Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Pojdi na vsebino
Wikipedijaprosta enciklopedija
Iskanje

Logaritem

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Grafi funkcijln⁡x{\displaystyle \ln x\,} (modra),log⁡x{\displaystyle \log x\,} (rdeča) inlog1/2⁡x{\displaystyle \log _{1/2}x\,} (vijolična)
Logaritem števil 0-10. Nax-osi so argumenti logaritmov, nay-osi so vrednosti po enačbiy=1loga⁡x=log⁡alog⁡x{\displaystyle y={\frac {1}{\log _{a}x}}={\frac {\log a}{\log x}}\,}, krivulje pa označujejo osnovea

Logarítem (starogrškoλόγος: lógos -beseda +starogrškoἀριθμός: aritmós -število[1]) oziromalogaritemska funkcija je vmatematikifunkcija, ki iz eksponentneenačbeay=x{\displaystyle a^{y}=x} vrneeksponenty{\displaystyle y}. Zapiše se jo v oblikiy=loga⁡x{\displaystyle y=\log _{a}x}, kjer staa,x∈R+{\displaystyle a,x\in \mathbb {R} ^{+}}. To se berelogaritem x z osnovo a.x{\displaystyle x} se imenuje logaritmand ali paargument.

Algebrska definicija logaritma:loga⁡x=y⟺ay=x{\displaystyle \log _{a}x=y\Longleftrightarrow a^{y}=x}

Logaritemska funkcija je definirana le zapozitivna števila, njenazaloga vrednosti pa so vsarealna števila:

loga:R+⟶R.{\displaystyle \log _{a}:\mathbb {R} ^{+}\longrightarrow \mathbb {R} \!\,.}

Zgledi:

log2⁡8=3,log5⁡125=3,log2⁡(116)=−4.{\displaystyle \log _{2}8=3,\log _{5}125=3,\log _{2}\left({\frac {1}{16}}\right)=-4\!\,.}
log3⁡27=log3⁡332=32.{\displaystyle \log _{3}{\sqrt {27}}=\log _{3}3^{\frac {3}{2}}={\frac {3}{2}}\!\,.}

Antilogaritmiranje je postopek, s katerim se zapletenejši logaritemski izraz predela v eksponentno enačbo. To omogoča lažje reševanje.

Zgleda:

log2⁡2=x{\displaystyle \log _{2}{\sqrt {2}}=x\!\,}

2x=2{\displaystyle 2^{x}={\sqrt {2}}\!\,}
2x=212{\displaystyle 2^{x}=2^{\frac {1}{2}}\!\,}

x=12{\displaystyle x={\frac {1}{2}}}

logx⁡(x+2)=2{\displaystyle \log _{x}(x+2)=2\!\,}

x2=x+2{\displaystyle x^{2}=x+2\!\,} Dobimo kvadratno enačbo.
x2−x−2=0{\displaystyle x^{2}-x-2=0\!\,}
(x−2)(x+1)=0{\displaystyle (x-2)(x+1)=0\!\,}

x1=2{\displaystyle x_{1}=2\!\,}
x2=−1{\displaystyle x_{2}=-1\!\,} Ta rešitev odpade, ker je osnova pri eksponentni funkciji definirana kot pozitivno število.

R={2}{\displaystyle R=\{2\}\!\,}

Vrednosti logaritmov so pred pojavomračunalnikov prebirali iz logaritemskih tablic. Slovenski matematikJurij Vega je bil avtor znanega logaritmovnikaThesaurus Logarithmorum Completus.

Pravila za računanje z logaritmi

[uredi |uredi kodo]

Vsota logaritmov

[uredi |uredi kodo]
loga⁡x+loga⁡y=loga⁡(xy).{\displaystyle \log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}(xy)\!\,.}

Dokaz:

loga⁡x=d;loga⁡y=e⟹ad=x;ae=y{\displaystyle \log _{a}x=d;\log _{a}y=e\Longrightarrow a^{d}=x;a^{e}=y\!\,}
xy=ad⋅ae=ad+e/loga{\displaystyle xy=a^{d}\cdot a^{e}=a^{d+e}/\log _{a}\!\,}
loga⁡(xy)=loga⁡ad+e=d+e=loga⁡x+loga⁡y{\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}a^{d+e}=d+e=\log _{a}x+\log _{a}y\!\,}

Razlika logaritmov

[uredi |uredi kodo]
loga⁡x−loga⁡y=loga⁡(xy){\displaystyle \log _{a}x-\log _{a}y=\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)\!\,}

Dokaz:

loga⁡x=d;loga⁡y=e⟹ad=x;ae=y{\displaystyle \log _{a}x=d;\log _{a}y=e\Longrightarrow a^{d}=x;a^{e}=y\!\,}
xy=adae=ad−e/loga{\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {a^{d}}{a^{e}}}=a^{d-e}/\log _{a}\!\,}
loga⁡xy=loga⁡ad−e=d−e=loga⁡x−loga⁡y{\displaystyle \log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}a^{d-e}=d-e=\log _{a}x-\log _{a}y\!\,}

Množenje logaritma s konstanto

[uredi |uredi kodo]
rloga⁡x=loga⁡xr{\displaystyle r\log _{a}x=\log _{a}x^{r}};r∈R{\displaystyle r\in \mathbb {R} \!\,}

Dokaz:

loga⁡x=b⟹ab=x{\displaystyle \log _{a}x=b\Longrightarrow a^{b}=x\!\,}
xy=(ab)y=aby/loga{\displaystyle x^{y}=(a^{b})^{y}=a^{by}/\log _{a}\!\,}
loga⁡xy=loga⁡aby=by=yloga⁡x{\displaystyle \log _{a}x^{y}=\log _{a}a^{by}=by=y\log _{a}x\!\,}

Logaritmi z različnimi osnovami

[uredi |uredi kodo]

Pogosto se pojavi potreba, da se znan logaritem izrazi z drugačno logaritemsko osnovo.Žepni računalniki znajo računati samo z dvema osnovama (10 inEulerjevo število) razen če imate TI-36X PRO, ki lahko računa s katerokoli osnovo. Glede na to se ločidesetiške aliBriggsove logaritme ternaravne logaritme.

Če logaritemska osnova ni podana, gre za desetiški logaritem:log⁡x=log10⁡x{\displaystyle \log x=\log _{10}x}.

Naravne logaritme se označuje z drugo oznako:ln⁡x=loge⁡x{\displaystyle \ln x=\log _{e}x}.

Med logaritmi z različnimi osnovami se pretvarja po praviluloga⁡x=logb⁡xlogb⁡a{\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}}. Logaritem z osnovoa se je pretvoril v izraz z logaritmi z osnovob. Če jeb = 10 alie, se lahko izračuna iskano vrednostloga⁡x{\displaystyle \log _{a}x} kar z žepnim računalnikom:log⁡xlog⁡a{\displaystyle {\frac {\log x}{\log a}}} (oziromaln⁡xln⁡a{\displaystyle {\frac {\ln x}{\ln a}}}).

Iz pravil za pretvarjanje osnov logaritmov tudi sledi izrek: produkt dveh logaritmov z zamenjanima osnovama in argumentoma je 1.loga⁡b⋅logb⁡a=1{\displaystyle \log _{a}b\cdot \log _{b}a=1}

Dokaz:

loga⁡b=logb⁡blogb⁡a{\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{b}b}{\log _{b}a}}\!\,}
loga⁡b=1logb⁡a{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}\!\,}
loga⁡b⋅logb⁡a=1{\displaystyle \log _{a}b\cdot \log _{b}a=1\!\,}

Zgodovina

[uredi |uredi kodo]

Zgodovina logaritmov v Evropi sedemnajstega stoletja se je začela z odkritjem novefunkcije, ki je področje analize razširila izven dosega algebrskih metod. Metodo logaritmov je javno predstavilJohn Napier leta 1614 v knjigi z naslovomMirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Opis čudovitega pravila logaritmov).[2][3] Pred Napierjevim izumom so obstajale še druge tehnike podobnega obsega, na primer metodaprostafereza ali uporaba tabel zaporedij, ki jih je obširno razvilJost Bürgi okoli leta 1600.[4][5] Napier je izraz za logaritem skoval v srednji latinščini, "logarithmus", ki izhaja iz grščine, dobesedno pomeni "razmerje-število", izlogos "delež, razmerje, beseda" +aritmos "število".

Okoli leta 1730 jeLeonhard Euler definiral exponentno funkcijo in naravni logaritev[6][7][8]

ex=limn→∞(1+xn)n,ln⁡(x)=limn→∞n(x1/n−1).{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\\[6pt]\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).\end{aligned}}}

V učbeniku z leta 1748 pristopi do logaritmov kot inverzne funkcijey=az.{\displaystyle y=a^{z}.} Saj inverzna oblika je:

z = logay.

Tabele logaritmov

[uredi |uredi kodo]
Stran iz knjigeLogarithmorum Chilias PrimaHenryja Briggsa iz leta 1617 prikazuje logaritem osnove 10 (navadni) celih števil od 1 do 67 na štirinajst decimalnih mest.
Del tabele navadnih logaritmov iz 20. stoletja v referenčni knjigiAbramowitz in Stegun.
Stran iz tabele logaritmov trigonometričnih funkcij iz publikacijeAmerican Practical Navigator iz leta 2002. Za pomoč pri interpolaciji so vključeni stolpci razlik.

Matematične tabele logaritmov desetiškega sistema so bile velikokrat zelo koristno orodje pri računanju, saj so pred prihodom računalnikov bolj zapleteno množenje in deljenje spremenili v lažje funkcije seštevanja in odštevanja. Vsako število se je tako izrazilo kot seštevek enostavnih zmnožkov desetiške eksponentne funkcije.

Zgodnje tabele

[uredi |uredi kodo]

Michael Stifel je objavilArithmetica integra vNürnbergu leta 1544, ki je vsebovala tabelo faktorjev s potencami števila 2.[9][10][11]

Angleški matematikHenry Briggs je objavil leta 1617Logarithmorum Chilias Prima ("Prvih tisoč logaritmov"), ki so vsebovali preprost pregled nad logaritmi in tabelo za prvih 1000 celih števil, izračunanih do 14 decimalnega mesta.

Izboljšava leta 1624, BriggsovaArithmetica Logarithmica, je vsebovala logaritemske tabele 30 000 naravnih števil (1-20,000 in 90,001 to 100,000). To tabelo je razširilAdrian Vlacq, a za 10 decimalnih mest natančno. Hiter pregled natisnjenih tabel:[12]

LetoAvtorObsegDecimalna mestaPripis
1614John Napier,Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio0°–90°, minute7sin(Θ) & ln(sin(Θ)),
1617Henry Briggs,Logarithmorum Chilias Prima1–100014
1624Henry BriggsArithmetica Logarithmica1–20,000, 90,000–100,00014
1628Adriaan Vlacq20,000–90,00010contained only 603 errors[13]
1792–94Gaspard de PronyTables du Cadastre1–100,000 and 100,000–200,00019/24"17 ogromnih pol rokopisa",[14] nikoli objavljeni, znanstveni arhiv
1794Jurij VegaThesaurus Logarithmorum Completus (Leipzig)popravki dela Adriana Vlacqa
1795François Callet (Paris)100,000–108,0007
1871Edward Sang1–200,0007
William Oughtred (1575–1660), izumiteljlogaritemskega računala
Zbirka tabel v Muzeju zgodovine znanosti v Oxfordu

Poleg tabelic je vredno omenitilogaritemsko računalo. Leta 1624 jeEdmund Wingate (1593–1656) omenil možnost dvojne mere, torej dveh metrov, ki bi primerjali dimenzije. Leta 1630 jeWilliam Oughtred izumil okroglo računalo. Leta 1821 jeNathaniel Bowditch opisal napravo vAmerican Practical Navigator, kjer drsi meter, ki na eni strani opisuje fukcije trigonometrije in logaritemske vrednosti tangent in sinusov. Naprava naj bi olajšala računanje navigacije.[15]

Glej tudi

[uredi |uredi kodo]

Sklici

[uredi |uredi kodo]
  1. ↑»logarithm« (v angleščini).Wikislovar. Pridobljeno 9. aprila 2013.
  2. ↑Napier, John (1614),Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [The Description of the Wonderful Rule of Logarithms] (v latinščini), Edinburgh, Scotland: Andrew Hart
  3. ↑Hobson, Ernest William (1914),John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press
  4. ↑Folkerts, Menso; Launert, Dieter; Thom, Andreas (2016), »Jost Bürgi's method for calculating sines«,Historia Mathematica,43 (2): 133–147,arXiv:1510.03180,doi:10.1016/j.hm.2016.03.001,MR 3489006
  5. ↑O'Connor, John Joseph;Robertson, Edmund Frederick,»Jost Bürgi (1552 – 1632)«,Arhiv zgodovine matematike MacTutor (v angleščini),Univerza v St Andrewsu
  6. ↑Maor 2009, sections 1, 13
  7. ↑Eves, Howard Whitley (1992),An introduction to the history of mathematics, The Saunders series (6th izd.), Philadelphia: Saunders,ISBN 978-0-03-029558-4, section 9-3
  8. ↑Boyer, Carl B. (1991),A History of Mathematics, New York:John Wiley & Sons,ISBN 978-0-471-54397-8, p. 484, 489
  9. ↑Stifelio, Michaele (1544),Arithmetica Integra, London: Iohan Petreium
  10. ↑Bukhshtab, A.A.; Pechaev, V.I. (2001) [1994].»Arithmetic«.Encyclopedia of Mathematics.EMS Press.
  11. ↑Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley (1972),Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston, str. 182,ISBN 978-0-03-077670-0
  12. ↑Roy, A. E. (2004),Orbital Motion (4th izd.), CRC Press, str. 236,ISBN 9781420056884,In G. Darwin's day, logarithm tables came in different sizes
  13. ↑"this cannot be regarded as a great number, when it is considered that the table was the result of an original calculation, and that more than 2,100,000 printed figures are liable to error.",Athenaeum, 15 June 1872. See also Glaisher, inMonthly Notices of the Royal Astronomical Society for May 1872, pp255-262.
  14. ↑English Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., article "Prony."
  15. ↑"Cameron's Nautical Slide Rule", The Practical Mechanic and Engineer's Magazine, April 1845, p187 and Plate XX-B

Viri

[uredi |uredi kodo]

Zunanje povezave

[uredi |uredi kodo]
Poglejte si besedologaritem aliLogaritem v Wikislovarju, prostem slovarju.
Normativna kontrola: Narodne knjižniceUredite to na Wikipodatkih
Pridobljeno iz »https://sl.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritem&oldid=6232136«
Kategoriji:
Skrite kategorije:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp