Faltning (fråntyskansFaltung, vikning) ellerkonvolution är en matematisk operation, som innebär att en ny integrerbar summafunktion kan bildas av två andra integrerbara funktioner, till exempelsannolikhetsfördelningar. Den omvända operationen kallas avfaltning, ellerdekonvolution.
Exempel på tillämpning ärglidande medelvärde, som kan beräknas som faltningen av ensignal (en tidsvarierande funktion) och enfönsterfunktion(en), exempelvisrektangulärfunktion(en) (enpuls). Inomdatorseende används faltandeneurala nät (convolutional neural network(en), CNN) för attlära maskiner att känna igen ett mönster var än mönstret uppträder i bilden. Inom digital kommunikation ärfaltningskoder en typ avfelrättande koder. Inom ljudteknik kanefterklang (reverb) åstadkommas digitalt genom att falta ljudsignalen med det inspeladeimpulssvaret för ett rum.
Begreppet faltning introducerades i början av 1900-talet. Metoden hade dock existerat långt innan det, utan att ha getts något namn. Ett uttryck som idag skulle ha förklarats som faltning fanns redan 100 år tidigare och användes av en mängd matematiker.
Faltning kan förklaras genom att man låter speglingen av en grafg, glida över en annan graff, längs en axel. Faltningen avf ochg blir då en tredje grafh, som illustrerar den mängd som tillhör bådef ochg i varje tidpunkt av överlappningen (storleken på den gula arean i varje tidpunkt).Faltningen blir då ett slags korsning av de två funktionernaf ochg.
Faltning av funktionernaf ochg skrivs på följande sätt:
I detta fall motsvarar variabelnt inte nödvändigtvis tiden; det är dock vanligt att den inom praktiska tillämpningar gör just detta.
Faltning kan användas inom sannolikhetsberäkningar där man då kan räkna ut sannolikheten mellan olika utfall.Faltning används inom denmatematiskastatistiken för att beräkna fördelningen av enstokastisk variabel som är en summa av två andra stokastiska variabler.[1]
Två sexsidigatärningar kastas. Utfallet från var och en av de två tärningarna är antingen 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 med vardera en sjättedels sannolikhet. Genom faltning av dessa två stokastiska (slumpmässiga) variabler kommer man fram till att summan av utfallen från de två tärningarna antar värden med sannolikheter enligt följande tabell:
| Summa | Sannolikhet |
|---|---|
| 2 | 1:36 |
| 3 | 2:36 |
| 4 | 3:36 |
| 5 | 4:36 |
| 6 | 5:36 |
| 7 | 6:36 |
| 8 | 5:36 |
| 9 | 4:36 |
| 10 | 3:36 |
| 11 | 2:36 |
| 12 | 1:36 |
Inomsignalbehandlingen är faltning en matematisk operation, som bland annat används närlinjära filter appliceras. Ett exempel på ett sådant fall är om en signalf innehåller vissa störningar och man istället vill ta fram ett medelvärde avf över en viss tid. Man kan då välja en signalg av lämpligt utseende och låta den "glida" överf. Den resulterande signalenh illustrerar då ett medelvärde avf under valt antal tidsenheter. Detta ger då en tydligare signal där oväsentliga avvikelser eliminerats.
Dekonvolutionen brukar här benämnasinversfiltrering.
Den tidskontinuerliga formen är:
Den tidsdiskreta formen är:
Faltning motsvaras ifrekvensdomänen avmultiplikation och vice versa. Exempelvis gäller förlaplacetransformen att
Några räkneregler som gäller vid faltning är följande:
Låtf(t) vara ett mätvärde av någon process som varierar med tiden. I dessa mätvärden har olika störningar dykt upp, vilket ger upphov till ointressanta avvikelser i mätvärdena. Vi vill nu istället ersättaf med en ny funktionf′(t) som är ett medelvärde avf(t) under intervallet [t - τ,t], så att de senaste värdena avf ges störst vikt. Det går då att införa ytterligare en funktiong med lämpligt utseende, till exempel en tidspuls.Vi antar också att = 1.Vi kan då multiplicerat medg och sedan integrera över intervallet [t - τ,t].
Detta ger att:
En viktig egenskap hos faltning är att även omf bara är kontinuerlig så blir (f * g) deriverbar om vi väljerg deriverbar. Väljsg' två gånger deriverbar blir också (f * g) två gånger deriverbar.
Wikimedia Commons har media som rörFaltning.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||