Дефиницијааксиоме,аксиома илипостулата потиче из традиционалнелогике и дефинише се као пропозиција која није доказана.[1][2] Аксиом је логички израз за који се сматра да је тачан.[3] Његова истинитост се подразумева и он служи као почетна тачка за даљудедукцију и инференцију. Свака развијена теорија мора бити аксиоматски систематизована.
Термин има суптилне разлике у дефиницији када се користи у контексту различитих области студија. Као што је дефинисано укласичној филозофији, аксиом је изјава која је толикоочигледна или добро утврђена, да је прихваћена без контроверзи или питања.[4] Како се користи у модернојлогици, аксиом је премиса или полазна тачка за расуђивање.[5]
Како се користи уматематици, терминаксиом се користи у два сродна, али различита значења: „логички аксиоми” и „нелогички аксиоми”. Логички аксиоми су обично искази који се сматрају тачним у оквиру логичког система који они дефинишу и често се приказују у симболичком облику (нпр. (A иB) имплицирајуA), док нелогички аксиоми (нпр.a +b =b +a) заправо су суштинске тврдње о елементима домена одређене математичке теорије (као што јеаритметика).
Када се користи у другом смислу, „аксиом”, „постулат” и „претпоставка” могу се користити наизменично. У већини случајева, нелогички аксиом је једноставно формални логички израз који се користи у дедукцији за изградњу математичке теорије и може, али и не мора бити очигледан по природи (нпр.паралелни постулат уЕуклидској геометрији). Аксиоматизовати систем знања значи показати да се његове тврдње могу извести из малог, добро схваћеног скупа реченица (аксиома), и може постојати више начина да се аксиоматизује дати математички домен.
Сваки аксиом је изјава која служи као полазна тачка из које се логички изводе други искази. Да ли је то смислено (и, ако јесте, шта то значи) да је аксиом „истинит”, предмет је дебате уфилозофији математике.[6]
Речаксиом потиче одгрчке речиἀξίωμα (axíōma),глаголске именице од глаголаἀξιόειν (axioein), што значи „сматрати достојним“, али и „захтевати“, што заузврат потиче одἄξιος (áxios), што значи „бити у равнотежи“, па отуда „имати (исту) вредност (као)“, „достојан“, „исправан“. Међудревним грчкимфилозофима аксиом је био тврдња за коју се могло видети да је очигледно истинита без потребе за доказом.[7]
Коренско значење речипостулат је „захтевати“; на пример,Еуклид захтева да се читалац сложи да се неке ствари могу урадити (нпр. било које две тачке могу бити спојене правом линијом).[8]
Древни геометри су одржавали одређену разлику између аксиома и постулата. Коментаришући Еуклидове књиге,Прокло напомиње да је „Гемин сматрао да овај [4.] постулат не треба класификовати као постулат већ као аксиом, пошто он, за разлику од прва три постулата, не потврђује могућност неке конструкције, већ изражава суштинско својство.“[9]Боетије је превео „постулат“ каоpetitio и назвао аксиомеnotiones communes, али у каснијим рукописима ова употреба није увек била стриктно подржана.
Логичко-дедуктивни метод у коме закључци (ново знање) следе из премиса (старог знања) кроз примену чврстих аргумената (силогизама,правила закључивања) развили су стари Грци и постао је основни принцип модерне математике. Изузевтаутологија, ништа се не може закључити ако се ништа не претпоставља. Аксиоми и постулати су стога основне претпоставке на којима се заснива дато тело дедуктивног знања. Они се прихватају без демонстрације. Све остале тврдње (теореме, у случају математике) морају се доказати уз помоћ ових основних претпоставки. Међутим, тумачење математичког знања се променило од древних времена до модерног, и стога термини аксиом и постулат имају нешто другачије значење за данашњег математичара него што су имали заАристотела иЕуклида.[7]
Стари Грци сугеометрију сматрали само једном од неколиконаука и држали су теореме геометрије у рангу са научним чињеницама. Стога су они развили и користили логичко-дедуктивну методу као средство за избегавање грешака, као и за структурирање и преношење знања. Аристотеловапостериорна аналитика је дефинитивно излагање класичног погледа.
„Аксиом”, у класичној терминологији, односио се на очигледну претпоставку заједничку за многе гране науке. Добар пример би била тврдња да
Када се од једнаких узме једнак износ, добија се једнак износ.
У темељу различитих наука лежале су одређене додатнехипотезе које су прихватане без доказа. Таква хипотеза је названапостулат. Док су аксиоми били заједнички за многе науке, постулати сваке поједине науке су били различити. Њихова валидност је морала бити утврђена путем искуства из стварног света. Аристотел упозорава да се садржај науке не може успешно пренети ако је ученик у недоумици у погледу истинитости постулата.[10]
Први зачеци аксиоматизовања геометрије налазе се већ кодЕуклида око 300. године п. н. е., да би јеХилберт крајем 19. века потпуно аксиоматизовао. У расправи ο аксиоматском уобличавању геометрије, спорна је билааксиома паралелности, која гласи: „Ако јеа права, аΡ тачка која не лежи наа, тада у равни у којој лежеа иΡ постоји тачно једна права крозΡ паралелна са правома .“
Иако ју је Еуклид формулисао као пету и последњу аксиому, с обзиром на изразиту разлику у односу на претходне четири, годинама је покушавано доказивање њеног тврђења из претходне четири аксиоме које данас спадају уАпсолутну геометрију. Придруживањем пете аксиоме Апсолутној геометрији, добија сеЕуклидска геометрија, а придруживањем њене негације, добијају сенееуклидске геометрије.
Први покушаји да селогика формулише као аксиоматски систем потичу одЛајбница. Суштински помаци су и овде, као и у области математике, били учињени од друге половине 19. века, уз значајне доприносеФрегеа иХилберта.
У току модерног развоја постепено је почео да се мења смисао „аксиоме“. За избор одређених ставова као аксиома неке теорије, не узима се само степен њихове очигледности, већ се за аксиоме узимају ставови од којих је могуће што једноставније извести истините исказе теорије.
Истовремено са добијањем новог значења аксиоме, започело се на формулацији аксиоматских система у коме се ставови аксиома тумаче искључиво на основу формално одређених рачуна.
По узору на геометрију, предузети су покушаји да се и филозофске теорије дефинишу као аксиоматски системи, попут математичких теорија. Познато је да јеСпиноза на овај начин (more geometrico) покушао да представиетику.
У емпиријским наукама, посебно у физици, под аксиомама се обично означавају веома уопштени ставови који су потврђени искуством са јако великом вероватноћом. Неке од најпознатијих тако дефинисаних аксиома суњутнове аксиоме механике.
^Cf. axiom, n., etymology.Oxford English Dictionary, accessed 2012-04-28.
^Oxford American College Dictionary: "n. a statement or proposition that is regarded as being established, accepted, or self-evidently true. ORIGIN: late 15th cent.: ultimately from Greek axiōma 'what is thought fitting,' from axios 'worthy.'
^"A proposition that commends itself to general acceptance; a well-established or universally conceded principle; a maxim, rule, law" axiom, n., definition 1a.Oxford English Dictionary Online, accessed 2012-04-28. Cf. Aristotle,Posterior Analytics I.2.72a18-b4.
^"A proposition (whether true or false)" axiom, n., definition 2.Oxford English Dictionary Online, accessed 2012-04-28.
^Wolff, P.Breakthroughs in Mathematics, 1963, New York: New American Library, pp 47–48
^Heath, T. 1956. The Thirteen Books of Euclid's Elements. New York: Dover.p 200
^Aristotle, Metaphysics Bk IV, Chapter 3, 1005b "Physics also is a kind of Wisdom, but it is not the first kind. – And the attempts of some of those who discuss the terms on which truth should be accepted, are due to want of training in logic; for they should know these things already when they come to a special study, and not be inquiring into them while they are listening to lectures on it." W.D. Ross translation, in The Basic Works of Aristotle, ed. Richard McKeon, (Random House, New York, 1941)
