Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hoppa till innehållet
Wikipedia
Sök

Apollonios sats

Från Wikipedia
Figur 1.
Den sammanlagda ytan av de röda och orange kvadraterna är lika med den sammanlagda ytan av de blå och gröna rektanglarna.

Inomgeometrin är enligtApollonios sats summan av kvadraterna på två av sidorna i en triangel lika med dubbla summan av kvadraten på halva den tredje sidan och kvadraten påmedianen till denna sida. Med beteckningar enligt figur 1 innebär detta att

b2+c2=2(m2+d2){\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}.

Apollonios sats är en följdsats tillStewarts sats.[1]

Omb=c{\displaystyle b=c} reduceras satsen tillPythagoras sats:b2=c2=m2+d2{\displaystyle b^{2}=c^{2}=m^{2}+d^{2}}.

Eftersomdiagonalerna i enparallellogram skär varandra på mitten är satsen egentligen bara en annan formulering avparallellogramlagen.

Satsen är uppkallad efterApollonios från Perga.

Bevis

[redigera |redigera wikitext]

Satsen kan bevisas på flera sätt. Ett geometriskt bevis återfinns i artikeln om medianer under rubriken "medianernas längd". Nedan följer ett bevis som utnyttjarcosinussatsen.

Betrakta triangeln i figur 1 med sidornaa,b,c och med medianend till sidana. Medianen delara i två delar av längdenm. Kalla vinklarna mellana ochd förθ ochθ′, därθ är motstående tillb ochθ′ är motstående tillc. Eftersomθ ochθ′ ärsupplementvinklar är cosθ = −cosθ′. Förθ respektiveθ′ säger cosinussatsen att

b2=m2+d2−2dmcos⁡θ{\displaystyle b^{2}=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta }
c2=m2+d2−2dmcos⁡θ′=m2+d2+2dmcos⁡θ{\displaystyle c^{2}=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta }

Adderar vi dessa båda får vi

b2+c2=(m2+d2−2dmcos⁡θ)+(m2+d2+2dmcos⁡θ)=2(m2+d2){\displaystyle b^{2}+c^{2}=(m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta )+(m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta )=2(m^{2}+d^{2})}

Referenser

[redigera |redigera wikitext]
  1. ^David B. Surowski, 2011Advanced High-School MathematicsArkiverad 18 april 2019 hämtat från theWayback Machine. sid. 27.
Hämtad från ”https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Apollonios_sats&oldid=56858880”
Kategori:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp