Movatterモバイル変換

Zbirna funkcija verjetnosti

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Zbirna funkcija verjetnosti aliporazdelitvena funkcija (oznaka cdf izcumulative distribution function) je vverjetnostnem računu funkcija, ki opisujeverjetnostno porazdelitev realne slučajne spremenljivke $X {\displaystyle X}$ . Označuje se jo z $F(x)$ .

Za realno število je zbirna porazdelitvena funkcija določena z:

x\mapsto F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)\!\,,

kjer $X\leq x$ pomeni verjetnost, da slučajna spremenljivka zavzame vrednost, ki je manjša ali enaka vrednosti $x {\displaystyle x}$ . Verjetnost, da slučajna spremenljivka leži v intervalu $(a,b]$ je torej enaka:

F_{X}(b)-F_{X}(a)\!\,

, če je

a<b\!\,

Z uporabogostote verjetnosti $f(t)\!$ se lahko zapiše:

F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\!\,.

Značilnosti pri diskretni spremenljivki

[uredi |uredi kodo]

Če je $X {\displaystyle X}$ diskretna slučajna spremenljivka, ki lahko zavzame vrednosti $x_{1},x_{2},x_{3},$ ... z verjetnostmi $p_{1}=P(x_{1})$ , potem ima funkcija nezveznosti v točkah $x_{i}$ in je konstantna med vrednostmi:

F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i})\!\,.

Velja tudi $\lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$ in $\lim \limits _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$ .

Primer

[uredi |uredi kodo]

Mečemoigralno kocko. Naj bo slučajna spremenljivka $X {\displaystyle X}$ definirana kot število padlih pik. Ker je kocka poštena, ima vsaka možna vrednost $X {\displaystyle X}$ enako verjetnost, torej:

$P(X=k)={\frac {1}{6}},\quad k\in \{1,2,3,4,5,6\}$