Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Пређи на садржај
Википедија
Претрага

Многоугао

С Википедије, слободне енциклопедије
Неки полигони различитих врста: отворени (искључујући његову границу), гранични (искључујући унутрашњост), затворени (укључујући и границу и унутрашњост) и самопресецајући.

Многоугао илиполигон је фигура у равни коју чини многоугаона линија и унутрашња област одређена том линијом. Други назив јеполигон.

Ако сва темена многоугла леже у једнојравни, многоугао се назива раван многоугао. То је многоугао у ужем смислу. Ако сва темена многоугла не леже у једној равни, многоугао се називапросторни многоугао. Дужи које чине многоугаону линију називају сестранице многоугла. Темена изломљене линије, крајеви страница, називају сетемена многоугла. Према броју темена многоугао је троугао, четвороугао, петоугао, шестоугао... Често се уместо многоугла каже и n-троугао (чита се ентоугао). Странице многоугла које имају заједничко теме су суседне, а које немају заједничких тачка су несуседне. Ако је многоугаохомеоморфан кружници, он се назива прост многоугао. Другим речима, прост многоугао је многоугао без самопресека, тј. када:

  1. из сваког његовог темена исходе само две странице;
  2. странице немају заједничких тачака (темена не припадају страницама);
  3. темена не леже на страницама.

Уелементарној геометрији се најчешће посматрају прости многоуглови. Многоугао се дефинише и као део равни ограничен изломљеном линијом. Многоугао се назива конвексним (испупченим) ако цео лежи са једне стране сваке праве на којој лежи његова страница. Другим речима, многоугао јеконвексан ако дуж која спаја сваке две његове тачке, цела (свим својим тачкама) припада том многоуглу. Збир унутрашњих углова сваког простог многоугла је (n-2)180°, где је n = 3, 4, 5,... број његових страница.

Етимологија

[уреди |уреди извор]

Речполигон потиче одгрчког придева πολύς (polús) „много“, и γωνία (gōnía) „угао“. Претпоставља се да би γόνυ (gónu) 'колено' могло бити порекло дела речиgon.[1]

Конвексност

[уреди |уреди извор]

Формалнији начин да се провериконвексност затвореног многоугла у равни је да се његова контура посматра као пут. Уколико се замишљени објекат креће по том путу и притом мења правац свог кретања само налево или само надесно, многоугао је конвексан. Притом није битно како су „лево“ и „десно“ оријентисани.

Површина

[уреди |уреди извор]

Површина простог многоугла (без самопресека) се може изразити следећом формулом:

P=12|∑i=1n(xiy(i+n1)−x(i+n1)yi)|=12|∑i=1n−1(xiyi+1−xi+1yi)+(xny1−x1yn)|{\displaystyle P={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{(i+_{n}1)}-x_{(i+_{n}1)}y_{i})\right|={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})+\left(x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n}\right)\right|}

Својства и формуле

[уреди |уреди извор]
Поделаn-гона наn − 2 троуглова

Еуклидска геометрија је подразумева свуда.

Углови

[уреди |уреди извор]

Сваки полигон има онолико углова колико има страна. Сваки ћошак има неколико углова. Два најважнија су:

Површина

[уреди |уреди извор]
Координате неконвексног петоугла.

У овом одељку, врхови полигона који се разматрају се узимају да су у редоследу(x0,y0),(x1,y1),…,(xn−1,yn−1){\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}. Ради погодности у неким формулама, такође ће се користити нотација(xn,yn) = (x0,y0) will also be used.

Ако полигон није самопресецан (то јест, ако јеједноставан), његоваповршина је

A=12∑i=0n−1(xiyi+1−xi+1yi)where xn=x0 and yn=y0,{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},}

или, користећидетерминанте

16A2=∑i=0n−1∑j=0n−1|Qi,jQi,j+1Qi+1,jQi+1,j+1|,{\displaystyle 16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},}

где јеQi,j{\displaystyle Q_{i,j}} растојање на квадрат између(xi,yi){\displaystyle (x_{i},y_{i})} и(xj,yj).{\displaystyle (x_{j},y_{j}).}[3][4]

Означена површина зависи од редоследа врхова иоријентације равни. Обично је позитивна оријентација дефинисана ротацијом (у смеру супротном од казаљке на сату) која пресликава позитивнуx-осу на позитивнуy-осу. Ако су врхови поређани у смеру супротном од казаљке на сату (то јест, према позитивној оријентацији), означена област је позитивна; иначе је негативна. У оба случаја, формула површине је тачна уапсолутној вредности. Ово се обично називаформула пертли или геометарска формула.[5]

ПовршинаA једноставног многоугла се такође може израчунати ако су познате дужине страница,a1,a2, ...,an испољашњих углова,θ1,θ2, ...,θn, из:

A=12(a1[a2sin⁡(θ1)+a3sin⁡(θ1+θ2)+⋯+an−1sin⁡(θ1+θ2+⋯+θn−2)]+a2[a3sin⁡(θ2)+a4sin⁡(θ2+θ3)+⋯+an−1sin⁡(θ2+⋯+θn−2)]+⋯+an−2[an−1sin⁡(θn−2)]).{\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}}

Ову формулу је описао Лопшиц 1963. године.[6]

Ако се полигон може нацртати на једнако распоређеној мрежи тако да су сви његови врхови тачке мреже,Пикова теорема даје једноставну формулу за површину полигона засновану на броју унутрашњих и граничних тачака мреже: први број плус једна половина другог број, минус 1.

У сваком полигону са периметромp и површиномA важиизопериметријска неједнакостp2>4πA{\displaystyle p^{2}>4\pi A}.[7]

За било која два проста полигона једнаке површине,Бољај–Гервинова теорема наводи да се први може исећи на полигоналне делове који се могу поново саставити да би формирали други полигон.

Дужине страница многоугла не одређују његову површину.[8] Међутим, ако је полигон једноставан и цикличан онда стране одређују његову површину.[9] Од свихn-гона са датим дужинама страница, онај са највећом површином је цикличан. Од свихn-гона са датим периметром, онај са највећом површином је правилан (и стога цикличан).[10]

Правилни полигони

[уреди |уреди извор]

Многе специјализоване формуле примењују се на областиправилних полигона.

Површина правилног многоугла је дата у смислу полупречникаr његовогуписаног круга и његовог периметраp са

A=12⋅p⋅r.{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}

Овај полупречник се такође назива његовомапотемом и често се представља каоa.

Површина правилногn-гона у смислу полупречникаR његовогописаног круга може се тригонометријски изразити као:[11][12]

A=R2⋅n2⋅sin⁡2πn=R2⋅n⋅sin⁡πn⋅cos⁡πn{\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}

Површина правилногn-гона уписаног у круг јединичног полупречника, са страницомs и унутрашњим угломα,{\displaystyle \alpha ,} такође се може тригонометријски изразити као:

A=ns24cot⁡πn=ns24cot⁡αn−2=n⋅sin⁡αn−2⋅cos⁡αn−2.{\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.}

Самопресецање

[уреди |уреди извор]

Површинасамопресецајућег полигона може се дефинисати на два различита начина, дајући различите одговоре:

  • Користећи формуле за једноставне полигоне, дозвољава се да одређена подручја унутар полигона могу имати своју површину помножену фактором који се називагустином региона. На пример, централни конвексни петоугао у центру пентаграма има густину 2. Две троугласте области укрштеног четвороугла (попут слике 8) имају густине супротног знака, а сабирање њихових површина може дати укупну површину од нуле за целу фигуру.[13]
  • Сматрајући затворене регионе као скупове тачака, може се пронаћи површину затвореног скупа тачака. Ово одговара површини равни коју покрива полигон или површини једног или више једноставних полигона који имају исти обрис као и онај који се самосече. У случају унакрсног четвороугла, он се третира као два проста троугла.

Центроид

[уреди |уреди извор]

Користећи исту конвенцију за координате темена као у претходном одељку, координате центроида чврстог једноставног многоугла су

Cx=16A∑i=0n−1(xi+xi+1)(xiyi+1−xi+1yi),{\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}
Cy=16A∑i=0n−1(yi+yi+1)(xiyi+1−xi+1yi).{\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}

У овим формулама мора се користити означена вредност површинеA{\displaystyle A}.

Затроуглове (n = 3), центроиди врхова и чврстог облика су исти, али, генерално, то не важи заn > 3.Центроид скупа врхова многоугла саn врхова има координате

cx=1n∑i=0n−1xi,{\displaystyle c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},}
cy=1n∑i=0n−1yi.{\displaystyle c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.}

Правилни многоугао

[уреди |уреди извор]

Многоугао чије су све странице једнаке и сви углови једнаки назива се правилан многоугао.

За све правилне многоуглове важи да уколико је број страницаn онда се централни угао рачуна као α=360/n, спољашњи као β=360/n, а унутрашњи γ=180-β.

Рачунарска графика

[уреди |уреди извор]

Реч „полигон“ се урачунарској графици користи искључиво затроугао, који је основни графички примитив за представљање тродимензионих објеката. Сваки тродимензиони објекат је представљен скупом троуглова који сем координата својих тачака могу имати и друга својства попутбоје,текстуре којом су попуњени,осветљености и др. Многоуглови који нису троуглови се по правилу разлажу на троуглове.

Види још

[уреди |уреди извор]

Референце

[уреди |уреди извор]
  1. ^Craig, John (1849).Extract of p. 404. Oxford University. стр. 404. 
  2. ^Kappraff, Jay (2002).Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number. World Scientific. стр. 258.ISBN 978-981-02-4702-7. 
  3. ^B.Sz. Nagy, L. Rédey: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Publ.Math. Debrecen 1, 42–50 (1949)
  4. ^Bourke, Paul (јул 1988).„Calculating The Area And Centroid Of A Polygon”(PDF). Архивирано изоригинала(PDF) 16. 09. 2012. г. Приступљено6. 2. 2013. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
  5. ^Bart Braden (1986).„The Surveyor's Area Formula”(PDF).The College Mathematics Journal.17 (4): 326—337.JSTOR 2686282.doi:10.2307/2686282. Архивирано изоригинала(PDF) 2012-11-07. г. 
  6. ^A.M. Lopshits (1963).Computation of areas of oriented figures. translators: J Massalski and C Mills Jr. D C Heath and Company: Boston, MA. 
  7. ^„Dergiades, Nikolaos, "An elementary proof of the isoperimetric inequality",Forum Mathematicorum 2, 2002, 129–130.”(PDF). Архивирано изоригинала(PDF) 27. 09. 2022. г. Приступљено20. 12. 2021. 
  8. ^Robbins, "Polygons inscribed in a circle,"American Mathematical Monthly 102, June–July 1995.
  9. ^Pak, Igor (2005). „The area of cyclic polygons: recent progress on Robbins' conjectures”.Advances in Applied Mathematics.34 (4): 690—696.MR 2128993.S2CID 6756387.arXiv:math/0408104 Слободан приступ.doi:10.1016/j.aam.2004.08.006. 
  10. ^Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 inMathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
  11. ^Area of a regular polygon - derivation from Math Open Reference.
  12. ^A regular polygon with an infinite number of sides is a circle:limn→+∞R2⋅n2⋅sin⁡2πn=π⋅R2{\displaystyle \lim _{n\to +\infty }R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=\pi \cdot R^{2}}.
  13. ^De Villiers, Michael (јануар 2015).„Slaying a geometrical 'Monster': finding the area of a crossed Quadrilateral”(PDF).Learning and Teaching Mathematics.2015 (18): 23—28. CS1 одржавање: Формат датума (веза)

Литература

[уреди |уреди извор]
  • Coxeter, H.S.M.;Regular Polytopes, Methuen and Co., 1948 (3rd Edition, Dover, 1973).
  • Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
  • Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra?Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461–488. (pdfАрхивирано на веб-сајтуWayback Machine (3. август 2016))

Спољашње везе

[уреди |уреди извор]
1–10
11–20
Државне
Остале
Многоугао насродним пројектима Википедије:
Медији на Остави
Подаци на Википодацима
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Многоугао&oldid=30548941”
Категорије:
Сакривене категорије:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp