Клајнови родитељи били суПруси, његов отац био јепруски државни чиновник на служби уРајнленду.[2] Он је похађао гимназију уДиселдорфу, затим студирао математику и физику наУниверзитету Бон,1865 —1866, намеравајући да постанефизичар.[3] У то времеЈулијус Плакер држао је на Универзитету Бон катедру за математику и експерименталну физику, али у време када Клајн постаје његов асистент, 1866, Плакеров превасходни интерес била је геометрија. Клајн је, под Плакеровим менторством, одбранио свој докторат на универзитету Бон,1868. године.
Јулијус Плакер умро је1868, остављајући своју књигу о основама линеарне геометрије недовршеном. Клајн је, очигледно, био најпогоднија особа која би могла да доврши ПлакеровуНеуе Геометрие дес Раумес, ради чега је упознат са Клебшом (Цлебсцх), који је прешао на Гетинген 1868. Клајн посећује Клебша следеће године, истовремено са посетамаБерлину иПаризу. Клајн је био у Паризу јула1670. кадаБизмарк објављује своју поруку са намером да испровоцираФранцуску да објави ратПруској. Чим је Француска то и учинила, Клајн хитно напушта Париз. За једно кратко време, он служи у немачкој војсци као болничар, пре него што ће постатидоцент на универзитету Гетинген у првој половини1871. године.
Ерлангенски универзитет поставља Клајна за професора1872, када је он имао само 23 године. У овоме он је био снажно подржан од Клебша, који је у њему већ видео водећег математичара њиховог времена. Због малог броја студената уЕрлангену, свега неколико, Клајн је имао проблема да заснује своју школу математике на том универзитету, тако да се веома обрадовао понуди да преузме катедру на универзитету уМинхену (Муницх'с Тецхнисцхе Хоцхсцхуле) 1875. Ту су он и Брил држали наставу из напредних курсева многим изврсним студентима као што су Адолф Хурвиц, ван Дајк, Рон, Карл Рунге,Макс Планк,Луиђи Бијанки иГрегорио Ричи.
Године 1875. Клајн се оженио са Аном Хегел (Анне Хегел), унуком чувеног филозофаГеорга Фридриха Хегела.
После пет година проведених на Тецхнисцхе Хоцхсцхуле, Клајн се запошљава као шеф катедре за геометрију уЛајпцигу. Тамо су му колеге били, између осталих, ван Дајк, Рон, Стади и Енгел. Године проведене у Лајпцигу, од 1880. до 1886, из основа су промениле његов живот. У 1882. његово здравље је оронуло, а од 1883-1884. био је измучен депресијом.
Његова каријера математичара истраживача била је суштински завршена, када Клајн прихвата катедру наУниверзитету Гетинген1886. Од тада па све до његовог пензионисања1913, он тежи да од Гетингена поново начини један светски водећи истраживачки центар. Ипак после преласка из Лајпцига у Гетинген, он никада више није повратио своју властиту улогу водећег математичара (геометра) у свету. На Гетингену он подучава мноштво разноликих курсева, углавном оне који су на граници између математике и физике, као што сумеханика или теоријапотенцијала. Истраживачки центар који је Клајн установио на Гетингену служио је касније као модел за све најбоље центре ове врсте у целом свету. Он уводи недељне дискусионе састанке, и ствара математичку читаоницу и библиотеку. 1895. године Клајн запошљаваХилберта (пребацује га из Кенигсберга на Гетинген). Ово постављење показаће се судбоносним, јер Хилберт успева да настави славу Гетингена све до свог сопственог пензионисања1932. године.
Под Клајновим уредништвом „Математички анали” (Mathematische Annalen) постаће један од најбољих математичких часописа на свету. Мада их је основао Клебш, они ће надмашити свога првог ривала “Крелов часопис” (Crelle's journal), тек под Клајновим вођством. Клајн је поставио мали тимуредника који се редовно састају и доносе одлуке по демократском принципу. Часопис се специјализовао укомплексној анализи и алгебарској геометрији, као и у теоријиинваријаната (све док Хилберт није укинуо ову тему). Он је такође отворио један важан нови прилаз реалној анализи и новој теорији група.
Захваљујући делом и Клајновим напорима, Гетинген почиње да прима и жене, 1893. године. Он надгледа прву докторску тезу из математике на Гетингену коју је написала једна жена; била је то енглеска студенткињаАртур Кејли, којој се Клајн дивио.
Негде око1900, Клајн почиње да се интересује и за наставу математике ушколама. У1905. години, он одиграва одлучујућу улогу у формулацијунаставног плана, који препоручује да се основидиференцијалног и интегралног рачуна подучавају и усредњим школама. Ова препорука је постепено увођена у многим земљама широмсвета. Године1908, Клајн је изабран за председника Интернационалне комисије за наставу математике на Римском међународном конгресу математичара. Под његовим вођством, Немачки огранак комисије објавио је многобројана издања на тему подучавања математике на свим школским нивоима уНемачкој.
Клајнова дисертација излинеарне геометрије и њене примене на механику класификује линеарне комлексе другог степена користећиВајерштрасову теорију елементарнихделилаца.
Клајново прво значајно математичко откриће учињено је1870. У сарадњи саСофус Ли, он открива основна својстваасимптотских линија у Кумеровом простору. Они покушавају да истраже W-криве, односно криве инваријантне у односу на групу пројективних трансформација. Ли је био тај који упознаје Клајна са концептом група, које играју главну улогу у његовом каснијем раду. Клајн такође учи о групама и од Јордана.
Клајн откриваКлајнову боцу, названу по њему, која представља једнострано затворену површину која не може да се конструише уЕуклидском простору. Најлакше ју је замислити каоваљак савијен уназад кроз себе самог тако да се саставља са својим другим крајем. Ово није непрекидна површина у тродимензионалном простору, пошто површина не може да пролази кроз саму себе бездисконтинуитета. Могуће је, међутим, конструисати Клајнову боцу уНееуклидском простору.
У 1890. години Клајн залази у областматематичке физике, тему од које се он никада није много ни удаљавао, пишући о жироскопу заједно са АрнолдомЗомерфелдом. Напоредо с тим, он помаже уређивање (са К. Милером) четири тома механике уЕнцyклопедие дер Матхематисцхен Wиссенсцхафтен.
Године 1871, док је био у Гетингену, Клајн је дошао до свога главног открића у геометрији. Он објављује два рада "О такозваној Нееуклидској геометрији" доказујући даЕуклидска иНееуклидска геометрија могу да се схвате као специјални случајеви пројективних површина са придруженим специфичнимконусним пресецима. Овим он долази до вредне последице да је Нееуклидска геометрија конзистентна и непротивречна само ако и Еуклидска геометрија то јесте, постављајући Еуклидску и Нееуклидску геометрију на исту основу, и тако окончавајући све недоумице око Нееуклидске геометрије. Кејли никада није прихватио Клајнов аргумент, верујући да се ради о доказу типа циркулус вициозус (коришћење у доказивању онога што тек треба доказати)
Клајнова синтеза геометрије, која је произашла из његове студије својстава простора који је инваријантан на дате групе трансформација, позната је каоЕрлангенски програм (1872) и дубински је утицала на еволуцију математике. Овај програм заснован је у току Клајнове приступне беседе поводом његовог постављења на Ерлангенском универзитету. На почетку Ерлангенског програма разматрајући случај Еуклидске геометрије Клајн Каже:
"Најосновнији појам неопходан за даље излагање је појам групепросторних трансформација...Постоје такве просторне трансформације које уопште не мењају геометријске особине просторних ликова. Геометријске особине, по самој дефиницији, не зависе од положаја у простору који заузима проучавани лик, од његове апсолутне величине и на крају од оријентације распореда његових делова. Особине просторног лика не мењају се просторним кретањем, пресликавањем (у огледалу) и свим другим трансформацијама које се из њих могу саставити.Скуп свих трансформација називамоглавном групом просторних трансформација; геометријске особине не зависе од трансформација из главне групе и, обрнуто, могло би се рећи да се геометријске особине управо и карактеришу њиховом непроменљивошћу (инваријантношћу) у односу на трансформације главне групе."
Као што видимо, дакле, Клајн показује у своме Ерлангенском програму да суштинске особине дате геометрије могу да се представе помоћу група трансформација које очувавају те особине.
"Програм", према томе, предлаже јединствени приступ геометрији који постаје и остаје широко прихваћен до данашњих дана, а осим тога, "програмске" дефиниције обухватају заједно и Еуклидску и Нееуклидску геометрију.
Такође, важно је напоменути да се у оквиру Клајнове школе "Програм" проширује и на законе физике. НајпреХамел (Георг Хамел) успоставља везу између закона одржања физичких величина и основних симетрија простора и времена. Међутим овај рад остаће дуго потпуно непознат физичарима. Али, једна од најкреативнијих математичарки свих времена,Еми Нетер (Еммy Ноетхер), 14 година касније доказаће да свакој непрекиднојтрансформацији координата, за коју је варијација дејства једнака нули, одговара одређени инваријант, односно одређенизакон одржања динамичких, физичких, величина.
Након штоПоенкаре1905. уводи групуЛоренцових трансформација, веза између инваријаната исиметрија простора и времена постаје од изузетног значаја и заАјнштајновутеорију релативности, до чије појаве долази исте године.Иначе, за Ајнштајна је инваријантност основни и неопходни услов ваљаности неке физичке теорије. Такође, веза између закона одржања физичких величина и симетрија простора и времена добиће на значају током настанка и развојаатомске-квантне физике, када долази до појаве нових закона одржања, који раније нису били предвиђениКласичном механиком.
Данас је значај Клајнових доприноса геометрији мање видљив, али не зато што је тај допринос сада виђен као стран или нетачан. Напротив, овај допринос је постао толико много део нашег постојећег математичког знања да је тешко данас процењивати његову оригиналност,као и начин на који он није одмах био прихваћен од свих његових савременика.
Клајн је показао да је модуларна група померила фундаментални регион комплексне површи као да прави мозаик од те површи. У 1879. он трага за акцијом ПСЛ(2,7), мислећи о њој као о слици модуларне групе, и намећући експлицитну репрезентацијуРиманове површи. Он показује да је површина крива у пројективном простору, и да је њена једначинаx3y + y3з + з3x = 0, а да њена групна симетрија ПСЛ(2,7) реда 168. Његова "Римановска теорија алгебарскихфункција и њихових интеграла (Риеманнс Тхеорие дер алгебраисцхен Функтионен унд ихре Интегралс) (1882) третира теорију функција у геометријском маниру, повезујући теорију потенцијала и конформалне трансформације (пројекције). Ова теорија извлачи неке назнаке из динамике флуида.
Клајн разматра једначине степена већег од 4, и посебно се интересује за коришћење трансцедентних метода за решавање општихједначина четвртог степена. Ослањајући се на методеХермитеа иКронекера, он производи сличне резултате до којих је дошао и Бриоши и покушава да потпуно реши овај проблем у смислу икосахедралних група. Овај рад наводи га да напише серију чланака о елиптичким модуларним функцијама.
У својој књизи о икосахедрону (1884), Клајн поставља теорију о аутоморфичним функцијама, повезујући алгебру и геометрију. Међутим и Анри Поенкаре објављује један извод из своје теорије аутоморфичних функција 1887, што доводи до пријатељског ривалства између ова два научника. Обојица теже да успоставе и докажу велику уједињујућу теорему која би служила као завршни камен дотадашњег развоја теорије. Клајн успева у формулисању овакве једне теореме и скицира стратегију за њено доказивање. Али док је радио на томе његов здравље је нагло ослабило, као што је поменуто у претходном тексту.
Клајн сумира свој рад на аутоморфичним функцијама и елиптичким модуларним функцијама у једној расправи у три тома, написаној заједно са Робертом Фриком у периоду од неких 20 година.
1887. "The arithmetizing of mathematics" in Ewald, William B., ed., 1996.From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Uni. Press: 965-71.
%2c_1902_Wellcome_M0007837.jpg)
