Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hoppa till innehållet
Wikipedia
Sök

Hilbertrum

Från Wikipedia

EttHilbertrum (efterDavid Hilbert) är inom matematiken ettinre produktrum som ärfullständigt med avseende på dennorm som definieras av den inre produkten. Hilbertrum generaliserar och klargör begrepp såsom vissalinjära transformationer (till exempelfouriertransformer) och är absolut nödvändiga i formuleringen avkvantmekaniken. Hilbertrum studeras inomfunktionalanalys.

Introduktion

[redigera |redigera wikitext]

Varjeinre produkt <.,.> på ett reellt eller komplextvektorrumH ger upphov till ennorm ||.|| enligt

‖x‖=⟨x,x⟩{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}

H kallas ettHilbertrum om det är fullständigt med avseende på denna norm. Med fullständigt menas här att varjecauchyföljd av element från rummetHkonvergerar mot ett element i samma rum, i meningen att normen av skillnader mellan elementen i följden och gränsvärdet går mot 0. Varje Hilbertrum är därmed även ettbanachrum, medan omvändningen inte gäller allmänt.

Alla ändligdimensionella inre produktrum (someuklidiska rum) med den vanligaskalärprodukten är Hilbertrum. I vissa tillämpningar, som till exempelkvantmekanik, förekommer dock ofta oändligtdimensionella Hilbertrum. Den inre produkten tillåter oss att använda oss av "geometriska" konstruktioner som vi är vana vid från ändligdimensionella rum. Av alla oändligdimensionellatopologiska rum är Hilbertrummen de "trevligaste" då de är mest lika de ändligdimensionella rummen.

Elementen i Hilbertrummen kallas ibland för "vektorer", i allmänhet är deföljder ellerfunktioner. Inom kvantmekaniken så beskrivs ett fysiskt system av ett komplext Hilbertrum, vilket innehållervågfunktionerna som beskriver de möjliga tillstånden hos systemet.

Ett mål förfourieranalysen är att uttrycka en given funktion som en (möjligen oändlig) summa av givna basfunktioner. Detta är ett problem som kan studeras abstrakt i ett Hilbertrum; varje Hilbertrum har enortonormal bas, och varje element i Hilbertrummet kan uttryckas unikt som enlinjärkombination av dessa baselement.

Hilbertrummen fick sitt namn efterDavid Hilbert som studerade dem i samband med integralekvationer. Definitionen gavs däremot avJohn von Neumann.

Exempel

[redigera |redigera wikitext]

Exempel av Hilbertrum ärRn ochCn med den inre produkten

⟨x,y⟩=∑k=1nxk∗yk{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{*}y_{k}}

där* indikerarkomplexkonjugatet.

Mer typiska är de oändligdimensionella Hilbertrummen, i synnerhet rummenLw2(D){\displaystyle L_{w}^{2}(D)} som består av de funktioner vars kvadrat multiplicerat med en så kalladviktfunktion,w, ärLebesgue-integrerbara överdomänenD, och varsvärdemängd ligger iR ellerC,modulo underrummet av de funktioner vars kvadratiska integral är noll. Den inre produkten mellan två funktionerf ochg ges då av

⟨f,g⟩=∫f(t)∗g(t)w(t)dt{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(t)^{*}g(t)w(t)\,dt}

Användandet av Lebesgue-integralen försäkrar oss om att rummet är fullständigt.

(Man bör komma ihåg att per definition så är en Lebesgue-integrerbar funktion en Lebesgue-mätbar funktionf sådan att integralen av|f| är ändlig. Således, en funktionf ligger i Hilbertrummet L2 endast om integralen av|f|2 är ändlig. SeLp rum för en vidare diskussion av detta exempel.)

