Postoji nekoliko tipovasrednje vrednosti u raznim granamamatematike (a posebnostatistike).
Zaskup podataka,aritmetička sredina, koja se naziva imatematičko očekivanje ili prosek, je centralna vrednost diskretnog skupa brojeva: konkretno, zbir vrednosti podeljen sa brojem vrednosti. Aritmetička sredina skupa brojevax1,x2, ...,xn obično se označava sa, izgovara se „x nadvučeno”. Ako se skup podataka zasniva na nizu opažanja dobijenihuzorkovanjem izstatističke populacije, aritmetička sredina jesrednja vrednost uzorka (označena), da bi se razlikovala od srednje vrednosti ishodišne distribucije,populacione srednje vrednosti (označene sa ili).[1]
Uverovatnoći istatistici, populacionasredina iliočekivana vrednost su merilocentralne tendencije biloraspodele verovatnoće ilislučajne promenljive koju karakteriše ta distribucija.[2] U slučajudiskretne raspodele verovatnoće slučajne promenljiveX, prosek je jednak zbiru svih mogućih vrednosti ponderisanih verovatnoćom tih vrednosti; to jest, izračunava se uzimajući proizvod svih mogućih vrednostix izX i njegove verovatnoćep(x), a zatim sabiranjem svih tih proizvoda zajedno, što daje.[3] Analogna formula se odnosi na slučajkontinuirane raspodele verovatnoće. Nema svaka distribucija verovatnoće definisanu srednju vrednost. To je na primer slučaj saKošijevom distribucijom. Štaviše, za neke distribucije srednja vrednost je beskonačna.
Za konačnu populaciju,populaciona srednja vrednost svojstva jednaka je aritmetičkoj sredini datog svojstva, uzimajući u obzir svaki član populacije. Na primer, prosečna visina populacije jednaka je zbiru visina svakog pojedinca podeljenog sa ukupnim brojem jedinki. Srednja vrednost uzorka može se razlikovati od proseka populacije, posebno za male uzorke.Zakon velikih brojeva uslovljava da što je veća veličina uzorka, veća je verovatnoća da će srednja vrednost uzorka biti blizu populacione sredine.[4]
Izvan verovatnoće i statistike, ugeometriji ianalizi često se koristi širok spektar drugih pojmova „srednje vrednosti”; primeri su dati ispod.
Aritmetička srednja vrednost (ili jednostavnosredina) za uzorak, obično označena sa, je suma vrednosti uzorka podeljena brojem stavki u uzorku
Na primer, aritmetička sredina pet vrednosti: 4, 36, 45, 50, 75 je:
Geometrijska sredina je prosek koji je koristan za skupove pozitivnih brojeva koji se interpretiraju u skladu sa njihovim proizvodom, a ne njihovim zbirom (kao što je slučaj sa aritmetičkom sredinom); npr. stope rasta.
Na primer, geometrijska sredina pet vrednosti: 4, 36, 45, 50, 75 je:
Harmonijska sredina je prosek koji je koristan za skupove brojeva koji su definisani u odnosu na nekujedinicu, na primerbrzinu (rastojanje po jedinici vremena).
Na primer, harmonijska sredina pet vrednosti: 4, 36, 45, 50, 75 je
AS, GS i HS zadovoljavaju ove nejednakosti:
Jednakost važi samo ako su svi elementi datog uzorka jednaki.
Uopisnoj statistici, srednja vrednost se može pogrešno poistovetiti samedijanom,modusom ilisredinom opsega, jer se bilo koja od njih može nazvati „prosekom” (formalnije, meromcentralne tendencije). Srednja vrednost skupa opažanja je aritmetička sredina vrednosti; međutim, zazakrivljene distribucije srednja vrednost nije nužno ista kao središnja vrednost (medijana) ili najverovatnija vrednost (modus). Na primer, srednji dohodak je tipično zakrivljen naviše zbog malog broja ljudi sa veoma velikim primanjima, tako da većina ima prihod niži od proseka. Nasuprot tome, medijana prihoda je nivo na kojem je polovina stanovništva niža, a polovina iznad. Modus prihod je najverovatniji dohodak i pogoduje većem broju ljudi sa nižim primanjima. Dok su medijana i modus često intuitivnije mere za takve zakrivljene podatke, mnoge zakrivljene distribucije se zapravo najbolje opisuju njihovom srednjom vrednošću, uključujućieksponencijalnu iPoasonovu distribuciju.
Srednja vrednostraspodele verovatnoće je dugotrajna aritmetička sredinaslučajne promenljive koja ima tu distribuciju. U tom kontekstu ona je takođe poznata i kaoočekivana vrednost. Zadiskretnu raspodelu verovatnoće, srednja vrednost je data sa, gde se zbir uzima nad svim mogućim vrednostima slučajne promenljive i jefunkcija verovatnoće mase. Zakontinuiranu distribuciju, srednja vrednost je, gde jefunkcija gustine verovatnoće. U svim slučajevima, uključujući one u kojima distribucija nije ni diskretna, niti kontinuirana, srednja vrednost jeLebegov integral slučajne promenljive u odnosu na njenumeru verovatnoće. Srednja vrednost ne mora da postoji ili da bude konačna; za neke distribucije verovatnoće srednja vrednost je beskonačna (+∞ ili−∞), dok za ostale nema srednje vrednosti.
Generalizovana srednja vrednost, takođe poznata kao stepenska srednja vrednost ili Helderova sredina, je apstrakcija kvadratne, aritmetičke, geometrijske i harmonijske sredine. Ona se definiše za skup odn pozitivnih brojevaxi sa
Birajući različite vrednosti za parameterm, sledeći tipovi srednje vrednosti se dobijaju:
Ovo se može dalje generalizovati kaogeneralizovana ƒ-srednja vrednost
i ponovo odgovarajući izbor invertibilne ƒ daje
Ponderisana aritmetička sredina (ili ponderisana sredina) se koristi ako se želi da se kombinuju srednje vrednosti iz uzorka data populacije sa različitim veličinama uzorka:
Težine predstavljaju veličine raznih uzoraka. U drugim aplikacijama, one predstavljaju meru pouzdanosti uticaja na srednju vrednost respektivnim vrednostima.
Ponekad skup brojeva može da sadržiosamljene delove, i.e. vrednosti podataka koje su znatno niže ili znatno veće od ostalih. Često su takve vrednosti pogrešni podaci izazvaniartefaktima. U tom slučaju, može se koristitizarubljena sredina. To uključuje odbacivanje datih delova podataka na gornjem ili donjem kraju, obično jednake količine na svakom kraju, a zatim uzimanje srednje aritmetičke vrednosti preostalih podataka. Broj uklonjenih vrednosti prikazan je u procentima od ukupnog broja vrednosti.
Interkvartilna sredina je specifični primer zarubljene sredine. To je jednostavno aritmetička sredina nakon uklanjanja najniže i najviše četvrtine vrednosti.
uz pretpostavku da su vrednosti poređane, to je jednostavno specifičan primer ponderisane srednje vrednosti za specifični skup težina.
U nekim okolnostima, matematičari mogu izračunati sredinu beskonačnog (čak ineizbrojivog) skupa vrednosti. To se može dogoditi pri izračunavanju srednje vrednosti funkcije. Intuitivno se ovo može zamisliti kao izračunavanje površine ispod sekcije krive, a zatim deljenje sa dužinom te sekcije. Ovo se može učiniti grubo brojanjem kvadrata na grafičkom papiru ili tačnije integracijom. Formula integracije se piše kao:
Mora se voditi računa dati integral konvertira. Srednja vrednost može biti konačna čak i ako se sama funkcija u nekim tačkama teži ka beskonačnosti.
Uglovi, doba dana i druge cikličke veličine zahtevajumodularnu aritmetiku za dodavanje i kombinovanje brojeva. U svim ovim situacijama neće postojati jedinstvena sredina. Na primer, vremena sat vremena pre i posle dvanaest sati su jednako udaljena od ponoći i podneva. Takođe postoji mogućnost da srednja vrednost ne postoji. Ako se razmatratočak boja - ne postoji srednja vrednost skupa svih boja. U tim situacijama mora se odlučiti koja je srednja vrednost najkorisnija. To se može učiniti podešavanjem vrednosti pre usrednjavanja, ili korišćenjem specijalizovanog pristupa zasrednju vrednost kružne količine.
Frešeova sredina pruža način za određivanje „centra” raspodele mase napovršini, ili generalnijeRimanovoj mnogostrukosti. Za razliku od mnogih drugih pristupa, Frešeova sredina je definisana na prostoru čiji se elementi ne mogu nužno sabirati ili množiti skalarima. Ona je ponekad poznata i pod nazivomKarčerova sredina (nazvana po Hermanu Karčeru).
Aritmetička sredinapopulacije ili populacioni prosek se označava saµ. Srednja vrednost uzorka (aritmetička sredina uzorka vrednosti izvučenih iz populacije) čini dobarprocenjivač populacione srednje vrednosti, pošto je njegova očekivana vrednost jednaka populacionoj srednjoj vrednosti (to je,nepristrasni procenjivač). Srednja vrednost uzorka jeslučajna promenljiva, a ne konstanta, jer se njena izračunata vrednost randomno razlikuje u zavisnosti od toga koji su pripadnici populacije uzorkovani, i konsekventno ima svoju sopstvenu distribuciju. Za slučajni uzorak odnnezavisnih opažanja, očekivana vrednost srednje vrednosti uzorka je
a varijansa prosečne vrednosti uzorka je
Ako je populacijanormalno distribuirana, tada je srednja vrednost uzorka normalno distribuirana:
Ako populacija nije normalno distribuirana, srednja vrednost uzorka je ipak približno normalno distribuirana, ako jen veliko iσ2/n < +∞. To proizlazi izcentralne granične teoreme.
Srednja vrednost liste predstavlja sve brojevi sabrane i podeljene veličinom liste.
