I sin videste forstand omfatter analysen hele den matematiske utviklingen som har sitt utgangspunkt iIsaac Newtons ogGottfried Wilhelm Leibniz' oppdagelse avdifferensial- ogintegralregningen mot slutten av 1600-tallet. Siden den tid har det vokst frem flere mer eller mindre atskilte felter innenfor matematisk analyse. Disse omfatter uendelige rekker,variasjonsregning,differensialligninger,Fourieranalyse, kompleks analyse, vektor- og tensoranalyse, mål- og integrasjonsteori ogfunksjonalanalyse.

Utviklingen av differensial- og integralregningen introduserte mange ideer som var avgjørende for matematikkens senere historie. Nye teknikker for å beregne egenskaper ved funksjoner, for eksempel deres maksimum og minimum, dessuten areal- og volumberegning samtkurvers vekst og krumning, endret karakteren av de spørsmålmatematikken både kunne stille og besvare. Vesentlige begreper som uendelig nær approksimasjon (grenser) og relaterte teknikker for vilkårlig nær approksimasjon av løsninger til generelleligninger, ble også innført.

Om vi har enfunksjon \(f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}\), sier vi at «\(f\) hargrensen \(A\) når \(x\) nærmer seg et tall \(a\)» dersom \(f(x)\) kan komme vilkårlig nær \(A\) for alle \(x\) nær \(a\).

Mer presist krever vi at for alle (små) positive tall \(\epsilon>0\) fins det en \(\delta >0\) slik at \(|f(x)-A|<\epsilon\) for alle \(x\) slik at \( 0<|x-a|<\delta\). Når \(\epsilon\) blir mindre, vil også \(\delta\) bli mindre. Merk at vi ikke krever at \(|f(a)-A|<\epsilon\). Vi skriver \[\lim_{x\to a} f(x)=A.\]

Dersom \(f(a)=A\), sier vi at \(f\) erkontinuerlig i \(x=a\).

Et annet viktig fremskritt var ideen om uendeligerekker: at en størrelse eller en funksjon kan uttrykkes som en sum av uendelig mange, mindre og mindre ledd. Newtons og Leibniz' umiddelbare etterfølgere, i første rekkeLeonhard Euler ogBernoulli-familien, utvidet differensial- og integralregningens metoder, og etablerte analysen (med sine underdisipliner) som et sentralt område av matematikken på en måte som fortsatt er standard, selv om andre felter senere har kommet til.

Interessen fordifferensialligninger hadde sitt utspring i ønsket om å kunne beskrive bevegelse og andre fysiske prosesser matematisk. Til å begynne med søkte maneksplisitte løsninger av differensialligninger, men mot slutten av 1700-tallet ble det imidlertid klart at mange viktige problemer ikkehadde eksplisitte løsninger av denne typen. Dette gav støtet til en mer kvalitativ angrepsmåte, hvor man søkte å beskrive klasser av interessante funksjoner og deres vesentlige egenskaper, knyttet til spesielle ligninger.

Ved hjelp av differensial- og integralregningen anvendt på funksjoner av flere variable, studerteCarl Friedrich Gauss kurver og flater i rommet, og hans epokegjørende innsats på dette området gav opprinnelsen tildifferensialgeometrien.

Joseph Fourier innførte i 1822 en helt ny idé ved å vise at vilkårlige funksjoner kan skrives som uendelige rekker av sinus- og cosinusfunksjoner med økendesvingetall. Det er denne ideen som ligger til grunn for all senere matematisk forståelse av lyd, lys og bølger.

Gjennom arbeidene tilAugustin Louis Cauchy (og senereBernhard Riemann) over kompleksfunksjonsteori midt på 1800-tallet, ble det klart at det var en forbindelse mellom analyse ogtopologi. Denne forbindelsen var av avgjørende betydning for blant annetEinsteinsgenerelle relativitetsteori.

Mot slutten av 1800-tallet vokste det frem en mer kritisk holdning til gyldigheten av en del av analysens slutninger og dens forutsetninger. Vesentlige her var arbeidene tilAugustin Louis Cauchy,Richard Dedekind ogGeorg Cantor. De resulterte i stringente definisjoner av begreper somkontinuitet ogderiverbarhet, basert på mer primitive mengde-teoretiske begreper. Dette førte etter hvert til at hele analysensstruktur, slik den hadde blitt bygd opp gjennom de foregående to hundre år, kunne baseres på en håndfull enkle prinsipper.

En annen konsekvens av denne fornyede og skjerpede innsikten i analysens grunnlag var en kritisk revurdering avmålebegrepet, som ligger til grunn for bestemmelse av areal og volum. Banebrytende her varHenri Lebesgues arbeider fra begynnelsen av 1900-tallet, hvor også et nytt og mer omfattendeintegralbegrep ble innført.

Fouriers oppdagelse (se ovenfor) er utgangspunkt forfunksjonalanalysen. At en funksjon kan dekomponeres ved hjelp av en uendelig rekke, hvor leddene er enkle funksjoner, gjør at ideer og metoder fravektorregningen kan overføres til denne mer generelle situasjonen.

De grunnleggende ideene her går tilbake tilDavid Hilbert fra perioden 1910–1920, og de fikk stor betydning for blant annetkvantemekanikkens utvikling. Dette nye feltet ble systematisk utviklet avJohn von Neumann ogStefan Banach fram mot midten av 1900-tallet, og det er fortsatt i meget sterk utvikling. Funksjonalanalysen har også gitt dypere innsikt i forbindelsen mellom analyse,algebra og topologi.

• funksjon
• integralregning
• derivasjon
• differensialregning