Ett Hilbertrum vars element är följder ges avl2. Där är elementen följder (xn) av reella (eller komplexa) tal sådana att

∑n=1∞|x|2<∞{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|x|^{2}<\infty }

Den inre produkten avx = (xn) ochy = (yn) definieras av

⟨x,y⟩=∑n=1∞xn∗yn{\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}^{*}y_{n}}

Generellt: omB är någonmängd så definierasl2(B) som mängden av alla funktionerx :B →R orC sådana att:

∑b∈B|x(b)|2<∞{\displaystyle \sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty }

Detta rummet blir ett Hilbertrum om vi definierar

⟨x,y⟩=∑b∈Bx(b)∗y(b){\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x\left(b\right)^{*}y\left(b\right)}

för allax ochy il2(B).På ett sätt (mer om detta nedan) så är varje Hilbertrum på formenl2(B) för en lämplig mängdB.

Baser

[redigera |redigera wikitext]

Ett viktigt begrepp är begreppetortonormal bas av ett HilbertrumH: en delmängdB avH med tre egenskaper:

  1. Varje element iB har norm 1: <e,e> = 1 för allae iB
  2. Givet två olika, godtyckliga elemente ochf iB, så har vi att: <e,f> = 0. Vi säger att de är ortogonala.
  3. Elementen iB spänner upp en tät delmängd avH.

Exempel på ortonormala baser:

  • mängden {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} bildar en ortonormal bas iR3
  • mängden {fn :n ∈Z} medfn(x) = exp(2πinx) ger en ortonormal bas för det komplexa rummet L2([0,1])
  • mängden {eb :b ∈B} medeb(c) = 1 omb=c och 0 i övrigt, ger en ortonormal bas avl2(B).

Notera att i det oändligdimensionella fallet så kommer en bas inte vara en bas i samma betydelse som ilinjär algebra; varje element i Hilbertrummet kan inte skrivas som enändliglinjärkombination av elementen i enortogonal bas. En bas i linjäralgebraisk mening, som är sådan att varje element i Hilbertrummet kan skrivas som en ändlig linjärkombination av baselementen kallas enHamelbas.

Genom att användaZorns lemma så kan man visa att varje Hilbertrum kan ges en ortonormal bas, och att två olika baser för samma rum har sammakardinalitet. Ett Hilbertrum ärseparabelt om och endast om det kan ges en uppräknelig bas.

Eftersom alla oändligdimensionella separabla Hilbertrum ärisomorfa, och nästan alla Hilbertrum som används ifysiken är separabla så avses ett godtyckligt Hilbertrum när en fysiker talar omHilbertrummet.

OmB är en ortonormal bas avH så kan varje elementx iH skrivas som

x=∑b∈B⟨b,x⟩b{\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle b,x\rangle b}

Även omB är ouppräknelig så kommer endast ett uppräkneligt antal termer i denna summa vara skilda från noll, och uttrycket är därför väldefinierat. Summan kallas ävenfourierutvecklingen avx.

OmB är en ortonormal bas avH så ärHisomorf medl2(B) på följande sätt: det existerar enbijektivlinjär avbildning Φ :H →l2(B) sådan att

⟨Φ(x),Φ(y)⟩=⟨x,y⟩{\displaystyle \langle \Phi \left(x\right),\Phi \left(y\right)\rangle =\langle x,y\rangle }

för allax ochy iH.

Reflexivitet

[redigera |redigera wikitext]

En viktig egenskap hos alla Hilbertrum är att de ärreflexiva. Det finns till och med mer att säga: man kan helt och hållet beskriva dessdualrum (rummet av allakontinuerliga linjära funktioner frånH tillR (ellerC).Riesz representationssats påstår att till varje element φ i dualrummetH så finns ett och endast ett elementu iH sådant att

ϕ(x)=⟨u,x⟩{\displaystyle \phi \left(x\right)=\langle u,x\rangle } för allax iH

och kopplingen φ ↔u ger en antilinjär isomorfism mellanH andH'. Denna motsvarighet utnyttjas ibra-ket-notationen som fysiker uppskattar men som matematikerna skyr.

Begränsade operatorer

[redigera |redigera wikitext]

Givet ett HilbertrumH, så finns ett speciellt intresse av att studera dekontinuerligalinjära operatorernaA :H →H. Sådana kontinuerliga operatorer ärbegränsade i betydelsen att de avbildar begränsade mängder på begränsade mängder. Detta tillåter en att definiera dessnorm som

‖A‖=sup‖x‖≤1‖Ax‖{\displaystyle \lVert A\rVert =\mathrm {sup} _{\lVert x\rVert \leq 1}\lVert Ax\rVert }

Summan och kompositionen av två kontinuerliga linjära operatorer är återigen kontinuerlig och linjär. Låty vara ett element iH. Avbildningen som tarx till <y,Ax> är linjär och kontinuerlig, och enligtRiesz representationssats kan därmed representeras på formen

⟨A∗y,x⟩=⟨y,Ax⟩{\displaystyle \langle A^{*}y,x\rangle =\langle y,Ax\rangle }

Detta definierar en ny kontinuerlig linjär operatorA* :H →H, denadjungerade operatorn avA.

Mängden L(H) som bestå av alla kontinuerliga linjära operatorer påH, tillsammans med addition och kompositionsoperationerna, normen och den adjungerade operatorn, bildar enC*-algebra. Faktum är att detta är motivet till, och det viktigaste exemplet på, en C*-algebra.

Ett elementA av L(H) kallassjälvadjungerad ellerhermitsk omA* =A. Dylika operatorer ha många egenskaper gemensamt med de reella talen, och kan i vissa lägen ses som generaliseringar av dem.

Ett elementU av L(H) kallasunitär omU är inverterbar och dess invers ges avU*. Detta kan även formuleras genom att kräva att <Ux,Uy> = <x,y> för allax ochy iH. De unitära operatorerna bildar engrupp under komposition.

Ortogonala komplement och projektioner

[redigera |redigera wikitext]

OmS är en delmängd av HilbertrummetH så definieras

S+={x∈H:⟨x,s⟩=0 ∀s∈S}{\displaystyle S^{+}=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ \forall s\in S\right\}}

MängdenS+ är ensluten delmängd avH och bildar därmed självt ett Hilbertrum. OmS är ett slutet underrum avH så kallasS+ för detortogonala komplementet tillS, eftersom varjex iH kan i detta fall på ett unit sätt skrivas som en summa

x =s +t

därs iS ocht iS+. FunktionenP :H →H som avbildarx pås kallas då denortogonala projektionen på S.P är i sig en självadjungerad kontinuerlig linjär operator påH med egenskapen attP2 =P; och varje operator med denna egenskap är en ortogonal projektion på något slutet underrum. För varjex iH,P(x) är det element iS som är närmastx.

Obegränsade operatorer

[redigera |redigera wikitext]

Ikvantmekanik betraktar man även linjära operatorer som inte behöver vara kontinuerliga eller definierade på hela rummetH. Man kräver endast att de är definierade på ett tätt delrum avH. Det är möjligt att definiera självadjungerade obegränsade operatorer, och dessa spelar rollen avobserverbara storheter i den matematiska formuleringen av kvantmekaniken.

Typiska exempel på självadjungerade obegränsade operatorer på Hilbertrummet L2(R) ges av derivatanAf =if  (däri är den imaginära enheten ochf är en funktion, vars kvadrat är integrabel).Ett annat exempel är multiplikation medx:Bf(x) =xf(x). Notera att varkenA ellerB är definierade på helaH, eftersom i första fallet behöver derivatanA inte existera, och i falletB behöver produktfunktionen inte vara integrarbar på det sätt som behövs. Dock är bådeA ochB definierade i ett tätt delrum av L2(R).

Historia

[redigera |redigera wikitext]

Innan Hilbertrum introducerades fanns andra generaliseringar av det euklidiska rummet. Hilbertrummet visade sig dock vara ett exemplariskt rum för kvantmekaniska beräkningar och von Neumann använde sig av sin axiomatiskt kompletta behandling av Hilbertrum i sitt betydande arbete för kvantmekaniken[1].

Hilbertrum i populärkultur

[redigera |redigera wikitext]

Ett av rummen i datorspeletStugan heter Hilbertrummet.

Se även

[redigera |redigera wikitext]

Referenser

[redigera |redigera wikitext]
  1. ^Mathematische Annalen, volym 98, sidor 1–30, år 1927, doi=10.1007/BF01451579


Auktoritetsdata
Hämtad från ”https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Hilbertrum&oldid=56850703”
Kategorier:
Dolda kategorier:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp