gruppeteori
Gruppeteori er et sentralt fagområde innenalgebra som tar for seg algebraiske strukturer som kallesgrupper.
En gruppe er definert som en (endelig eller uendelig)mengde \(G\) der det er definert en binæroperasjon på denne mengden som oppfyller visse krav. Denne gruppeoperasjonen skrives som enmultiplikasjon hvor man bruker en stjerne i stedet for multiplikasjonspunkt (\( a\cdot b = c\) ), fordi det ikke nødvendigvis er vanlig multiplikasjon det dreier seg om, men en generell algebraisk operasjon som kan ha mange ulike tolkninger.
Siden operasjonen må være definert for at \(G\) skal være en gruppe, sier vi at gruppen består av mengden og operasjonen, og skriver gruppen som \( (G,\cdot) \).
Definisjon
En mengde \(G\) er en gruppe dersom
- For alle elementer \(a,~b\) i mengden er \(a\cdot b\) også i mengden, det vil si \(a,b \in G \Rightarrow a \cdot b \in G\). Dette kravet kan formuleres som atG er lukket under operasjonen \( \cdot \)
- For alle elementer \(a,~b,~c\) i mengden gjelder \( (a \cdot b) \cdot c = a\cdot (b \cdot c)\) (den assosiative lov).
- Det finnes et enhetselement \(e\) i mengden, det vil si at for allea i mengden gjelder \(a \cdot e=e \cdot a=a \).
- Hvert element \(a\) i mengden har eninvers \(a^{-1}\) i mengden slik at \(a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e\).
Dersom disse kravene er oppfylt, sies \(G\) å være en gruppemed hensyn på den gitte operasjonen. Dersom i tillegg denkommutative lov\(a\cdot b=b \cdot a\) er oppfylt for alle \(a\) og \(b\) i gruppen, sies gruppen å væreabelsk (etterNiels Henrik Abel).
Eksempler
To eksempler på grupper er mengden avheltall med hensyn påaddisjon, og mengden avrasjonale tall \(\neq 0\) med hensyn på multiplikasjon.
Et annet viktig eksempel (også rent historisk) er desymmetriske grupper, hvor elementene erpermutasjoner. Disse gruppene spiller en viktig rolle iEvariste Galois' teori for løsning avalgebraiske ligninger ved rottegn, som representerer et av de viktigste historiske utgangspunkter for gruppeteorien.
Lie-grupper er eksempler på kontinuerlige grupper (grupper med uendelig antall elementer). Disse gruppene brukes, blant annet i fysikk, hvor de sees på som symmetrier.
Gruppebegrepet gjennomtrenger hele den moderne matematikken og har betydelige anvendelser også i naturvitenskaper somfysikk ogkjemi.
Les mer i Store norske leksikon
- Artikkelen inneholder tekst fra:
- Fagkonsulent for artikkelen:
- Johan F. Aarnes,NTNU
- Sist oppdatert:
- ,se alle endringer
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.