Геометрија (грчки:γεω = земља,μετρεω = мерим, теgeometria = земљомерство) је гранаматематике која се бави проучавањем особина и међусобних односа просторних облика тј. геометријских тела,површина,линија итачака. У свом првобитном значењу геометрија се схватала каонаука офигурама, о узајамном положају и размерама њихових делова, и такође о трансформисању фигура.
Геометрија је настала независно у више раних култура као практични начин за руковање садужинама, површинама, изапреминама.[1] Геометрија је почела да поприма елементе формалнематематичке науке на западу још у 6. веку п. н. е.[2] До 3. века п. н. е, геометрију јеЕуклид ставио уаксиоматску форму, чији третман,Еуклидовихелемената,[3] је успоставио стандард за многе векове који су следили.[4] Геометрија се независно развила у Индији, у виду текстова који су садржали правила за геометријске конструкције још у 3. веку п. н. е.[5] Исламски научници су сачували грчке идеје и проширили их токомсредњег века.[6] До почетка 17. века, геометрија је била стављена на снажну основу радом математичара као што суРене Декарт иПјер де Ферма. Од тада, у током модерног времена, геометрија је проширена унееуклидијску геометрију имногобразности,.[7] којима се описују простори који леже изван нормалног опсега људског искуства.[8]
Мада је геометрија знатно еволуирала током времена, постоје извесни општи концепти који су мање или више фундаментални за геометрију. Они обухватају концепте тачака, линија, равни, површина, углова, и кривих, као и напреднији појмови многобразности и топологије или метрици.[9]
Топологија је поље које се бави својствима геометријских објеката која остају непромењенаконтинуираним мапирањем. У пракси, то обично значи да се бави својствима простора на великим скалама, као што суповезаност икомпактности.
Дискретна геометрија се углавном бави питањима релативне позиције једноставних геометријских објеката, као што су тачке, линије и кругови. Она дели многе заједничке методе и приниципе сакомбинаториком.
Геометрија има примене у многим пољима, укључујући уметност, архитектуру, физику, као и друге гране математике.
Историја геометрије сеже до античког доба,[14][15] али је њена колевка несумњивоИсток. Развој геометрије се може поделити на четири периода, чије је границе немогуће обележити одређеним датумима:
период настанка, до око V века пре нове ере;
период систематског излагања, античка Грчка;
аналитичка геометрија, од настанка капитализма у Европи;
Геометрија се као наука први пут појавила у древномЕгипту,[16][17][18]Вавилонији.[19] иГрчкој у вези са развојем културе премеравања тла. Отуда и потиче назив геометрије.
Египћани су развилииндуктиван метод закључивања -од појединачног ка општем (нпр. приметили су да једантроугао има 3угла, па су нацртали други троугао и приметили исто, итд. док нису закључили да сви троуглови имају по три угла, тада су то узели за неку основну вредност -аксиому).
Религиозни обреди су били повезани с конструкцијом жртвеника (в.Делски проблем), а практичне потребе људи учиниле су нужним да се измере површине делова земље, запремине судова и остава за жетву. Геометријска разматрања и факта су се у основном сводила на правила израчунавања површина и запремина и треба претпоставити да су ова правила имала више емпиријски него логички карактер.
У VII веку пре нове ере геометријско знање је, по мишљењу грчких историчара, пренесено из Египта и Вавилоније у Грчку.[2] Око 4—5 века п. н. е. грчки филозофи су се почели упознавати са египатском и вавилонском мудрошћу. Од тада настаје други период развоја геометрије, период систематског излагања геометрије као науке, када се све тврдње (искази) доказују.
У догрчкој етапи геометрија је била емпиријска наука. Многобројне геометријске чињенице које су миленијумима пре нашег времена познавали стариЕгипћани,Вавилонци,Индуси,Кинези и други народи, добијене су као резултат посматрања, искуства, експеримента. Практичне методе које су у тој етапи биле коришћене и данас фасцинирају својом оригиналношћу и оштроумношћу. Као пример можемо издвојити сликовити доказ Питагорине теореме или експериментално утврђивање формуле за површину сфере.[20][21][22]|first=James R.
Грчка етапа: Почетком шестог века пре наше ереГрци су упознали геометрију Египћана и током неколико векова развили је до високог степена савршенства. УСтарој Грчкој се одиграо постепени прелаз од практичне ка теоријској геометрији. У том периоду су откривене многобројне геометријске чињенице и што је најважније, разрађене су савршене логичке методе и сав геометријски материјал доведен у складан систем, који је описаоЕуклид у својим Елементима. Методолошко савршенство Елемената је тако велико да су они током два миленијума вршили огроман утицај на развој геометрије и били уџбеник геометрије практично истовремено у целом свету.
Почетак савремене етапе развоја геометрије везан је за разраду аксиоматске методе. Са савременог гледишта, у основи геометрије лежи структура простора коју одређује неки систем аксиома. Савремена геометрија даје могућност да се разматрају модели не само физичког простора, већ простора било које структуре, чији се појмови и својства уклапају у геометријску шему.
У овом периоду су већ познате у ГрчкојТалесове теореме (VI век пре нове ере).Талес из Милета је путовао у Египат и тамо од свештеника упознао њихове геометријске иастрономске закључке o збиру углова у троуглу, о уписаном кругу (у троугао) итд.
Грци су развили нови метод закључивања -дедуктиван метод (обрнуто од индуктивног -од општег ка појединачном).Анаксагора (6. век пре нове ере) се бавиоквадратуром круга иперспективом.Питагора је открио несамерљиве дужи (ирационални бројеви). Питагора је оснивач чувене школе „Полукруг“ која је дала велики допринос математици. Питагорејци су закључили да језбир углова у троуглу 180 степени, открили су први, трећи и четврти став подударности троугла, и наравно чувенуПитагорину теорему:Збир квадрата катета у правоуглом троуглу једнак је квадрату хипотенузе. из које су изведене многе сложеније формуле.Хипократ Хионски (5. век пре нове ере), Питагорин следбеник, изложио је систематски геометрију ("Елементи геометрије") и одредио површину месечева српа.
Платон и његов ученикАристотел (4. век пре нове ере), ако и нису оставили никаквих дела у геометрији, придавали су велики значај систему и основама геометрије.[23] Платон је први почео да постављааксиоме (основне законе, који се узимају при извођењу сложенијих), међутим у његово време много аксиома су искључивале једна другу, и било је веома тешко знати шта је тачно, а шта не. Тако је геометрија у Грчкој достигла онај степен кад је постало нужно да се она систематизује.
Систематизацију (елементарне) геометрије је учиниоЕуклид (3. век пре нове ере) изложивши је на бази основних формулација-аксиома у својим знаменитим књигамаЕлементи, које обухватају 13 томова.[24][25] Еуклид је користиопостулате:
Претпоставља се да је могуће да се од сваке тачке, до сваке друге тачке може повући линија.
Претпоставља се да је могуће да се свака права, пратећи њен правац, продужи неограничено.
Претпоставља се да је могуће да се око сваке тачке у некој равни може описати круг било којег пречника.
Претпоставља се да су сви прави углови међу собом подударни.
Ако се правом пресеку 2 праве, тако да граде унутрашње углове чији је збир мањи од збира 2 права угла, тада се те две праве секу са оне стране, са које се ти углови налазе.
После Еуклида јавља се у Грчкој низ истакнутих математичара:Архимед,Аполоније,Ератостен (3. век старе ере) и други, који су обогатили геометрију новим открићима.[26]
Распад античког робовласничког уређења довео је до застоја у развоју геометрије у Грчкој, али се она и даље развијала у земљама арапскогИстока, усредњој Азији иИндији.
Настанак капитализма у Европи је довео до новог, трећег периода развоја геометрије. У првој половини XVII века настала јеаналитичка геометрија,[27][28] чији су творци билиДекарт иФерма. Аналитичка геометрија изучава својства геометријских фигура на основу њихових алгебарских једначина, ослањајући се на координатни метод. У вези с развојем диференцијалног рачуна и испитивањем геометријских својстава фигура локалног карактера (у околини дате тачке) поникла је у XVIII векудиференцијална геометрија у делимаОјлера иМонжа.
Радовима Ж.Дезарга и Б.Паскала рађа се у првој половини XVII векапројективна геометрија, која је настала у почетку при изучавању представа перспективе и после тога се развијала при изучавању оних својстава фигура које се не мењају ако се фигуре пројектују с једне равни на другу из било које тачке простора (централна пројекција), и на крају била завршена радовима Ж.Понселеа.
Четврти период развоја геометрије обележен је изградњомнееуклидских геометрија од којих је прва билагеометрија Лобачевског коју је Лобачевски изградио истражујући основе геометрије, и посебно,аксиоме о паралелним правама. Садржај своје геометрије Лобачевски је први пут изнео на седници физико-математичког факултета Казанског универзитета 1826. године. Рад је био публикован 1829. године. Мађарски математичарЈанош Бојаи је публиковао рад о истом овом питању, у мање развијеној форми, 1832. године. Од настанка геометрије Лобачевског улогааксиоматског метода у математици уопште и у геометрији посебно постала је веома значајна. Еуклидова геометрија (обична елементарна геометрија која се изучава у школи) је после тога добила такође своју аксиоматску основу.
Историчари природних наука још увек нису решили дилему да ли јеспецијална релативност зачета у данас чувеномАјнштајновом чланку из 1905. године, или је постојала и раније у радовимаХендрика Лоренца иАнрија Поенкареа. У ствари појам „одговарајућих стања“ који Лоренц користи у свом чланку из 1904. у много чему је претеча релативистичких идеја, мада се још увек ослања на бесмислени појаметра. Међутим, међуисторичарима има веома мало дилема око тврдње да је Ајнштајн скоро потпуно сам створио Општу теорију релативности. Исто тако може се рећи да корени ове теорије леже у далекосежним геометријским истраживањимаБернарда Римана, који је са своје стране био инспирисанГаусовим деломDisquistiones generales circa superficies curvas, о диференцијалној геометрији закривљених површи. Главна тема у Општој теорији релативности је да присуствоматерије утиче на геометрију простора, који, услед тога престаје да буде еуклидски. Ајнштајн је имао претходнике који су имали чудне, снажне слутње о будућем току развојанауке. Риман се једно време поигравао идејом да је реални простор закривљен. Познати физичар и физиологХерман фон Хелмхолц истраживао је физичке аспекте Риманове теорије, и поставио је, на основуастрономских посматрања, границе могућезакривљености простора. ГеометарВилијам Кингдон Клифорд замишљао је материју каоталасање у закривљеном простору. Многе његове идеје касније су се поново појавиле у општој релативности. Сви ови покушаји, колико год да буду бриљантни, били су преурањени. Физичарима је недостајао појам просторно-временске вишеструкости, а такође није била схваћена кључна улогаелектродинамике. Потпуно стварање релативистичке теорије гравитације десило се тек на крају Првог светског рата.
Ајнштајн није лако дошао до крајњих резултата. Биле су му потребне године интелектуалних лутања док је открио обликједначина поља. Неки од његових најбољих колега и пријатеља су чак сматрали да је „скренуо“, занет неком неостварљивом фантазијом. Може се претпоставити да га јепринцип еквивалентности интересовао чак 1911. године. Кад се вратио изПрага уЦирих, 1912. године, срео јеМарсела Гросмана и почео да проучава Гаусове криволинијске координате и њихова уопштења. Преко Гросмана упознао је иапсолутни диференцијални рачун, који су развилииталијанскиматематичариГрегорио Ричи иТулио Леви - Чивита (G. Ricci, T. Levi - Civita). Из историјских извора је познато да јеЛуиђи Бијанки, веома утицајна личност међу математичарима оног доба у Италији, био веомаскептичан критичар апсолутног диференцијалног рачуна, тако да је ова математичка техника стекла заслужено признање тек захваљујући развоју теорије релативности. После низа неуспешних покушаја, коначна верзија теорије била је завршена 1916. године, само годину дана пошто јеКарл Шварцшилд (K. Schwarzchild) нашаорешење једначина гравитационог поља које данас носи његово име. Спектакуларну потврду исправности, теорија је добила 1919. године, када је једна експедиција наПринчево острво (Prince Island), под вођствомЕдингтона, приликом посматрањапомрачења Сунца успела да измери скретање светлосних зрака угравитационом пољу Сунца.
Данас геометрија садржи многобројне геометрије и теорије, између којих нема тачних граница. При томе се поједине геометријске теорије уско преплићу санализом (диференцијална геометрија), с теоријом скупова (теорија скупова тачака,топологија). Свака геометрија се разликује од друге према томе какав простор изучава (Еуклидов, Лобачевсковљев), каквим методама се служи (на пример, Аналитичка теорија кривих 2. реда уАналитичкој геометрији, или чисто геометријска, синтетичка теорија кривих 2. реда уСинтетичкој геометрији), какве објекте (фигуре) или њихова својства изучава (на пример, могу се разматратиполиедри и њихова својства,криве иповрши, итд). Питањаметрике (мерење дужина, углова и површина) доводе до појмаметричке геометрије, док питања инциденције (припадања, распореда) доводе до појма геометрије положаја, тј.Пројективна геометрија.
Питања о основама геометрије доводе до одељка елементарна геометрије, која изучава њене логичке основе, њену аксиоматику и устројство. Ова научна дисциплина се називаОснове геометрије.
Свака од геометрија може се окарактерисати (дефинисати), по предлогуКлајна (вд.Ерлангенски програм), одговарајућомгрупом оних трансформација које она изучава. Тако се елементарна геометрија карактерише групом Еуклидових кретања, афина - групом афиних трансформација, пројективна - групом свих колинеација (пројективних трансформација)
^Euclid's Elements – All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation.Euclid's Elements: All Thirteen Books Complete in One Volume : The Thomas L. Heath Translation. Green Lion Press. 2002.ISBN978-1-888009-18-7.
^Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002).„A coherent curriculum”.American Educator.26 (2): 1—18.CS1 одржавање: Вишеструка имена: списак аутора (веза).
^Buekenhout, Francis (1995),Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations, Elsevier B.V.
^J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
^Depuydt, Leo (1. 1. 1998). „Gnomons at Meroë and Early Trigonometry”.The Journal of Egyptian Archaeology.84: 171—180.JSTOR3822211.doi:10.2307/3822211.
^Fritz, Kurt Von (1945). „The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum”.The Annals of Mathematics.46 (2): 242—264.JSTOR1969021.doi:10.2307/1969021.
^Choike (1980). „The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number”.The Two-Year College Mathematics Journal.11 (5): 312—316.JSTOR3026893.doi:10.2307/3026893.
^Boyer 1991, "The Age of Plato and Aristotle" p. 92
Nikolai I. Lobachevsky,Pangeometry, translator and editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
