indien finns metoder för att beräkna närmevärden till kvadratrötter beskrivna på500-talet f.Kr., i bland annatBaudhayanasutran. IAryabhatas Aryabhatiya finns en metod för att beräkna kvadratroten ur tal med många siffror.

Den äldsta kända kinesiska matematiska textenTexter om beräkning är författad någon gång mellan202 f.Kr. och186 f.Kr., under den tidigaHandynastin. Där finns en metod beskriven för att finna närmevärden till kvadratrötter.

Heron från Alexandria anses ha varit den förste som angav en explicit iterativ metod för att beräkna kvadratrötter, vilken baserades på vad som ofta kallas denbabyloniska metoden. Herons metod är ett specialfall av den långt senare angivna Newton-Raphsons metod. IEuropa började man beräkna kvadratrötter påmedeltiden. Symbolen √ började användas på1500-talet.

Alternativa representationer

[redigera |redigera wikitext]

Förkortningensqrt (frånengelskanssquare root) används inom olikaprogramspråk somoperator för kvadratrotsfunktionen. Vanligast är formatet: Sqrt(operand), men de flestabasicdialekter använder det något kortare SQR(x). Sqrt används även ofta i elektroniskt kodad text somASCII ellerISO 8859-1 då möjlighet att skriva ett kvadratrotstecken saknas och lånar då formatet mer eller mindre direkt frånprogramspråket C.

Se även

[redigera |redigera wikitext]

Hämtad från ”https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Kvadratrot&oldid=54313478”

Dolda kategorier:

[8]ページ先頭

©2009-2026 Movatter.jp