Sommeren 1823 reiste han tilKøbenhavn for å legge frem noen av sine matematiske resultater for professor Søren Degen; reisepengene, 100 spesidaler, fikk han av professorSøren Rasmusen. I København traff han sin fremtidige forlovede Christine Kemp. I 1824 trådte Abel inn i de store matematikeres rekker med en liten avhandling som han lot trykke privat, og hvor han beviste at femtegradsligninger ikke generelt kan løses ved rottegnsuttrykk.

Våren 1824 bevilget regjeringen ham et statsstipendium på 200daler, og sommeren 1825 ble dette avløst av et utenlandsstipendium på 600 daler årlig i to år. Sammen med en del unge norske vitenskapsmenn reiste Abel først tilBerlin. Her fant han en trofast venn og beskytter i geheimerådA. L. Crelle, og dette møtet gav støtet til opprettelsen av det kjente matematiske tidsskriftetJournal für die reine und angewandte Mathematik. De første bindene av dette tidsskriftet inneholder en rekke glimrende arbeider fra Abels hånd, og de gjorde ham straks kjent blant verdens matematikere.

Mens Abel var i Berlin, tok Rasmusen avskjed som professor i matematikk, og Holmboe ble utnevnt til den ledige stillingen, til Abels og vennekretsens store skuffelse. Våren 1826 fortsatte Abel og hans venner sin reise gjennom Østerrike, Italia og Sveits tilParis. Som en introduksjon til de franske matematikerne hadde Abel ferdigskrevet en avhandling omintegraler avalgebraiske funksjoner, senere alltid regnet som et av hans mesterverker. Han fremla denne avhandlingen på et møte i det franske vitenskapsakademiet. BedømmelseskomiteenAugustin Louis Cauchy ogAdrien Marie Legendre behandlet den meget likegyldig; manuskriptet forsvant og ble først trykt i 1841, mange år etter Abels død. Imens ventet Abel i Paris så lenge pengene rakk, og så reiste han til Berlin.

I mai 1827 vendte han tilbake til Norge, forgjeldet og sannsynligvis allerede da merket avtuberkulose. Han var uten stilling, og universitetet foreslo at stipendet hans fra før reisen skulle fortsette, men finansdepartementet sa nei. Allikevel gav universitetet ham på eget ansvar en mindre støtte.

I denne kritiske tiden begynte Abel å skrive ned sine resultater omelliptiske funksjoner, som ble et fremtredende matematisk emne på 1800-tallet. Dette brakte ham i konkurranse med den unge tyske matematikerenCarl Gustav Jacob Jacobi, som med spent oppmerksomhet ble fulgt av verdens matematikere. Omkring nyttår 1827–1828 ble Abels stilling lysere ved at han ble vikar for professorChristopher Hansteen ved Universitetet i Oslo og den militære høyskolen. Samtidig begynte krefter i utlandet å arbeide for å skape ham en stilling mer verdig hans talent. Crelle forsøkte iherdig å få ham kalt til Berlins universitet; litt senere gjorde en gruppe av franske akademimedlemmer en direkte henvendelse til kongKarl Johan om å utvirke en stilling for Abel.

Abel tilbrakte flere ferier på Froland herregård iAust-Agder, hvor hans forlovede varguvernante, og julen 1828 dro han dit igjen. Men nå slo tuberkulosen voldsomt ut, og etter noen måneders sengeleie døde han 6. april. Han ble begravd på Froland kirkegård. Kort tid før sin død sendte han hovedresultatene fra Paris-avhandlingen til Crelle, og noen dager etter hans bortgang kom det beskjed fra Crelle at kallelsen til Berlin var i orden.

Få matematikere har bidratt med så mange nye ideer og teorier til matematikken, og den dag i dag bærer begreper Abels navn. Hans samlede verker er utkommet i to utgaver, i 1839 og 1881.