Movatterモバイル変換


[0]ホーム

URL:


Hopp til hovedinnholdet
Storenorskeleksikon

gruppeteori

Gruppeteori er et sentralt fagområde innenalgebra som tar for seg algebraiske strukturer som kallesgrupper.

En gruppe er definert som en (endelig eller uendelig)mengde \(G\) der det er definert en binæroperasjon på denne mengden som oppfyller visse krav. Denne gruppeoperasjonen skrives som enmultiplikasjon hvor man bruker en stjerne i stedet for multiplikasjonspunkt (\( a\cdot b = c\) ), fordi det ikke nødvendigvis er vanlig multiplikasjon det dreier seg om, men en generell algebraisk operasjon som kan ha mange ulike tolkninger.

Siden operasjonen må være definert for at \(G\) skal være en gruppe, sier vi at gruppen består av mengden og operasjonen, og skriver gruppen som \( (G,\cdot) \).

Definisjon

En mengde \(G\) er en gruppe dersom

  1. For alle elementer \(a,~b\) i mengden er \(a\cdot b\) også i mengden, det vil si \(a,b \in G \Rightarrow a \cdot b \in G\). Dette kravet kan formuleres som atG er lukket under operasjonen \( \cdot \)
  2. For alle elementer \(a,~b,~c\) i mengden gjelder \( (a \cdot b) \cdot c = a\cdot (b \cdot c)\) (den assosiative lov).
  3. Det finnes et enhetselement \(e\) i mengden, det vil si at for allea i mengden gjelder \(a \cdot e=e \cdot a=a \).
  4. Hvert element \(a\) i mengden har eninvers \(a^{-1}\) i mengden slik at \(a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e\).

Dersom disse kravene er oppfylt, sies \(G\) å være en gruppemed hensyn på den gitte operasjonen. Dersom i tillegg denkommutative lov\(a\cdot b=b \cdot a\) er oppfylt for alle \(a\) og \(b\) i gruppen, sies gruppen å væreabelsk (etterNiels Henrik Abel).

Eksempler

To eksempler på grupper er mengden avheltall med hensyn påaddisjon, og mengden avrasjonale tall \(\neq 0\) med hensyn på multiplikasjon.

Et annet viktig eksempel (også rent historisk) er desymmetriske grupper, hvor elementene erpermutasjoner. Disse gruppene spiller en viktig rolle iEvariste Galois' teori for løsning avalgebraiske ligninger ved rottegn, som representerer et av de viktigste historiske utgangspunkter for gruppeteorien.

Lie-grupper er eksempler på kontinuerlige grupper (grupper med uendelig antall elementer). Disse gruppene brukes, blant annet i fysikk, hvor de sees på som symmetrier.

Gruppebegrepet gjennomtrenger hele den moderne matematikken og har betydelige anvendelser også i naturvitenskaper somfysikk ogkjemi.

Les mer i Store norske leksikon

Artikkelen inneholder tekst fra:
Fagkonsulent for artikkelen:
Johan F. Aarnes,NTNU
Sist oppdatert:
,se alle endringer
begrenset gjenbruk.
Vil du sitere denne artikkelen? Kopier denne teksten og lim den inn i litteraturlisten din:gruppeteori iStore norske leksikon på snl.no. Hentet fra https://snl.no/gruppeteori

Bidra

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

eller registrer deg

Vi mangler fagansvarlig forKommutative algebraer og ringer

Vil du bli fagansvarlig? Ta kontakt

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp