kjedebrøk
Kjedebrøk er innenmatematikk en spesiellbrøk som har formen \[[a_0, a_1, \dots, a_n] = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \dots \\ \dots + \cfrac{1}{a_n}}}\]
Tallene \(a_0, a_1, a_2\) og så videre kallespartialnevnerne ellerdelkvotientene til kjedebrøken. Man kan bestemme utviklingen av et talla i kjedebrøk, ved å skrive \(a = a_0 + r\), hvor \(a_0\) er etheltall og \(r\) er et positivt tall mellom 0 og 1. På samme måte skrives \(\frac{1}{r} = a_1 + r_1\) og så videre. Partialnevnerne i kjedebrøkutviklingen til et rasjonalt tall \(\frac{a}{b}\) kan også finnes fra kvotientene i denevklidiske algoritme fora ogb.
Typer
Endelig og uendelig kjedebrøk
En kjedebrøk kan væreendelig elleruendelig. Ethvertrasjonalt tall har en endelig kjedebrøkutvikling, mensirrasjonale tall har uendelige kjedebrøker.
Periodisk kjedebrøk
Enperiodisk kjedebrøk er en kjedebrøk der partialnevnerne danner et mønster som gjentar seg. En periodisk kjedebrøk fremstiller et tall av formen \(a + b \sqrt{c}\) dera, b ogc er rasjonale. For eksempel er
\[\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \dots}}}\]
Tilnærmelsesbrøk
Hvis kjedebrøk-utviklingen avbrytes etter et visst antall ledd, oppstår entilnærmelsesbrøk. Disse brøkene har den viktige egenskapen at de gir den best mulige tilnærmelsen til det tallet som er utviklet i kjedebrøken, i den forstand at ingen andre brøker med mindre nevnere kan gi en bedre tilnærmelse.
For eksempel er kjedebrøk-utviklingen av \(\pi\) lik \(\pi = [3, 7, 15, 1, 292, 1, \dots]\) og de tilsvarende tilnærmelsesbrøkene er \(3,3 \frac{1}{7}, 3 \frac{15}{106}, 3 \frac{16}{113}, \dots\) På grunn av denne og andre egenskaper blir kjedebrøker brukt ved tilnærmede beregninger.
Bruk
Innenfortallteorien blir kjedebrøker brukt til å bestemme heltallige løsninger av ubestemteligninger av første og annen grad. Innenfunksjonsteorien brukes kjedebrøker til å fremstille forskjellige funksjoner.
Historikk
Kjedebrøklignende metoder forekom igresk ogindisk matematikk.
Lord Brouncker (1659) gav det første viktige bidrag til kjedebrøk i den nyere tid gjennom en kjedebrøk-formel for \(\frac{4}{\pi}\).
Teorien for kjedebrøk ble siden utviklet avLeonhard Euler,Adrien M. Legendre,Joseph L. Lagrange ogCarl Gustav Jacob Jacobi.
Les mer i Store norske leksikon
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.
