Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hoppa till innehållet
Wikipedia
Sök

Involution (matematik)

Från Wikipedia
En involution är en funktion f(x), som tillämpad på sig själv, f(f(x)), avbildar på det ursprungliga elementet

Inommatematiken är eninvolution ellersjälvinvers funktion, enbijektivfunktion som är sin egeninvers:

f(f(x))=x{\displaystyle f(f(x))=x},

eller alternativt

f−1=f{\displaystyle f^{-1}=f}.

Exempel

[redigera |redigera wikitext]

Reella tal

[redigera |redigera wikitext]

Involutioner är, utöver den identiska avbildningen f(x) = x, avbildningarna

R→R,x↦−x{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto -x}

och

R→Rx↦1x{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} \quad x\mapsto {\frac {1}{x}}}

eftersom

−(−x)=x{\displaystyle -(-x)=x} för allax∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }

och

11/x=x{\displaystyle {\frac {1}{1/x}}=x} för allax≠0{\displaystyle x\neq 0}.

Komplexa tal

[redigera |redigera wikitext]

Komplexkonjugering av ett tal är en involution:

z=a+bi{\displaystyle z=a+b\mathrm {i} } dära,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } avbildas vid komplexkojugering på talet:
z¯=z∗=a−bi.{\displaystyle {\bar {z}}=z^{*}=a-b\mathrm {i} .}

Vid ytterligare en komplexkonjugering fås

z¯¯=z∗∗=a+bi=z{\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z^{**}=a+b\mathrm {i} =z}

Involutioner i gruppteori

[redigera |redigera wikitext]

Ett element a i engrupp G kallas en involution om a2 = e, där e är gruppensneutrala element. Om alla a, som tillhör G är involutioner, så är gruppenabelsk. En grupp vars alla element är involutioner ärKleins fyrgrupp.

Om G är en abelsk grupp, så är avbildningen

g↦g−1{\displaystyle g\mapsto g^{-1}}

en involution och engruppautomorfi. Om G inte är abelsk, så är denna avbildning en involution, men inte en gruppautomorfi.

Generellt är varjeinre automorfi på en grupp G en involution.

Linjär algebra

[redigera |redigera wikitext]

En matris A kallas involutiv om A2 = I, där I ärenhetsmatrisen. En involutiv matris kan i det två- och tredimensionella rummet konkret tolkas som en spegling av rummets punkter i en linje respektive i ett plan. Det finns ett enkelt samband mellan involutiva ochidempotenta avbildningsmatriser. Om B är idempotent, så är A = 2B - I involutiv. B kan tolkas som en projektion.Exempel:

I det tvådimensionella rummet är

 B=(1000){\displaystyle \ B={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}} en projektion på x-axeln och
 A=2⋅(1000)−(1001)=(100−1){\displaystyle \ A=2\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} en spegling av rummets punkter i samma axel.

Andra involutiva matriser ärPaulis spinnmatriser.

Källor

[redigera |redigera wikitext]
  • I. N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham 1964.
  • B. L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Heidelberg 1950.
  • Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
  • David C. Lay, Linear Algebra and its Applications, Addison-Wesley, New York 1996.
v • r
Linjär algebra
Grundläggande begreppBild på euklidiska rummet
Linjär algebra
Matriser
Multilinjär algebra
Konstruktioner
Numerik
KategoriKategori
Hämtad från ”https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Involution_(matematik)&oldid=57059466”
Kategorier:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp