Area är en storhet som beskriver utsträckningen av entvådimensionellyta iplanet. Arean av en form kan mätas genom att jämföra den med enkvadrat av bestämd storlek.SI-enheten för area ärkvadratmeter (m²). Inommatematiken ärenhetskvadraten definierad till att ha arean 1. Ibland användsyta som synonym till area (men jämför artikelnyta). När man talar om arean av landområden används iblandareal.[1]
Det finns flera välkända formler som beskriver arean av enklageometriska former såsom entriangel,rektangel ochcirkel. Med sådana formler kan arean av en godtyckligpolygon beräknas medpolygontriangulering, det vill säga uppdelning av polygonen i trianglar.[2] För geometriska former med kröktaränder måste man vanligen användamatematisk analys för att beräkna arean. Faktum är att behovet att kunna bestämma arean hos plana geometriska former var en av anledningarna till att den matematiska analysen utvecklades.[3]
Ytarean av enklatredimensionella geometriska former såsomsfärer,koner ochcylindrar kunde redan de gamla grekerna bestämma. Mer komplicerade kroppars ytarea kan beräknas med matematisk analys i flera variabler.
Area har stor betydelse inom modern matematik. Detta gäller inte bara den uppenbara betydelsen inomgeometri och matematisk analys; area är besläktat med definitionen avdeterminanter ilinjär algebra, och är en grundläggande egenskap idifferentialgeometri.[4]
Enkvadrat med sidlängden 1 meter har arean 1 kvadratmeter
En ansats att definiera vad som menas med area är genom ett antalaxiom. Till exempel kan vi definiera area som en funktiona från en samling speciella plana figurer (benämns mätbara mängder)M till mängden reella tal som har följande egenskaper:
a(S) ≥ 0 för allaS iM.
OmS ochT tillhörM så gör ävenS ∪ T,S ∩ T det ocha(S ∪T) =a(S) +a(T) -a(S ∩ T).
OmS ochT tillhörM medS ⊆ T så tillhörT - S ocksåM ocha(T -S) =a(T) -a(S).
Om en mängdS tillhörM ochS är kongruent medT så tillhörT ocksåM ocha(S) = a(T).
Varje rektangelR tillhörM. Om rektangeln har längdenh och breddenk så ära(R) = hk.
LåtQ vara en mängd innesluten mellan två rektangelområdenS ochT. Ett rektangelområde utgörs av en finit union av närliggande rektanglar på en gemensam bas, det vill sägaS ⊆ Q ⊆ T. Om det finns ett unikt talc sådant atta(S) ≤ c ≤a(T) för alla sådana rektangelområdenS ochT, så ära(Q) = c.
En kvadrat som är 1 meter lång och 1 meter bred har arean 1·1 m = 1 m²Eftersom 1 cm=10 mm så är 1 cm² omräknat i mm²
Varjelängdenhet har en motsvarandeytenhet, och motsvarar där en kvadrats sidlängd. SI-enheten för area ärkvadratmeter (m²), men även andra enheter kan användas, såsom kvadratcentimeter (cm²) och kvadratmillimeter (mm²), eller kvadratkilometer (km²) och kvadrathektometer (i vardagligt tal kallathektar); den sistnämnda är vanligt använd avlantmäteriet vid beräkning av markarea.
För att omvandla mellan två areaenheter, skall man beräkna längdförhållandet mellan dem tvåi kvadrat, vilket exempelvis innebär att 1 kvadratkilometer (km²) omräknat i kvadratmeter (m²) liksom 1 kvadratmeter omräknat i kvadratmillimeter (mm²) är lika med 1000² =1 000 000 och en kvadratcentimeter (cm²) omräknat i kvadratmillimeter (mm²) är lika med 10² = 100.
Den enklaste areaformeln ärrektangeln. Givet en rektangel vars horisontella sidlängd kallasbas (b) och vertikala sidlängdhöjd (h) beräknas arean (A) genom formeln:
(rektangel)
Som ett specialfall har enkvadrat både bas och höjd med samma sidlängds, varför kvadratens area (A) beräknas:
(kvadrat)
Formeln för arean av en rektangel följer direkt från de grundläggande egenskaperna hos area, och betraktas ibland som endefinition eller ettaxiom. Å andra sidan, omgeometri utvecklas förearitmetik, kan formeln användas för att definieramultiplikation avreella tal.
De flesta andra enkla formlerna för area följer avdissektion, som innebär att man skär en plan figur i bitar, somsummerar till arean hos originalfiguren.
Till exempel kan enparallellogram delas upp i entrapetsoid och en rättriangel (enligt figuren till vänster). Om triangeln flyttas till andra sidan av trapetsoiden så resulterar det i en rektangel, varför arean av en parallellogram är samma som för en rektangel:
(parallellogram)
Två kongruenta trianglar.
Men samma parallellogram kan också skäras längs sin enadiagonal till tvåkongruenta trianglar, som i figuren till höger. Från detta får man att arean av vardera triangel är halva arean av parallellogrammen:
(triangel)
Liknande resonemang kan föras för att hitta formler för arean hostrapetsoider,romber och mer avanceradepolygoner.
En cirkel kan delas upp icirkelsektorer, som ungefärligen kan arrangeras som en parallellogram.
Formeln förcirkelns area grundar sig i en liknande metod. Givet en cirkel med radienr kan den delas in i sektorer enligt figuren till höger. Varje sektor ärapproximativt en triangulär, och kan fördelas om till en approximativ parallellogram. Höjden hos denna parallellogram ärr och bredden hälften av omkretsen hos cirkeln, eller πr. Alltså är den totala arean hos cirkelnr⋅πr eller π⋅r2.
(cirkel)
Trots att dissektionen av cirkeln till sektorer är approximativ blir felet mindre och mindre, ju fler sektorer som cirkeln delas in i.Gränsvärdet som arean hos parallellogrammen går mot är exakt π⋅r2, som är cirkelns area. Detta resonemang är en enkel tillämpning avmatematisk analys.
Arkimedes visade att mantelarean och volymen hos ensfär är exakt ⅔ av arean och volymen hos den omkringliggandecylindriska ytan.
De flesta enkla formler för mantelarea kan fås genom att skära upp ytan och släta ut till ett plan. Till exempel, om sidan hos encylinder eller ettprisma skärs på längden kan ytan slätas ut till en rektangel. På samma sätt, om enkon skärs från basen till toppen kan ytan slätas ut till en cirkelsektor, och arean räknas ut.
Formeln för mantelarean hos ensfär är svårare: eftersom ytan på en sfär harGausskrökning som är skild från noll kan den inte slätas ut till ett plan. Mantelarean hos en sfär beräknades först avArkimedes i hans verk 'Om mätning av cirkeln'. Formeln är
(sfär)
därr är radien hos sfären. Precis som för cirkeln använder härledningar av denna formel metoder som påminner om matematisk analys.
C är arean hos cirkeln i cirkulär enhet.[förklaring behövs]
Formlerna ovan visar hur arean kan beräknas för många enkla och regelbundna figurer. Arean hos oregelbundna polygoner kan beräknas medkoordinatareaformeln.[5]
^Kiselman, C.O. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. (1. uppl.) Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs universitet.
