Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hoppa till innehållet
Wikipedia
Sök

Hermiteskt konjugat

Från Wikipedia

Dethermiteska konjugatet är enmatematisk operation på enmatris uppkallat efter franske 1800-talsmatematikernCharles Hermite.

Definition

[redigera |redigera wikitext]

Det hermiteska konjugatet av en matrisA=(aij)∈Cm×n{\displaystyle A=(a_{ij})\in \mathbb {C} _{m\times n}} definieras som(AH)ij=aji¯{\displaystyle \left(A^{H}\right)_{ij}={\bar {a_{ji}}}} därz¯{\displaystyle {\bar {z}}} betecknarkomplexkonjugatet avz{\displaystyle z}. Med andra ord är det hermiteska konjugatet tillA{\displaystyle A} definierat somA{\displaystyle A}:stransponat med alla element komplexkonjugerade.

Notera attA∈Rm×n⇒AH=At{\displaystyle A\in \mathbb {R} _{m\times n}\Rightarrow A^{H}=A^{t}},transponatet av A. Dvs, för reella matriser är det hermiteska konjugatet samma som vanlig transponering.

Andra skrivsätt

[redigera |redigera wikitext]

AH{\displaystyle A^{H}\,} skrivs ävenA∗{\displaystyle A^{*}\,} ellerA†{\displaystyle A^{\dagger }}.

Exempel

[redigera |redigera wikitext]

A=(3+i2−ii1−i){\displaystyle A={\begin{pmatrix}3+i&2-i\\i&1-i\end{pmatrix}}}

Ger att:

AH=(3−i−i2+i1+i){\displaystyle A^{H}={\begin{pmatrix}3-i&-i\\2+i&1+i\end{pmatrix}}}

Egenskaper

[redigera |redigera wikitext]

Ur definitionen får man omedelbart följande egenskaper:

(AH)H=A{\displaystyle (A^{H})^{H}=A}
(AH)−1=(A−1)H{\displaystyle (A^{H})^{-1}=(A^{-1})^{H}} omA är inverterbar.
(A+B)H=AH+BH{\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}}
(λA)H=λ∗AH{\displaystyle (\lambda A)^{H}=\lambda ^{*}A^{H}}, därλ∗{\displaystyle \lambda ^{*}} ärλ{\displaystyle \lambda }:skomplexa konjugat.
(AB)H=BHAH{\displaystyle (AB)^{H}=B^{H}A^{H}}

Omoperatornormen avA{\displaystyle A} är:

‖A‖=sup{‖Ax‖:‖x‖=1}{\displaystyle \|A\|=\sup\{\|Ax\|:\|x\|=1\}}

så är

‖AH‖=‖A‖{\displaystyle \|A^{H}\|=\|A\|}

och

‖AHA‖=‖A‖2{\displaystyle \|A^{H}A\|=\|A\|^{2}}

Se även

[redigera |redigera wikitext]
Hämtad från ”https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Hermiteskt_konjugat&oldid=41248157”
Kategori:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp