Geometri (grekiska: γεωμετριαgeometria, av γεωgeo ”jord”, och μετριαmetria ”mäta”) är en gren avmatematiken där man studerar vilka egenskaperfigurer har i ettrum eller, mer generellt, rumsliga samband. Geometrin var en av de två ursprungliga matematiska disciplinerna vid sidan avtalteorin, det vill säga studiet av talen. I modern tid har geometrin generaliserats till en hög abstraktionsnivå och komplexitet. Många av dess grenar berörs idag avmatematisk analys ochabstrakt algebra och kan vara mycket svåra att känna igen som ättlingar till den tidigaste geometrin. Beroende på vilkaaxiom man utgår ifrån får man olika geometrier, det vill säga geometriskateorier.
Den allra äldsta, bevarade geometrin, som kommer från det gamlaEgypten ochBabylonien med början omkring 3 000 f.Kr.[1][2], var en samling empiriskt härledda principer om längd, vinklar, ytor och volymer, som man utvecklat för att tillfredsställa de praktiska behov som uppstått ur lantmäteri, konstruktion, astronomi och olika hantverk. Flera av dessa principer var förvånansvärt sofistikerade, och dagens matematiker kan ha svårt att härleda dem utan att använda matematisk analys. Till exempel kände både egyptierna och babylonierna tillPythagoras sats omkring 1 500 år förePythagoras. Egyptierna kunde korrekt beräkna volymen på en stympad pyramid med kvadratisk bas och babylonierna hade trigonometriska tabeller.[3][4][5]
I Kina hade man med största sannolikhet kommit lika långt inom matematiken.
Grekerna utvecklade geometrin till att omfatta många nya figurer, kurvor, ytor och kroppar. De ersatte tidigare induktiva metoder med logiska, deduktiva, de insåg att geometrin studerar abstrakta, ideala former och de upptäckte det axiomatiska system som, under mer än 2 000 år, betraktats som det ideala paradigmet för alla vetenskapliga teorier.
Thales skrev deduktiva bevis för fem geometriska satser, men dessa bevis är försvunna.[6]Pythagoras upptäckte inte den sats som idag bär hans namn, men han var den förste som kunde presentera ett deduktivt bevis för den.[7][8][9]Pythagoreerna och hans lärjungar studerade matematik, musik och filosofi och tillsammans utforskade de det mesta av den geometri som idag studeras på gymnasiet. Dessutom upptäckte man, till sin egen förtvivlan,inkommensurabla sträckor och därmed deirrationella talen.
Matematiker accepteradePlatons övertygelse att geometrin uteslutande skulle använda sig avpassare och en ograderad linjal och aldrig någon form av mätverktyg, gradskiva eller något annat verktyg som man förknippade med praktiskt hantverk. Detta maxim gjorde att man fördjupade sig i konstruktioner med passare och linjal och dess tre klassiska konstruktionsproblem:kubens fördubbling,vinkelns tredelning ochcirkelns kvadratur. De bevisades omöjliga i dessa konstruktioner först på 1800-talet.Aristoteles skrev en traktat om metodisk argumentation i deduktiva bevis, en metodlära som förblev oförändrad ända fram till 1800-talet.
Arkimedes utvecklade metoder som starkt påminner om den analytiska geometrins koordinatsystem och integralkalkylens approximationer. Detta enda som saknades för att han skulle kunna skapa dessa matematiska discipliner var verkningsfulla algebraiska beteckningar som kunde uttrycka hans idéer.[12]
Den islamiska dominansen i Mellanöstern, Nordafrika och Spanien inleddes omkring 640 e.Kr.Biblioteket i Alexandria brändes ned av kristna vid 300-talet. De första framstående persiska matematikerna ägnade sig mer åtalgebra än geometri även om exempelvis poeten och geometrikernOmar Khayyam bidrog med viktiga kommentarer till ämnet.[13][14] I Europa förföll matematiken till den grad att till och med de klassiska verken gick förlorade där och bara överlevde via de islamiska lärdomscentrerna.[15]
Under medeltidens slut studerades de klassiska grekiska och romerska verken i islamiska bibliotek och översattes från arabiska till latin. Man återupptäckte EuklidesElementa och geometrins deduktiva metoder återerövrades. Utvecklingen av geometrin i enlighet med Euklides metoder återupptogs och ett stort antal viktiga och till och med eleganta satser och begrepp tillkom.
Descartes ochFermat introduceradeanalytisk geometri med koordinater och ekvationer.Desargues studeradeprojektiv geometri utan användning av måttenheter, egenskaper som inte påverkas av projektion (till exempel hur punkter relaterar sig till varandra).
I slutet av 1600-talet utvecklade, oberoende av varandra,Newton (1642–1727) ochLeibniz (1646–1716)differentialkalkylen. Det blev början på ett helt ny gren inom matematiken som idag kallasanalys som gjorde det enkelt att hitta tangenten till godtyckliga kurvor och att finna arean hos en yta som omsluts av sådana kurvor.
Saccheri,Lambert ochLegendre gjorde var och en för sig viktiga upptäckter kring detta beviset förEuklides parallellpostulat under 1700-talet, men ingen av dem lyckades hitta lösningen. I början av 1800-talet valdeGauss,Bolyai ochLobatjevskij en annan väg. Oberoende av varandra drog de slutsatsen att det var omöjligt att bevisa parallellpostulatet och började istället utveckla en icke-euklidisk geometri där postulatet var falskt. 1854 presenteradeRiemann, som studerat för Gauss, ett banbrytande arbete där han visade hur differentialkalkylen kunde appliceras på rum med godtyckligt antal dimensioner, det vill säga en fristående geometri som var giltig för allasläta ytor.
Eugenio Beltrami bevisade 1868 att den icke-euklidiska geometrin var fristående. En lång och noggrann undersökning hade till sist uppdagat logiska brister i Euklides resonemang och outtalade antaganden som hans argumentation vilade på. Samtidigt drabbades differentialkalkylen och den numeriska analysen av en kris sedan man misslyckats med att hantera betydelsen av oändliga processer som konvergens och kontinuitet. I geometrin fanns ett påtagligt behov av en ny uppsättning postulat som var helt oklanderliga och stod helt oberoende av bilder på ett papper och vår intuitiva bild av ett rum.David Hilbert presenterade en ny uppsättning geometriska axiom 1894. Även om liknande axiom presenterats några år tidigare, kunde de inte mäta sig med Hilberts som var lika sparsamma och eleganta som Euklides.
Enpunkt betecknar inom geometri ett objekt utan någon utsträckning. För att ange en punkts läge användskoordinater. Antalet koordinater som behövs för att ange punktens läge bestäms avdimensionen.
Enlinje är en utsträckning i rummet med en dimension, det vill säga att läget för en punkt på linjen bestäms av en koordinat, vilket är det samma som ett matematiskt tal. Med linje menar man oftast en rät linje, men kan generellt sett vara vilkenkurva som helst.
Ettplan är en utsträckning i rummet med två dimensioner sådan att en rät linje som förbinder två punkter på ytan ligger till hela sin längd i ytan. En punkts läge i ett plan bestäms alltså av två koordinater. Koordinaterna anger punktens läge i förhållande till ett koordinatsystem. Enyta är ocksåtvådimensionell och utgör en yttre begränsning av en kropp, eller en avgränsning mellan två kroppar.
Ett annat grundläggande begrepp inom geometri ärsymmetri. I geometrien avser man med symmetri oftastspegelsymmetri, vilket innebär att ett föremål är identiskt med spegelbilden av ett annat föremål i något plan.
Analytisk geometri är en gren av geometrin där algebraiska metoder främst frånlinjär algebra används för att lösa geometriska problem.
Metoder från analytisk geometri används inom allatillämpade vetenskaper, men särskilt inom fysiken, till exempel för att beskriva planeternas banor. Ursprungligen behandlade analytisk geometri endast frågor rörande planet och den rumsliga (euklidiska) geometrin. Mera allmänt beskriver den analytiska geometrin affina rum av godtyckliga dimensioner över godtyckliga kroppar.
De olika teorierna ger olikasanningsvärden för vissa geometriska påståenden. I euklidisk geometri är det till exempel sant att vinkelsumman i en triangel alltid är 180 grader, vilket inte är fallet i icke-euklidisk geometri.
Den Euklidiska geometrin är den konventionella form av geometri som lärs ut i skolorna, då den har otaliga praktiska tillämpningar. Man kan grovt göra följande uppdelning:
Enicke-euklidisk geometri är en geometrisk teori därEuklides femte axiom, det så kalladeparallellaxiomet, inte gäller. Bådehyperbolisk ochelliptisk geometri är icke-euklidiska, och står i kontrast tilleuklidisk geometri. Den väsentliga skillnaden mellan euklidisk och icke-euklidisk geometri är deparallella linjernas natur. I euklidisk geometri, om vi startar i en punktA och en linjel, så kan vi dra endast en linje genomA som är parallell medl. Å andra sidan, i hyperbolisk geometri finns det oändligt många linjer genomA parallella medl, och i elliptisk geometri existerar inte parallella linjer.
Ett annat sätt att beskriva skillnaderna mellan dessa geometrier är som följande: betrakta två linjer i ett plan som båda är vinkelräta mot en tredje linje. I euklidisk och hyperbolisk geometri är då de två linjerna parallella. I euklidisk geometri förblir emellertid de två linjerna på ett konstant avstånd, medan i hyperbolisk geometri "böjer de av" från varandra med ökande avstånd i takt med att avståndet från skärningspunkten med den gemensamma vinkelräta linjen ökar. I elliptisk geometri "kröker" linjerna mot varandra, och slutligen skär de varandra; således existerar inga parallella linjer i elliptisk geometri.
Beteende hos linjer med gemensam ortogonal linje i vardera av de tre sorternas geometri
Dessa mångfalder är utrustade medmetrik, som tillåter geometri därför att de medger mätning av distans ochvinkel lokalt och definierar koncept somgeodeter,krökning ochtorsion.
Topologi är en form av geometri där endast formen på objekten, och inte några avstånd, betraktas.
En topologi beskriver ett antal volymers fysiska form och formen på deras gemensamma rum såsom de gemensamma resulterande öppningarna och överbryggningarna. En topologisk beskrivning kan till exempel vara ett schema över hållplatserna för kollektivtrafiken i en stad som inte tar hänsyn till avstånden. Topologi är viktigt för att avgöralogistik då man adderar anläggningar av industrikomplex i flera plan och i många byggnader. Topologi används också då man anlägger datanätverk på ettkontor och väljer hur datorerna skall kopplas samman i förhållande till varandra inätverk.
Topologi föddes i början av 1900-talet och är därför ett relativt nytt område inom matematiken. Den har visat sig mycket användbar och tillämpas idag inom andra grenar av matematik såsom analys och algebra, såväl som inom andra vetenskaper som till exempel fysik och genetik.
Igeografiska databaser är topologi en förutsättning för att kunna göra vissaGIS-analyser, såsom närmaste väg mellan två noder, se vilka objekt som finns intill varandra osv.
Topologin generaliserar begreppenkontinuerlig funktion ochöppen mängd. Den introduceras ofta genom att först definiera"topologiska rum", sedan "kontinuerliga funktioner" mellan dessa rum. Därefter studerar man olika "topologiska egenskaper" hos dessa. Se definitioner nedan.
Algebraisk geometri är en gren inom matematiken och kan sägas vara en kombination av linjär algebra och algebra[17]. Det man gör är att studera geometriska strukturer till ekvationer i en och flera variabler. Man vill alltså, med hjälp av algebraiska ekvationer, kunna definiera kurvor och ytor. Eftersom det inte alltid går att få fram ett exakt svar är man mer, i algebraisk geometri, intresserad av att förstå strukturen på geometrin av systemet av ekvationer än själva lösningen.[18]
^J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
^Howard Eves,An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990,ISBN 0-03-029558-0 p. 141: "No work, exceptThe Bible, has been more widely used...."
^R. Rashed (1994),The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra, p.35London
^Boyer (1991). ”The Arabic Hegemony”. sid. 241–242. ”Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote anAlgebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the 16th century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). .. For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."”
"Three scientists, Ibn al-Haytham, Khayyam, and al-Tusi, had made the most considerable contribution to this branch of geometry whose importance came to be completely recognized only in the 19th century. In essence, their propositions concerning the properties of quadrangles which they considered, assuming that some of the angles of these figures were acute of obtuse, embodied the first few theorems of the hyperbolic and the elliptic geometries. Their other proposals showed that various geometric statements were equivalent to the Euclidean postulate V. It is extremely important that these scholars established the mutual connection between this postulate and the sum of the angles of a triangle and a quadrangle. By their works on the theory of parallel lines Arab mathematicians directly influenced the relevant investiagtions of their European counterparts. The first European attempt to prove the postulate on parallel lines – made by Witelo, the Polish scientists of the 13th century, while revising Ibn al-Haytham'sBook of Optics (Kitab al-Manazir) – was undoubtedly prompted by Arabic sources. The proofs put forward in the 14th century by the Jewish scholar Levi ben Gerson, who lived in southern France, and by the above-mentioned Alfonso from Spain directly border on Ibn al-Haytham's demonstration. Above, we have demonstrated thatPseudo-Tusi's Exposition of Euclid had stimulated both J. Wallis's and G. Saccheri's studies of the theory of parallel lines."
Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
Mlodinow, M.;Euclid's window (the story of geometry from parallel lines to hyperspace), UK edn. Allen Lane, 1992.
Bengt Stolt, "Geometri - euklidisk och icke euklidisk". Prisma 1968
.png)
