Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Pojdi na vsebino
Wikipedijaprosta enciklopedija
Iskanje

Neenačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Neenačba (redko tudineenakost) je simbolični zapis sestavljen iz dvehmatematičnih izrazov, med katerima stoji neenačaj. Neenačaj je lahko katerikoli od znakov za relacijo urejenosti:<, >, ⩽, ⩾{\displaystyle <,~>,~\leqslant ,~\geqslant } (včasih dopuščamo za neenačaj tudi znak≠{\displaystyle \neq }). Izraza, ki nastopata v neenačbi, imenujemo leva stran in desna stran neenačbe.

Spremenljivke, ki nastopajo v neenačbi, imenujemoneznanke. Primer preproste neenačbe z eno neznanko:

x+1⩽2.{\displaystyle x+1\leqslant 2\;.}

Rešitev neenačbe

[uredi |uredi kodo]

Če neenačba vsebuje samo eno neznanko, je rešitev neenačbe tista vrednost neznanke, pri kateri neenačaj velja (tj. tista vrednost neznanke, pri kateri je neenačba kotizjavna forma pravilna). Če neenačba vsebujen neznank, je rešitev tistan-terica vrednosti neznank, pri kateri neenačaj velja. Neenačba ima lahko tudi več rešitev, pogosto kar neskončno mnogo (tj. več vrednosti neznanke oziroma večn-teric, pri katerih neeenačaj velja). Neenačbe po navadi rešujemo v množicirealnih števil. Množico rešitev lahko pogosto zapišemo zintervalom ali zunijo intervalov.

Zgled: neenačbax+1⩽2{\displaystyle x+1\leqslant 2\;} ima za rešitev vsako realno število, ki je manjše ali enako 1, torej:x⩽1{\displaystyle x\leqslant 1} oziromax∈(−∞,1]{\displaystyle x\in (-\infty ,1]}.

Neenačbi, ki imata enaki množici rešitev, sta med seboj enakovredni ali ekvivalentni. Zgled enakovrednih neenačb: 3x + 1 < x + 7 in 2x < 6.

Reševanje neenačbe

[uredi |uredi kodo]

Reševanje neenačbe pomeni iskanje rešitev. Reševanje poteka običajno tako, da neenačbo preoblikujemo v drugo obliko, ki pa je prvotni enakovredna. Pri tem lahko uporabimo naslednje postopke:

  • preoblikujemo samo levo ali pa samo desno stran po pravilih za preoblikovanje izrazov (odpravljanje oklepajev, ureditev členov ipd)
  • na levi in desni strani lahko prištejemo isto število
  • na levi in desni strani lahko odštejemo isto število
  • levo in desno stran lahko pomnožimo z istimpozitivnim številom
  • če levo in desno stran pomnožimo z istimnegativnim številom, se neenačaj obrne (tj. znak < se spremeni v > in obratno)
  • levo in desno stran lahko delimo z istimpozitivnim številom
  • če levo in desno stran delimo z istimnegativnim številom, se neenačaj obrne (tj. znak < se spremeni v > in obratno)
  • na levi in desni strani lahko izvedemo isto matematično funkcijo, ki pa mora biti povsodstrogo rastoča
  • če na levi in desni strani izvedemo isto matematično funkcijo, ki je povsodstrogo padajoča, se neenačaj obrne (tj. znak < se spremeni v > in obratno)

Neenakosti med potenčnimi sredinami

[uredi |uredi kodo]
Glej tudi:Neenakost med aritmetično in geometrično sredino

Obstaja veliko neenakosti med sredinami. Na primer za katerakoli pozitivna številaa1,a2, …,an veljaH ≤G ≤A ≤Q, kjer je

H=n1/a1+1/a2+⋯+1/an{\displaystyle H={\frac {n}{1/a_{1}+1/a_{2}+\cdots +1/a_{n}}}}  (harmonična sredina),
G=a1⋅a2⋯ann{\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}(geometrična sredina),
A=a1+a2+⋯+ann{\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}(aritmetična sredina),
Q=a12+a22+⋯+an2n{\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}(kvadratična sredina).

Cauchy–Schwarzova neenakost

[uredi |uredi kodo]
Glej tudi:Cauchy–Schwarzova neenakost

Cauchy-Schwarzova neenakost pravi, da za vse vektorjeu inv vprehilbertovem prostoru velja

|⟨u,v⟩|2≤⟨u,u⟩⋅⟨v,v⟩,{\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}

kjer je⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }notranji produkt. Primeri notranjega produkta so realni in kompleksniskalarni produkt. VEvklidskem prostoruRn s standardnim notranjim produktom se Cauchy-Schwarzova neenakost preoblikuje v

(∑i=1nuivi)2≤(∑i=1nui2)(∑i=1nvi2){\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right)}

Glej tudi

[uredi |uredi kodo]
Normativna kontrola: Narodne knjižniceUredite to na Wikipodatkih
Pridobljeno iz »https://sl.wikipedia.org/w/index.php?title=Neenačba&oldid=5274917«
Kategorija:
Skrite kategorije:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp