Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Shko te përmbajtja
Wikipediaenciklopedia e lirë
Kërko

Elipsi

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Një elips (e kuqe) i marrë si kryqëzim i njëkoni me një plan të pjerrët.
Elipsi: shënimevertex - kulmi ,focus - vatra,center - qendra,semi-minor axis - gjysëmboshti i vogël,semi-major axis - gjysëmboshti i madh
Elipsat: shembuj me jashtëqendërsi në rritje

Nëmatematikë, njëelips është një kurbë e rrafshët që rrethon dy pika vatrore, i tillë që për të gjitha pikat në kurbë, shuma e dy distancave me pikat vatrore është një konstante. Elipsi është përgjithësimi i njërrethi, i cili është lloj i veçantë i elipsit në të cilin dy vatrat janë të njëjta. Zgjatja e një elipsi matet me jashtëqendërsinëe{\displaystyle e}, një numër që varion ngae=0{\displaystyle e=0} ( rasti kufizues i një rrethi) nëe=1{\displaystyle e=1} (rasti kufizues i zgjatjes së pafundme, jo më një elips, por njëparabolë ).

Një elips ka një zgjidhje të thjeshtëalgjebrike për sipërfaqjen e tij dhe një pjese të tij, por vetëm përafërsi për perimetrin e tij, për të cilin kërkohet integrimnumerik për të marrë një zgjidhje të saktë.

Në mënyrë analitike, ekuacioni i një elipsi standard të përqendruar në origjinë me gjerësi2a{\displaystyle 2a} dhe lartësi2b{\displaystyle 2b} është:

x2a2+y2b2=1.{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

Duke supozuara≥b{\displaystyle a\geq b}, vatrat janë(±c,0){\displaystyle (\pm c,0)} përc=a2−b2{\textstyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}} . Ekuacioni standard parametrik është:

(x,y)=(acos⁡(t),bsin⁡(t))për0≤t≤2π.{\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\quad {\text{për}}\quad 0\leq t\leq 2\pi .}

Elipsi është lloji imbyllur iprerjeve konike : një kurbë e rrafshit që gjurmon prerjen e një koni me një plan (shih figurën). Elipsat kanë shumë ngjashmëri me dy format e tjera të seksioneve konike, parabolat dhe hiperbolat, të cilat të dyja janë tëhapura dhe të pakufizuara . Një prerje e tërthortë i pjerrët i njëcilindri është gjithashtu një elips.

Elipsat janë të zakonshme nëfizikë,astronomi dheinxhinieri . Për shembull, orbita e secilit planet nëSistemin Diellor është përafërsisht një elips me Diellin në një pikë vatrore. E njëjta gjë vlen dhe për hënat që rrotullohen rreth planeteve dhe të gjitha sistemet e tjera të dy trupave astronomikë. Format e planetëve dhe yjeve shpesh përshkruhen mirë ngaelipsoidët . Një rreth i parë nga një kënd anësor duket si një elips.

Emri,ἔλλειψις (élleipsis, "heqje") , u dha ngaApollonius i Pergës në veprën e tijKoniket.

Përkufizimi si një lokus pikash

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]
Elipsi: përcaktimi nga shuma e distancave vatrore
Elipsi: përcaktimi nga fokusi dhe vija drejtuese rrethore

Një elips mund të përkufizohet gjeometrikisht si një grup ose vendndodhje pikash në rrafshin Euklidian:

Jepen dy pika fikseF1,F2{\displaystyle F_{1},F_{2}} të quajtura vatra dhe një distancë2a{\displaystyle 2a} e cila është më e madhe se largësia ndërmjet vatrave, elipsa është bashkësia e pikaveP{\displaystyle P} të tillë që shuma e largësive|PF1|, |PF2|{\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|} është e barabartë me2a{\displaystyle 2a} :E={P∈R2∣|PF2|+|PF1|=2a} .{\displaystyle E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,|PF_{2}|+|PF_{1}|=2a\right\}\ .}

Pika e mesitC{\displaystyle C} e segmentit që bashkon vatra quhetqendra e elipsit. Vija që kalon nëpër vatra quhetboshti kryesor, dhe vija pingul me të përmes qendrës ështëboshti i vogël . Boshti kryesor takon elipsin në dykulmeV1,V2{\displaystyle V_{1},V_{2}}, të cilët kanë distancëa{\displaystyle a} në qendër. Distancac{\displaystyle c} e vatrave në qendër quhetdistanca vatrore ose jashtëqendërsi lineare. Herësie=ca{\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}} ështëjashtëqendërsia .

RastiF1=F2{\displaystyle F_{1}=F_{2}} jep një rreth dhe përfshihet si një lloj i veçantë elipsi.

Në koordinatat karteziane

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]
Parametrat e formës:a: gjysëmboshti i madhb: gjysëmboshti i vogëlc: jashtëqendërsia linearep: parametër

Ekuacioni standard

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Forma standarde e një elipsi në koordinata karteziane supozon se origjina është qendra e elipsit, boshtix është boshti kryesor dhe:

vatrat janë pikatF1=(c,0), F2=(−c,0){\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)} ,
kulmet janëV1=(a,0), V2=(−a,0){\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)} .

Për një pikë arbitrare(x,y){\displaystyle (x,y)} largësia nga vatraF1{\displaystyle F_{1}} është(x−c)2+y2{\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}} dhe nga vatraF2{\displaystyle F_{2}}(x+c)2+y2{\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}} . Prandaj pika(x,y){\displaystyle (x,\,y)} është në vijë për:

(x−c)2+y2+(x+c)2+y2=2a .{\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}

Duke përdorurb2=a2−c2{\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}} marrim ekuacionin standard i cili jepet nga formula:

y=±baa2−x2=±(a2−x2)(1−e2).{\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}

Një drejtëz e çfarëdoshmeg{\displaystyle g} e pret një elipsë në 0, 1 ose 2 pika, përkatësisht të quajturavijë e jashtme,tangjente dhesekante . Përmes çdo pike të një elipsi ka një tangjente unike. Tangjentja në një pikë(x1,y1){\displaystyle (x_{1},\,y_{1})} të elipsitx2a2+y2b2=1{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} ka ekuacionin e koordinatave:

Jashtëqendërsia lineare

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Kjo është largësia nga qendra në një fokus:c=a2−b2{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}} .

Një vijë e çfarëdoshmeg{\displaystyle g} e pret një elipsë në 0, 1 ose 2 pika, përkatësisht të quajturavijë e jashtme,tangjente dhesekante . Përmes çdo pike të një elipsi ka një tangjente unike. Tangjentja në një pikë(x1,y1){\displaystyle (x_{1},\,y_{1})} të elipsitx2a2+y2b2=1{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} ka ekuacionin e koordinatave:Stampa:NumBlkx2a2+y2b2=1{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}

(x,y)=(acos⁡t,bsin⁡t), 0≤t<2π .{\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \ .}

Duke përdorurfunksionet trigonometrike, një paraqitje parametrike e elipsit standardx2a2+y2b2=1{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} është:

r(θ)=ab(bcos⁡θ)2+(asin⁡θ)2=b1−(ecos⁡θ)2{\displaystyle r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}}

Elipsi i zhvendosur

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Nëse elipsi standard zhvendoset në qendër(x∘,y∘){\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}, ekuacioni i tij është:

(x−x∘)2a2+(y−y∘)2b2=1 .{\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}

Paraqitja parametrike

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]
Ndërtimi i pikave bazuar në ekuacionin parametrik dhe interpretimi i parametritt

Paraqitja standarde parametrike

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Duke përdorurfunksionet trigonometrike, një paraqitje parametrike e elipsit standardx2a2+y2b2=1{\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1} është:

(x,y)=(acos⁡t,bsin⁡t), 0≤t<2π .{\displaystyle (x,\,y)=(a\cos t,\,b\sin t),\ 0\leq t<2\pi \ .}

Parametrit (i quajturanomali jashtëqendërsie në astronomi) nuk është këndi i(x(t),y(t)){\displaystyle (x(t),y(t))} me boshtin oX, por ka një kuptim gjeometrik të dhënë nga Philippe de La Hire (shihVizatimi i elipseve më poshtë).[1]

Forma polare

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]
Koordinatat polare të përqendruara në qendër.

Nëkoordinatat polare, me origjinë në qendrën e elipsit dhe me koordinatë këndoreθ{\displaystyle \theta } e matur nga boshti kryesor, ekuacioni i elipsit është[2]: p. 75 

C=4a∫0π/21−e2sin2⁡θ dθ=4aE(e){\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,=\,4a\,E(e)}

Veti të matjes

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Të gjitha vetitë metrike të dhëna më poshtë i referohen një elipsi me ekuacion

SipërfaqjaSelips{\displaystyle S_{\text{elips}}} e mbyllur nga një elips është:Stampa:NumBlkSelips=πab{\displaystyle S_{elips}=\pi ab}

kua{\displaystyle a} dheb{\displaystyle b} janë përkatësisht gjatësitë e gjysëmboshtit të madh dhe gjysëmboshtit të vogël. Formula e sipërfaqesπab{\displaystyle \pi ab} është intuitive: filloni me një rreth me rrezeb{\displaystyle b} (kështu është sipërfaqja e sajπb2{\displaystyle \pi b^{2}} ) dhe e shtrini atë me një faktora/b{\displaystyle a/b} për të bërë një elips. Kjo shkallëzon zonën me të njëjtin faktor:πb2(a/b)=πab.{\displaystyle \pi b^{2}(a/b)=\pi ab.}[3] Megjithatë, përdorimi i së njëjtës qasje për perimetrin do të ishte i gabuar - krahasoniintegralet∫f(x)dx{\textstyle \int f(x)\,dx} dhe∫1+f′2(x)dx{\textstyle \int {\sqrt {1+f'^{2}(x)}}\,dx} . Është gjithashtu e lehtë të vërtetohet me rigorozitet formula e zonës duke përdorur integrimin.

Selips=baπa2=πab.{\displaystyle S_{\text{elips}}={\frac {b}{a}}\pi a^{2}=\pi ab.}

Integrali i dytë është zona e një rrethi me rrezea,{\displaystyle a,} kjo eshte,πa2.{\displaystyle \pi a^{2}.} Kështu që

Zona e mbyllur nga një elips i anuar ështëπyintxmax{\displaystyle \pi \;y_{\text{int}}\,x_{\text{max}}} .

Deri më tani kemi trajtuarelipsë të ngritur, boshtet kryesore dhe të vogla të të cilëve janë paralele mex{\displaystyle x} dhey{\displaystyle y} sëpata. Megjithatë, disa zbatime kërkojnëelipsë të pjerrët. Në optikën e rrezeve me grimca të ngarkuara, për shembull, zona e mbyllur e një elipsi të ngritur ose të pjerrët është një veti e rëndësishme e rrezes,emetimi i saj. Në këtë rast ende zbatohet një formulë e thjeshtë, domethënë

Selips=πyintxmax=πxintymax{\displaystyle S_{elips}=\pi \;y_{int}\;x_{max}=\pi \;x_{int}\;y_{max}}

kuyint{\displaystyle y_{\text{int}}},xint{\displaystyle x_{\text{int}}} janë përgjimet dhexmax{\displaystyle x_{\text{max}}},ymax{\displaystyle y_{\text{max}}} janë vlerat maksimale. Ky përfundim rrjedh drejtpërdrejt nga teorema e Apollonit .

Elipsë me perimetër të njëjtë

PerimetriC{\displaystyle C} i një elipsi është:

C=4a∫0π21−e2sin2θdθ=4aE(e){\displaystyle C=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}sin^{2}\theta }}d\theta =4aE(e)}

Ky integral është eliptik i llojit të dytë dhe përgjithësisht nuk paraqitet me anë të funksioneve elementare.

Srinivasa Ramanujan dha dy përafrime të afërta për perimetrin në §16 të "Ekuacionet modulare dhe përafrimet nëπ{\displaystyle \pi } ";[4] ata janë:


C≈π[3(a+b)−(3a+b)(a+3b)]{\displaystyle C\approx \pi [3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}]}

Gjatësia e harkut

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Në përgjithësi, gjatësia e harkut të një pjese të perimetrit, si funksion i këndit të tendosur (ose abshisat e çdo dy pikave në gjysmën e sipërme të elipsit), jepen nga një integral eliptik jo i plotë. Gjysma e sipërme e një elipsi parametrizohet nga

y=b 1−x2a2  .{\displaystyle y=b\ {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\ }}~.}

Pastaj gjatësia e harkuts{\displaystyle s} ngax1{\displaystyle x_{1}} tex2{\displaystyle x_{2}} është:

s=−b∫arccos⁡x1aarccos⁡x2a 1+(a2b2−1) sin2⁡z dz .{\displaystyle s=-b\int _{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {\ 1+\left({\tfrac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\ \sin ^{2}z~}}\;\mathrm {d} z~.}

Kjo është e barabartë me

s=b [E(z|1−a2b2)]z = arccos⁡x2aarccos⁡x1a{\displaystyle s=b\ \left[\;E\left(z\;{\Biggl |}\;1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\;\right]_{z\ =\ \arccos {\frac {x_{2}}{a}}}^{\arccos {\frac {x_{1}}{a}}}}

kuE(z∣m){\displaystyle E(z\mid m)} është integrali eliptik jo i plotë i llojit të dytë me parametërm=k2.{\displaystyle m=k^{2}.}

Si seksione të rrafshët të kuadrikëve

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Elipsat shfaqen si prerje të rrafshta të kuadrikëve të mëposhtëm:

  • Elipsoid
    Elipsoid
  • Kon eliptik
    Kon eliptik
  • Cilindri eliptik
    Cilindri eliptik
  • Hiperboloid me një napë
    Hiperboloid me një napë
  • Hiperboloidi me dy napa
    Hiperboloidi me dy napa

Aplikacionet

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Reflektorët eliptikë dhe akustika

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]
Modeli i valës së një pikëze të vogël të rënë në merkur në njërën vatër të elipsit

Nëse sipërfaqja e ujit ngacmohet në një nga vatrat e një rezervuari uji eliptik, valët rrethore të këtij ngacmimi, pasireflektohen nga muret, konvergjojnë njëkohësisht në një pikë të vetme:vatrën e dytë . Kjo është pasojë e gjatësisë totale të udhëtimit që është e njëjtë përgjatë çdo shtegu reflektimi midis dy vatrave.

Në mënyrë të ngjashme, nëse një burim drite vendoset në një vatër të njëpasqyre eliptike, të gjitha rrezet e dritës në rrafshin e elipsit reflektohen në vatrën e dytë. Meqenëse asnjë kurbë tjetër e lëmuar nuk ka një veti të tillë, ajo mund të përdoret si një përkufizim alternativ i një elipsi. (Në rastin e veçantë të një rrethi me një burim në qendër, e gjithë drita do të reflektohej përsëri në qendër. ) Nëse elipsi rrotullohet përgjatë boshtit të tij kryesor për të prodhuar një pasqyrë elipsoidale, kjo veti vlen për të gjitha rrezet jashtë burimit. Përndryshe, një pasqyrë cilindrike me prerje tërthore eliptike mund të përdoret për të fokusuar dritën nga një llambë fluoreshente lineare përgjatë një vije letre; pasqyra të tilla përdoren në disaskanera dokumentesh .

Në shekullin e 17-të,Johannes Kepleri zbuloi se orbitat përgjatë të cilave planetët udhëtojnë rreth Diellit janë elipsa me Diellin [përafërsisht] në një vatër, nëligjin e tij të parë të lëvizjes planetare . Më vonë,Isak Njutoni e shpjegoi këtë si rrjedhojë eligjit të tij të gravitetit universal .

Në përgjithësi, në problemin e rëndesës me dy trupa, nëse të dy trupat janë të lidhur me njëri-tjetrin (d.m.th., energjia totale është negative), orbitat e tyre janë elipsa tëngjashëm me bariqendrën e përbashkët që është një nga vatrat e çdo elipsi. Vatra tjetër i secilit elips nuk ka asnjë domethënie fizike të njohur. Orbita e secilit trup në kuadrin e referencës së tjetrit është gjithashtu një elips, me trupin tjetër në të njëjtën vatër.

Orbitat eliptike Kepleriane janë rezultat i çdo force tërheqëse të drejtuar sipas rrezes (rrezore). Forca është në përpjesëtim të zhdrejtë me katrorin e largësisë. Kështu, në parim, lëvizja e dy grimcave të ngarkuara në mënyrë të kundërt në hapësirën boshe do të ishte gjithashtu një elips. (Megjithatë, ky përfundim injoron humbjet për shkak tërrezatimit elektromagnetik dheefekteve kuantike, të cilat bëhen të rëndësishme kur grimcat lëvizin me shpejtësi të madhe. )

Për orbitat eliptike, marrëdhëniet e dobishme që përfshijnë jashtëqendërsinëe{\displaystyle e} janë:

a=ra+rp2b=rarpℓ=21ra+1rp=2rarpra+rp{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}\\[2pt]b&={\sqrt {r_{a}r_{p}}}\\[2pt]\ell &={\frac {2}{{\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{p}}}}}={\frac {2r_{a}r_{p}}{r_{a}+r_{p}}}\end{aligned}}} .

Gjithashtu, për sa i përketra{\displaystyle r_{a}} dherp{\displaystyle r_{p}}, gjysëmboshti i madha{\displaystyle a} është mesatarja e tyrearitmetike, boshti gjysmë i vogëlb{\displaystyle b} është mesatarja e tyre gjeometrike dheparametriℓ{\displaystyle \ell } është mesatarja e tyre harmonike . Me fjale te tjera,

Lëkundësit harmonikë

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Zgjidhja e përgjithshme për një lëkundësi harmonik në dy ose më shumë dimensione është gjithashtu një elips. I tillë është rasti, për shembull, i një lavjerrësi të gjatë që lëviz në dy dimensione; i një mase të ngjitur në një pikë fikse nga një sustë krejtësisht elastike; ose i çdo objekti që lëviz nën ndikimin e një force tërheqëse që është drejtpërdrejt e përpjesshme me largësinë e tij nga një tërheqës fiks. Megjithatë, ndryshe nga orbitat Kepleriane, këto "orbita harmonike" kanë qendrën e tërheqjes në qendrën gjeometrike të elipsit dhe kanë ekuacione mjaft të thjeshta të lëvizjes.

Vizualizimi i fazës

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Nëelektronikë, faza relative e dy sinjaleve sinusoidale mund të krahasohet duke i ushqyer ato në hyrjet vertikale dhe horizontale të njëoshiloskopi . Nëse shfaqja e figurës Lissajous është një elips, dhe jo një vijë e drejtë, të dy sinjalet janë jashtë fazës.

Ingranazhet eliptike

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Dy ingranazhe jo rrethore me të njëjtin skicë eliptike, secila duke u rrotulluar rreth një vatre dhe të pozicionuara në këndin e duhur, rrotullohen pa probleme duke ruajtur kontaktin gjatë gjithë kohës. Përndryshe, ato mund të lidhen me njëzinxhir lidhës ose rrip kohues, ose në rastin e një biçiklete unaza kryesore e zinxhirit mund të jetë eliptike ose një vezake e ngjashme me një elips në formë. Ingranazhe të tilla eliptike mund të përdoren në pajisjet mekanike për të prodhuarshpejtësi këndore oseçift rrotullues të ndryshueshëm nga një rrotullim konstant i boshtit lëvizës, ose në rastin e një biçiklete për të lejuar një shpejtësi të ndryshme rrotullimi të manivelit me përparësi mekanike të ndryshueshme.

Ingranazhet eliptike të biçikletave e bëjnë më të lehtë që zinxhiri të rrëshqasë nga dhëmbëzimi kur ndërron marshin.[5]

Një shembull i zbatimit të ingranazheve do të ishte një pajisje që mbështjell fijen mbi një bobine konike në një makinë tjerrëse . Bobina do të duhet të mbështillet më shpejt kur filli është afër majës sesa kur është afër bazës.[6]

  • Në burimet e dritës EUV të prodhuara nga plazma lazer të përdorura në litografinë me mikroçip, drita EUV gjenerohet nga plazma e pozicionuar në fokusin parësor të një pasqyre elipsoidale dhe mblidhet në fokusin dytësor në hyrjen e makinës së litografisë.[7]

Statistika dhe financa

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Nëstatistikë, një vektor i rastësishëm bivariant(X,Y){\displaystyle (X,Y)} ka shpërndarje të dyfishtë eliptike nëse konturet e tij me izo-densitet - lokacione me vlera të barabarta të funksionit të densitetit - janë elipse. Koncepti shtrihet në një numër arbitrar të elementeve të vektorit të rastësishëm, në të cilin rast në përgjithësi konturet e izo-densitetit janë elipsoidë. Një rast i veçantë është shpërndarja normale multivariate . Shpërndarjet eliptike janë të rëndësishme nëfinancë sepse nëse normat e kthimit të aktiveve shpërndahen bashkërisht në mënyrë eliptike, atëherë të gjitha portofolet mund të karakterizohen plotësisht nga mesatarja dhe varianca e tyre - domethënë, çdo dy portofole me pritje dhe variancë të njëjtë të kthimit të portofolit kanë shpërndarje identike kthimi të portofolit.[8][9]

Teoria e optimizmit

[Redakto |Redakto nëpërmjet kodit]

Ndonjëherë është e dobishme të gjesh elipsin kufizues minimal të një grup pikash. Metoda elipsoide është mjaft e dobishme për zgjidhjen e këtij problemi.

  1. ↑K. Strubecker:Vorlesungen über Darstellende Geometrie, GÖTTINGEN,VANDENHOECK & RUPRECHT, 1967, p. 26
  2. ↑Lawrence, J. Dennis,A Catalog of Special Plane Curves, Dover Publ., 1972.
  3. ↑Archimedes. (1897).The works of Archimedes. Heath, Thomas Little, Sir, 1861-1940. Mineola, N.Y.: Dover Publications. fq. 115.ISBN 0-486-42084-1.OCLC 48876646.{{cite book}}:Mungon ose është bosh parametri|language= (Ndihmë!)
  4. ↑Ramanujan, Srinivasa (1914)."Modular Equations and Approximations to π".Quart. J. Pure App. Math.45: 350–372.ISBN 9780821820766.{{cite journal}}:Mungon ose është bosh parametri|language= (Ndihmë!)
  5. ↑David Drew."Elliptical Gears".
  6. ↑Grant, George B. (1906).A treatise on gear wheels. Philadelphia Gear Works. fq. 72.{{cite book}}:Mungon ose është bosh parametri|language= (Ndihmë!)
  7. ↑"Cymer - EUV Plasma Chamber Detail Category Home Page". Arkivuar ngaorigjinali më 2013-05-17. Marrë më2013-06-20.{{cite web}}:Mungon ose është bosh parametri|language= (Ndihmë!)
  8. ↑Chamberlain, G. (shkurt 1983). "A characterization of the distributions that imply mean—Variance utility functions".Journal of Economic Theory.29 (1): 185–201.doi:10.1016/0022-0531(83)90129-1.{{cite journal}}:Mungon ose është bosh parametri|language= (Ndihmë!)
  9. ↑Owen, J.; Rabinovitch, R. (qershor 1983)."On the class of elliptical distributions and their applications to the theory of portfolio choice".Journal of Finance.38 (3): 745–752.doi:10.1111/j.1540-6261.1983.tb02499.x.JSTOR 2328079.{{cite journal}}:Mungon ose është bosh parametri|language= (Ndihmë!)
Marrë nga "https://sq.wikipedia.org/w/index.php?title=Elipsi&oldid=2766671"
Kategoritë:
Kategori e fshehur:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp