Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hoppa till innehållet
Wikipedia
Sök

Hyperbel

Från Wikipedia
Den här artikelnbehöverkällhänvisningar för att kunnaverifieras.(2020-06)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kanifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras pådiskussionssidan.
Ej att förväxla med Hyperbol.
Hyperbel med brännpunkterna F1 och F2

Enhyperbel är dengeometriska orten för en punktP iplanet, vars avstånd till två givna punkter,brännpunkternaF1 ochF2, har en konstant skillnad. Hyperbeln är ett avkägelsnitten.

Hyperbeln, som består av två oändliga grenar, ärsymmetrisk i förhållande till transversalaxeln, på vilken brännpunkterna ligger, och konjugataxeln.Axlarnas skärningspunkt kallas medelpunkt och genom denna går hyperbelns tvåasymptoter.

Ett mått på hyperbelns form är dessexcentricitete =c/a, därc är halva avståndet mellan brännpunkterna ocha är avståndet från medelpunkten till skärningspunkterna med transversalaxeln. Ju större excentriciteten är desto större är vinkeln mellan asymptoterna.

Ekvationer

[redigera |redigera wikitext]
Transversalaxeln är den horisontella axeln ochkonjugataxeln den vertikala
a — avståndet från centrumC till skärningspunkterna med transversalaxeln
e — excentriciteten
D1 ochD2 kallas styrlinjer och kan användas för konstruktion av hyperbeln enligt sambandetPF1 =e PD1

Väljs sammanbindningslinjen mellan brännpunkterna tillx-axel och dessmittpunktsnormal tilly-axel, blir hyperbelns ekvation

x2a2−y2b2=1{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}

OmA1 ochA2 är skärningspunkterna medx-axeln är

a=OA1=OA2{\displaystyle a=OA_{1}=OA_{2}\,}

Med

c=OF1=OF2=a2+b2{\displaystyle c=OF_{1}=OF_{2}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,}

definierasexcentriciteten som

e=ca{\displaystyle e={\frac {c}{a}}\,}

Asymptoter

[redigera |redigera wikitext]

Linjerna

y=±bax{\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x\,}

är hyperbelns asymptoter.

För denliksidiga hyperbeln är asymptoterna vinkelräta mot varandra.

Tangenter

[redigera |redigera wikitext]

Tangenten i punkten(x1,y1) är

xx1a2−yy1b2=1{\displaystyle {\frac {xx_{1}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{1}}{b^{2}}}=1\,}

Normaler

[redigera |redigera wikitext]

Normalen i punkten(x1,y1) är

(x−x1)a2y1+(y−y1)b2x1=0{\displaystyle (x-x_{1})a^{2}y_{1}+(y-y_{1})b^{2}x_{1}=0}

Krökningsradie

[redigera |redigera wikitext]

Krökningsradien är

R=a2b2(x2a4+y2b4)32{\displaystyle R=a^{2}b^{2}\left({\frac {x^{2}}{a^{4}}}+{\frac {y^{2}}{b^{4}}}\right)^{\frac {3}{2}}}

Konstruktion

[redigera |redigera wikitext]
Brännpunkterna givnaAxlarna givna
Brännpunkterna givna
Axlarna givna
Axlarna givna, Pythagoras sats

Brännpunkterna givna

[redigera |redigera wikitext]

LåtF1 ochF2 vara brännpunkterna. Drag en cirkel med godtycklig radieF2A =r medF2 som medelpunkt. Drag sedan cirkeln med radienr-2a dära är avståndet till skärningspunkten med transversalaxeln och medF1 som medelpunkt. Cirklarna skär varandra iC1 ochC2 som är punkter på hyperbeln.

Axlarna givna

[redigera |redigera wikitext]

Drag från punktenOA = a tangentenAT1 och från punktenOB = b tangentenBT2. Drag en godtycklig linje genomO som skär tangenterna iC ochD. Avsätt sträckanOE =OD. DrasPE vinkelrätt motOE ochCP vinkerätt motPE ärP en hyperbelpunkt.

Det kanske enklaste sättet att konstruera en hyperbel när axlarna är givna är att utnyttja Pythagoras satsa2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} enligt bild. Om en av axlarna är imaginär så gäller i ställeta2−b2=c2{\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}}.

Hämtad från ”https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Hyperbel&oldid=54084062”
Kategorier:
Dolda kategorier:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp