Вероватноћа јеквантификација очекивања да ће се некидогађај десити.[1]Теорија вероватноће квантификује вероватне догађаје.[2] Вероватноћа се изражава бројем између 0 и 1, где, слободно говорећи,[3] 0 указује на немогућност, а 1 указује на сигурност.[4][5] Што је већа вероватноћа једног догађаја, то је вероватније да ће доћи до догађаја. Једноставан пример је бацање (непристрасног) новчића. Пошто је кованица непристрасна, два исхода („глава“ и „реп“) су једнако вероватна; вероватноћа „главе“ једнака вероватноћи „репа“; и пошто ниједан други исход није могућ, вероватноћа било које „главе“ или „репа“ је 1/2 (што би такође могло бити написано као 0,5 или 50%).
Када се користеексперименти који суслучајни идобро дефинисани у чисто теоретском окружењу (попут бацања новчића), вероватноће могу да буду нумерички описане бројем жељених исхода подељеним укупним бројем свих исхода. На пример, бацање новчића два пута може да произведе „глава-глава”, „глава-реп”, „реп-глава”, и „реп-реп” исходе. Вероватноћа добијања исхода „глава-глава” је 1 од 4 исхода или 1/4 или 0,25 (или 25%). У погледу практичних примена разликују се две главне конкурентне категоријетумачења вероватноће, чији припадници поседују различита гледишта о основној природи вероватноће:
Објективисти додељују бројеве ради описивања неког објективног или физичког стања ствари. Најпопуларнија верзија објективне вероватноће јефреквентна вероватноћа, која тврди да вероватноћа случајног догађаја означаварелативну учесталост појаве исхода експеримента, при понављању експеримента. Ово тумачење сматра да је вероватноћа релативна „дугорочна” учесталост исхода.[7] Модификација овога јевероватноћа склоности, која интерпретира вероватноћу као тенденцију неког експеримента да произведе известан исход, чак и кад се изведе само једном.
Субјективисти додељују бројеве по субјективној вероватноћи, тј., као степен веровања.[8] Степен веровања се интерпретира као „цена по којој бисте купили или продали опкладу која плаћа 1 јединицу корисности ако је Е, 0 ако није Е.”[9] Најпопуларнија верзија субјективне вероватноће јеБајесова вероватноћа, који укључује стручно знање као и експерименталне податке при евалуацији вероватноће. Стручно знање се представља путем неке (субјективне) дистрибуцијепретходне вероватноће. Ови подаци се инкорпорирају уфункцију вероватноће. Нормализовани производ претходне и садашње вероватноће резултира у дистрибуцијипостериорне вероватноће која инкорпорира све информације које су до сада познате.[10] Прематеореми Ауманове сагласности, Бајесови утицаји чија претходна веровања су слична, производе слична постериорна веровања. Међутим, знатно различита претходна веровања могу да доведу до различитих закључака независно од тога колико информација ти утицаја деле.[11]
Научно изучавање вероватноће је модерни развој у математици.Коцкање показује да је већ миленијумима постојао знатан интерес за квантификацију идеја вероватноће, али су прецизни математички описи настали знатно касније. Постоје разлози за спор развој математике вероватноће. Док су игре на срећу пружиле импетус за математичке студије вероватноће, фундаментална питања су остала нејасна због сујеверја коцкара.[12]
ПремаРичарду Џефрију, „пре средине седамнаестог века, термин „вероватан” (латинскиprobabilis) је значиопотврдив, и примењивао се у том смислу, недвосмислено, на мишљења и на дела. Вероватно дело или мишљење је било оно које би разумни људи предузели или држали, у датим ситуацијама.”[13] Међутим, специфично у правном контекстима, 'вероватно' је исто тако могло да се односи на пропозиције за које постоје добри докази.[14]
Шеснаестовековнииталијански полиматЂироламо Кардано је демонстрирао ефикасност дефинисањашанси као однос повољних и неповољних исхода (што подразумева да је вероватноћа догађаја дата односом повољних исхода и укупног броја могућих исхода[15]). Наука о вероватноћи датира од препискеПјера Ферма иБлез Паскала из1654. године, а за њено заснивање заслужан је иАнтоан Гомбо.Кристијан Хајгенс се од1657. године први посветио изучавању ове области и са његовим резултатима вероватноћа је добила научни карактер.[16] Вероватноћа се као гранаматематике третира од временаЈакоба Бернулија и његовог постхумно објављеног радаArs Conjectandi1713, иАбрахама де Муара у његовојДоктрини случајности издатој1718.[17] Додатне информације су доступне у делуИјана ХакингаПојава вероватноће[18] и радуЏејмса ФренклинаНаука о претпоставкама,[19] који се баве историјама раног развоја самог концепта математичке вероватноће.
Теорија грешака датира још из радаРоџера КотесаOpera Miscellanea (постхумно објављеног 1722. године), док је мемоаре припремиоТомас Симпсон 1755. године (објављене 1756). Котес је први применио теорију у дискусији грешака опсервација. У поновном издању (1757) тих мемоара су положени аксиоми према којима су позитивне и негативне грешке једнако вероватне, и да одређени приписиви лимити дефинишу опсег свих грешака. Симпсон је исто тако дискутовао континуиране грешке и описао вероватноћу криве.
Прва два закона грешке је формулисаоПјер Симон Лаплас. Први закон је објављен 1774. године, и према њему се фреквенција грешке може изразити као експоненцијална функција нумеричке величине грешке, без обзира на знак. Други закон грешке је Лаплас предложио 1778. године, и према њему је фреквенција грешке експоненцијална функција квадрата грешке.[20] Други закон грешке се назива нормалном дистрибуцијом или Гаусовим законом. „Тешко је историјски приписати тај закон Гаусу, који упркос своје добре познате ране зрелости, вероватно није направио ово откриће пре него што је имао две године.”[20]
Данијел Бернули (1778) увео је принцип максималног производа вероватноћа система истовремених грешака.
Адријен-Мари Лежандр (1805) развио јеметод најмањих квадрата, а увео је тај метод у свом радуNouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Нови методи за одређивање орбита комета).[21] Упркос Лежандровог доприноса, један ирско-амерички писац,Роберт Адријан, едитор часописа „The Analyst” (1808), први је извео закон о грешци,
где је константа која зависи од прецизности опсервације, и је фактор величине који осигурава да је површина испод криве једнака јединици. Он је дао два доказа, други од којих је есенцијално био исти каоЏон Хершелов (1850).Гаус је дао први доказ који изгледа да је био познат у Европи (трећи након Адрајановог) 1809. године. Даље доказе су дали Лаплас (1810, 1812), Гаус (1823),Џејмс Ајвори (1825, 1826), Хејген (1837),Фридрих Бесел (1838),Донкин (1844, 1856), иКрофтон (1870). Додатне доприносе су направили Елис (1844),Де Морган (1864),Глејшер (1872), иЂовани Скјапарели (1875).Петерсова (1856) формула заr,вероватну грешку појединачне опсервације, је добро позната.
Попут другихтеорија,теорија вероватноће представља своје концепте у формалном смислу — т.ј. у виду термина који се могу разматрати одвојено од њиховог значења. Такви формални термини се манипулишу правилима математике и логике, и сви резултати се интерпретирају и транслирају назад у домен проблема.
Постоје су бар два успешна покушаја формализације вероватноће, наимеКолмогорова формулација иКоксова формулација. У Колмогоровој формулацији (погледајтепростор вероватноће),скупови се интерпретирају каодогађаји, а сама вероватноћа каомера на класи скупа. УКоксовој теореми, вероватноћа се узима као полазна тачка (другим речима не анализира се даље) и нагласак се ставља на конструисање доследног додељивања вредности вероватноћа пропозицијама. У оба случаја,закони вероватноће су исти, изузев техничких детаља.
Постоје и друге методе квантификације неизвесности, као што јеТеорија Демпстера — Шафера илитеорија могућности, али оне су есенцијално различите и нису компатибилне са законима вероватноће као што се обично схватају.
Добар пример примене теорије вероватноће у трговању акцијама је утицај перципиране вероватноће било каквог широко распрострањеног сукоба на Блиском истоку на цене нафте, што има далекосежне утицаје на економију као целину. Процена робног трговца да је рат вероватнији може да узрокује пораст или пад цена робе, и да буде сигнал другим трговцима са сличним становиштем. Сходно томе, вероватноће се не процењују независно, нити су нужно веома рационалне. Теоријабихевиоралних финансија је формулисана да би се описао ефекат таквоггрупног размишљања на одређивање цена, на политику, и на мир и конфликте.[25]
Поред финансијских процена, вероватноћа се користити у анализи трендова у биологији (нпр. ширење болести[26][27]), као и у екологији (нпр. биолошки Панетови квадрати[28][29]). Као и у финансијама, процена ризика може да буде корисна као статистичко оруђе за израчунавање вероватноће настанка нежељених догађаја и може да помогне у имплементацији протокола за избегавање таквих ситуација. Вероватноћа се користи при дизајнуигара на срећу, тако да касина могу да остваре гарантоване профите, уз истовремено обезбеђивање исплата играчима које су довољно честе да подстичу континуирану игру.[30]
Откриће ригорозних метода за процену и комбиновање процена вероватноће је изменило друштво.[31] За већину грађана је важно да разумеју како се процене вероватноће врше, и како они могу да допринесу одлукама.[31]
Још једна значајна примена теорије вероватноће у свакодневном животу јепоузданост.[32][33] При изради многих потрошачких производа, као што суаутомобили и потрошачка електроника, користи се теорија поузданости у дизајну производа да би се редуковала вероватноћа кварова. Вероватноћа кварова може да утиче на одлуке произвођача у погледугаранција производа.[34]
Као и друге теорије,теорија вероватноће је опис концепта у формалним терминима, односно терминима који се посматрају одвојено од њиховог значења. Овим формалним терминима управљају правила математике и логике и резултати се тумаче и преносе и у том објашњеном облику враћају у област оквирне теорије.
Постоје најмање два успешна системааксиома вероватноће, два успешна покушаја да се формализује вероватноћа, који су названиКолмогорова формулација и Коксова формулација.У оба случаја закони вероватноће су исти, са малом разликом у техничким детаљима:
. Вероватноћа је број између 0 и 1;
. Збир вероватноћа да ће се посматрани догађај догодити, и да се он неће догодити износи 1;
. Вероватноћа да ће се нека два догађаја догодити је једнака производу вероватноће једног од њих и вероватноће другог при услову да се први већ догодио;
. Вероватноћа немогућег догађаја;
. У једном потпуном систему догађаја је њихов производ вероватноће једнак 1.
Преглед вероватноћа
Догађај
Вероватноћа
A
A супротно
A или B
A и B
А условно Б
Представљање и интерпретација вредности у вероватноћи
Вероватноћа догађаја се представља као реалан број између 0 и 1.Немогућ догађај има вероватноћу 0, асигуран догађај има вероватноћу 1. У случају да је једнака вероватноћа да ће се догађаји догодити, као и да неће, вероватноћа је 0,5.
Расподела вероватноће јефункција која додељује вероватноће елементима некогскупа. Расподела једискретна ако је тај скуп пребројив (најчешћеподскуп скупаприродних бројева), анепрекидна ако је функција расподеле дефинисана на неком коначном или бесконачном интервалу скупареалних бројева и непрекидна на њему. Скоро све расподеле од практичне важности су или дискретне или непрекидне.
^Строго говорећи, вероватноћа од 0 указује на то да се догађајскоро никад не догађа, док вероватноћа од 1 указује на то да се догађајготово сигурно збива. Ово је важна разлика када јепростор елементарних исхода бесконачан. На пример, зауниформну расподелу нареалном интервалу [5, 10], постоји бесконачан број могућих исхода, а вероватноћа било којег исхода да се испољи - на пример, тачно 7 - је 0. То значи да када се направи опсервација, она ћескоро сигурно неће бити тачно 7. Међутим, тоне значи да је тачно 7 немогуће. Ултиматно неки специфични исход (са вероватноћом 0) биће уочен, и једна од могућности за тај специфичан исход је тачно 7.
^"Kendall's Advanced Theory of Statistics, Volume 1: Distribution Theory", Alan Stuart and Keith Ord.Casella, George; Berger, Roger L. (2009).Statistical Inference (6th изд.). Thomson Learning.ISBN9780534243128.
^William Feller (1968).An Introduction to Probability Theory and Its Applications.1 (3rd изд.). Wiley.ISBN978-0-471-25708-0.
^Finetti, Bruno de (1970). „Logical foundations and measurement of subjective probability”.Acta Psychologica.34: 129—145.doi:10.1016/0001-6918(70)90012-0.
^Hájek, Alan (2012).„Interpretations of Probability”.The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.). Приступљено22. 4. 2013.
^Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004).Introduction to Mathematical Statistics (6th изд.). Upper Saddle River: Pearson.ISBN978-0-13-008507-8.
^Seneta, Eugene William.„"Adrien-Marie Legendre" (version 9)”.StatProb: The Encyclopedia Sponsored by Statistics and Probability Societies. Архивирано изоригинала 3. 2. 2016. г. Приступљено27. 1. 2016.
Jeffrey, R.C. (1992).Probability and the Art of Judgment. Cambridge University. стр. 54—55.ISBN978-0-521-39459-8.
Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004).Introduction to Mathematical Statistics (6th изд.). Upper Saddle River: Pearson.ISBN978-0-13-008507-8.
Rosenthal, Jacob (2004).Wahrscheinlichkeiten als Tendenzen. Eine Untersuchung objektiver Wahrscheinlichkeitsbegriffe. Mentis, Paderborn.ISBN978-3-89785-373-7.
Barnett, Vic (1999).Comparative Statistical Inference. Chichester: John Willey & Sons.ISBN978-0-471-97643-1.
Edwin Thompson Jaynes.Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). --HTMLАрхивирано на веб-сајтуWayback Machine (19. јануар 2016) andPDF
