Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Pojdi na vsebino
Wikipedijaprosta enciklopedija
Iskanje

Elipsometrija

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Shema elipsometra PCSA

Elipsometríja je ena najboljtočnih nedestruktivnihoptičnih metod za določanje optičnih značilnosti tankih plasti ali vrhnih slojev večplastnihsnovi. Omogoča točnomerjenjelomnega količnika, koeficientaabsorpcije in debeline posamezne plasti. Merjene debeline so lahko manjše odnanometra ali pa debele večmikrometrov. Ime izvira iz dejstva, da se pri merjenju uporabieliptičnopolariziranosvetlobo. Metodo je leta1888 prvi opisalPaul Drude.[1] Prva omemba besede elipsometrije se je pojavila leta 1945 v angleščini.[2] Pri elipsometriji se meri spremembe v polarizaciji, ki nastanejo priodboju svetlobe na vzorcu. Svetlobo z znano polarizacijo se usmeri na vzorec, kjer interagira z vzorcem, zaradi česar se ji spremeni polarizacija. Spremembo polarizacije se opiše z relativno sprememboamplitude infaze valovanja.

Elipsometer je glavnaoptična naprava v elipsometriji.

Za razmah elipsometrije je bil potreben razvoj računalniško nadzorovanih komponent, ki so čas zajema meritev močno skrajšale in povečale točnost. Danes se metodo uporablja na različnih področjih, med drugim za proučevanjesončnih celic,svetlečih diod (LED) ali tankoplastnihtranzistorjev, ki so sestavljeni iz zapletenih večplastnih struktur. Največja pomanjkljivost elipsometrije je potreba po optičnem modelu vzorca in modeliranju podatkov.Algoritmi za prilagajanje so lahko zelo nestabilni, poleg tega so rezultati močno odvisni od izbire optičnega modela vzorca in izhodiščnih predpostavk. Na sliki se vidi shematsko postavitev elipsometra PCSA, katerega matematična obravnava je opisana v nadaljevanju.

Osnovna načela

[uredi |uredi kodo]
Kotna odvisnost elipsometrične spremenljivke Ψ za izbrane lomne količnike
Kotna odvisnost elipsometrične spremenljivke Δ za izbrane lomne količnike
Elipsometer Horiba Uvisel, Laboratorij za analize in arhitehkturo sistemov, LAAS-CNRS, Toulouse

Elipsometrične meritve se izvajajo tako, da se merijo spremembe v polarizaciji svetlobe pri prehodu skozi vzorec. Opazuje se lahko odbito ali prepuščeno svetlobo. V splošnem je vpadna svetloba eliptično polarizirana in stanje polarizacije se lahko zapiše kot seštevek dveh med sabo pravokotnihlinearno polariziranih valov. Vsak od valov ima svojo amplitudo, med njima jefazni zamik. Razcep na dve polarizaciji je nujen, saj za vsako smer polarizacije veljajo drugi robni pogoji, ki so pomembni pri upoštevanjuFresnelovih enačb. V virih se najde več načinov za označevanje smeri polarizacije, tukaj se zgleduje po delu Michaelisa in soavtorjev.[3] Ena komponenta se imenuje p-polarizirano valovanje (ponekod TM – transverzalno magnetno valovanje), drugo pa s-polarizirano valovanje (ponekod TE – transverzalno električno valovanje).

Za opis spremembe polarizacije se uporabljata količiniψ{\displaystyle \psi \,} inΔ{\displaystyle \Delta \,}. Spremenljivkaψ{\displaystyle \psi \,} je razmerje med amplitudama p-polarizirane in s-polarizirane odbite svetlobe,Δ{\displaystyle \Delta \,} pa podaja fazni zamik med obema polarizacijama. Vpeljemo razmerje kompleksnih odbojnostnih koeficientovρ≡tan⁡ψexp⁡(iΔ)=rprs{\displaystyle \rho \equiv \tan \psi \exp(i\Delta )={\frac {r_{p}}{r_{s}}}\,}, pri čemer so kompleksni odbojni koeficienti preko Fresnelovih enačb povezani zdielektričnimi lastnostmi snovi:

rp≡ErpEip=ntcos⁡θi−nicos⁡θtntcos⁡θi+nicos⁡θt,{\displaystyle r_{p}\equiv {\frac {E_{rp}}{E_{ip}}}={\frac {n_{t}\cos \theta _{i}-n_{i}\cos \theta _{t}}{n_{t}\cos \theta _{i}+n_{i}\cos \theta _{t}}}\!\,,}
rs≡ErsEis=nicos⁡θi−ntcos⁡θtnicos⁡θi+ntcos⁡θt.{\displaystyle r_{s}\equiv {\frac {E_{rs}}{E_{is}}}={\frac {n_{i}\cos \theta _{i}-n_{t}\cos \theta _{t}}{n_{i}\cos \theta _{i}+n_{t}\cos \theta _{t}}}\!\,.}

V zgornjih enačbah se lahko prepuščeni kotθt{\displaystyle \theta _{t}\,} izrazi z vpadnim kotomθi{\displaystyle \theta _{i}\,}, povezana sta preklomnega zakonanisin⁡θi=ntsin⁡θt{\displaystyle n_{i}\sin \theta _{i}=n_{t}\sin \theta _{t}\,}, pri čemer stani{\displaystyle n_{i}} innt{\displaystyle n_{t}}lomna količnika snovi.

Grafi prikazujejo teoretični izračun kotne odvisnostiψ{\displaystyle \psi \,} inΔ{\displaystyle \Delta \,} za mejo zrak-YBa2Cu3O7-x pri valovni dolžiniλ=400 nm{\displaystyle \lambda =400\ {\hbox{nm}}}. Vrednost kompleksnega lomnega količnika jeN=1.67+2i{\displaystyle N=1.67+2i}.[3] Oblika funkcij velja splošno, iz slike pa je razvidno, da je elipsometrija najbolj občutljiva v okoliciBrewstrovega kota.

Optična interferenca na tankih filmih

[uredi |uredi kodo]
Skica poti žarkov na tanki plasti

Za potrebe pretvorbe izmerjenih količin v optične lastnosti snovi v elipsometriji se sestavi optični model, ki služi kot idealiziran model vzorca. Najenostavnejši model vzorca je sestavljen iz substrata in tanke plasti. Naj boN0{\displaystyle N_{0}} lomni količnik zraka,N1{\displaystyle N_{1}} lomni količnik tanke plasti inN2{\displaystyle N_{2}} lomni količnik substrata. Pri majhni absorpciji valovanja v tanki plasti pride do pojava optičneinterference, saj se na meji med substratom in tankim filmom del svetlobe odbije in interferira z neodbito svetlobo. Fazni zamik, ki nastane pri prehodu svetlobnega valovanja skozi plast debelined{\displaystyle d}, je:

β=2πdλN12−N02sin2⁡(θ0){\displaystyle \beta ={\frac {2\pi d}{\lambda }}{\sqrt {N_{1}^{2}-N_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta _{0})}}},

pri čemer jeθ0{\displaystyle \theta _{0}\,}vpadni kot,λ{\displaystyle \lambda } pavalovna dolžina vpadne svetlobe.

Na sliki je prikazana potžarka skozi tanko plast. Odbojni koeficient primarnega odbitega žarka se označi zr01{\displaystyle r_{01}}. Na vsaki meji med plastema se del svetlobe odbije in del prepusti. Vsak žarek ima drugačen fazni zamik, saj so optične poti posameznih žarkov različne. Vse prejšnje prehode žarka se upošteva tako, da se zaporedno pomnožijo amplitudni koeficienti, ki opišejo prehod skozi posamezno plast in odboj na meji med plastema. Celotno odbito valovanje se zapiše kot neskončno vsoto žarkov:

r012=r01+t01t10r12e−i2β+t01t10r122e−i4β+... .{\displaystyle r_{012}=r_{01}+t_{01}t_{10}r_{12}e^{-i2\beta }+t_{01}t_{10}r_{12}^{2}e^{-i4\beta }+...\ .}

Zgornji zapis jegeometrična vrsta oblikey=ar+ar2+ar3+...{\displaystyle y=ar+ar^{2}+ar^{3}+...}, ki se prepiše vy=a/(1−r){\displaystyle y=a/(1-r)}.

Koeficient odbojnosti za celotno valovanje je torejr012=r01+r12e−i2β1+r01r12e−i2β.{\displaystyle r_{012}={\frac {r_{01}+r_{12}e^{-i2\beta }}{1+r_{01}r_{12}e^{-i2\beta }}}.}

Enačbo se zapiše posebej za s-polazirirano in p-polarizirano valovanje:

r012,p=r01,p+r12,pe−i2β1+r01,pr12,pe−i2β,r012,s=r01,s+r12,se−i2β1+r01,sr12,se−i2β.{\displaystyle r_{012,p}={\frac {r_{01,p}+r_{12,p}e^{-i2\beta }}{1+r_{01,p}r_{12,p}e^{-i2\beta }}},\qquad r_{012,s}={\frac {r_{01,s}+r_{12,s}e^{-i2\beta }}{1+r_{01,s}r_{12,s}e^{-i2\beta }}}.}

Odbojnostgostote energijskega toka valovanja je realna in merljiva količina. Zanjo velja:

Rp=|r012,p|2,Rs=|r012,s|2.{\displaystyle R_{p}=\left|r_{012,p}\right|^{2},\qquad R_{s}=\left|r_{012,s}\right|^{2}.}

Pri snovi z več plastmi se zgornji postopek razširi, uporabi se Fresnelove enačbe v splošni obliki, ki veljajo med poljubnima plastema z zaporednima indeksomaj{\displaystyle j} ink{\displaystyle k}:

rj→k,p=Nkcos⁡θj−Njcos⁡θkNkcos⁡θj+Njcos⁡θk,rj→k,s=Njcos⁡θj−Nkcos⁡θkNjcos⁡θj+Nkcos⁡θk.{\displaystyle r_{j\rightarrow k,p}={\frac {N_{k}\cos \theta _{j}-N_{j}\cos \theta _{k}}{N_{k}\cos \theta _{j}+N_{j}\cos \theta _{k}}},\qquad r_{j\rightarrow k,s}={\frac {N_{j}\cos \theta _{j}-N_{k}\cos \theta _{k}}{N_{j}\cos \theta _{j}+N_{k}\cos \theta _{k}}}.}

Matrični opis elipsometrije

[uredi |uredi kodo]

Pri meritvah v elipsometriji se uporablja različne optične komponente. Njihov vpliv na polarizacijo se najlažje matematično opiše s sistemommatrik invektorjev. Celoten sistem se opiše kot zmnožek vseh matrik optičnih komponent in matrike vzorca.

Transformacija koordinatnega sistema

[uredi |uredi kodo]

Zasuk optičnih elementov okrog osiz{\displaystyle z} za kotα{\displaystyle \alpha }, pri čemer je osz{\displaystyle z} definirana v smeri širjenja svetlobnega žarka, se bo zapisal z matrikoR{\displaystyle \mathbf {R} }. Koordinatni sistemxy{\displaystyle xy} je namreč priročneje zasukati v lastne koordinate vsakega od optičnih elementov. Lastne koordinate se označi zx′{\displaystyle x'} iny′{\displaystyle y'}. Poljubno točkoP(Ex,Ey){\displaystyle P(E_{x},E_{y})} se zapiše z dvema koordinatama:Ex′=Excos⁡α+Eysin⁡α,{\displaystyle E_{x'}=E_{x}\cos \alpha +E_{y}\sin \alpha ,}Ey′=−Exsin⁡α+Eycos⁡α.{\displaystyle E_{y'}=-E_{x}\sin \alpha +E_{y}\cos \alpha .}

Kotα{\displaystyle \alpha } se meri nasproti smeri urinega kazalca.Transformacijo se zapiše v obliki množenja z matriko:

E′=R(α) E,{\displaystyle \mathbf {E'} =\mathbf {R} (\alpha )\ \mathbf {E} ,} kjer jeR(α)=[cos⁡αsin⁡α−sin⁡αcos⁡α].{\displaystyle \mathbf {R} (\alpha )=\left[{\begin{array}{ccc}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right].}

Jonesovi vektorji in matrike

[uredi |uredi kodo]
Jonesove matrike, s katerimi se opiše prehod svetlobnega valovanja skozi različne optične elemente.
Jonesove matrike, s katerimi se opiše prehod svetlobnega valovanja skozi različne optične elemente.

Z Jonesovimi matrikami se opisuje prehod svetlobnega valovanja skozi optične elemente. Stanje polarizacije svetlobnega valovanja opisujeta dve lastni valovanji, ki nihata vzopredno v smerehex{\displaystyle \mathbf {e_{x}} } iney{\displaystyle \mathbf {e_{y}} }. Jonesov vektor je sestavljen iz obeh valovanj:

E(z,t)=[|Ex|exp⁡(i(ωt−Kz+δx))|Ey|exp⁡(i(ωt−Kz+δy))]=exp⁡(i(ωt−Kz))[|Ex|exp⁡(iδx)|Ey|exp⁡(iδy)]={\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\left[{\begin{array}{ccc}|E_{x}|\exp(i(\omega t-Kz+\delta _{x}))\\|E_{y}|\exp(i(\omega t-Kz+\delta _{y}))\end{array}}\right]=\exp(i(\omega t-Kz))\left[{\begin{array}{ccc}|E_{x}|\exp(i\delta _{x})\\|E_{y}|\exp(i\delta _{y})\end{array}}\right]=}

=exp⁡(i(ωt−Kz))exp⁡(iδy)[|Ex|exp⁡[i(δx−δy)]|Ey|]{\displaystyle =\exp(i(\omega t-Kz))\exp(i\delta _{y})\left[{\begin{array}{ccc}|E_{x}|\exp[i(\delta _{x}-\delta _{y})]\\|E_{y}|\end{array}}\right]}

Jonesov vektor se normalizira s pogojem, da je skupni svetlobni tokI=1{\displaystyle I=1}.

Svetlobni tok je potem:I=Ix+Iy=|Ex|2+|Ey|2=ExEx∗+EyEy∗.{\displaystyle I=I_{x}+I_{y}=|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}=E_{x}E_{x}^{*}+E_{y}E_{y}^{*}.}

Ničelna elipsometrija z elipsonetrom PCSA

[uredi |uredi kodo]

Navadno je elipsometer sestavljen izpolarizatorja (P), kompenzatorja (C), vzorca (S) in analizatorja (A), skrajšano PCSA, pri čemer so komponente krmiljene računalniško. V nadaljevanju se bo obravnavalo to postavitev, za vse tipe elipsometrov pa velja podobna izpeljava. Za svetlobni izvor pri spektroskopski elipsometriji se uporabljaksenonska visokotlačna svetilka, za katero so nameščeni monokromatski filtri.

Med meritvijo se vrti posamezne optične komponente in išče zaporedje kotov, pri katerem analizator ne prepušča svetlobnega toka:IA=0=k⋅EAEA∗,{\displaystyle I_{A}=0=k\cdot \mathbf {E_{A}} \mathbf {E_{A}^{*}} ,}kjer jeIA{\displaystyle I_{A}} svetlobni tok nadetektorju inEA{\displaystyle \mathbf {E_{A}} } vektor električnega polja pri analizatorju. Vsak prehod svetlobnega valovanja opiše Jonesova matrika, celotni prehod skozi elipsometer se zapiše kot zmnožek posameznih matrik:EA=Jn⋅Jn−1⋯J1⋅E0,{\displaystyle \mathbf {E_{A}} =\mathbf {J_{n}} \cdot \mathbf {J_{n-1}} \cdots \mathbf {J_{1}} \cdot \mathbf {E_{0}} ,} kjerE0{\displaystyle \mathbf {E_{0}} } opiše svetlobno valovanje pri izvoru. Vsaka Jonesova matrika mora biti z obeh strani pomnožena s pripadajočo matriko za transformacijo koordinatnega sistema, saj so vsi optični elementi zasukani.

Za sistem PCSA pri ničelnemu toku velja pogoj:EA=A R(A) S R(−C) C R(C) R(−P)⋅E0=0.{\displaystyle \mathbf {E_{A}} =\mathbf {A\ R(A)\ S\ R(-C)\ C\ R(C)\ R(-P)\cdot E_{0}} =0.}

Uporabijo se matrike komponent in pridobi se pogoj:

0=rpcos⁡A[cos⁡Ccos⁡(P−C)−ρc sin⁡C sin⁡(P−C)]+{\displaystyle 0=r_{p}\cos A\left[\cos C\cos(P-C)-\rho _{c}\ \sin C\ \sin(P-C)\right]+}
rssin⁡A[sin⁡Ccos⁡(P−C)−ρc cos⁡C sin⁡(P−C)],{\displaystyle r_{s}\sin A\left[\sin C\cos(P-C)-\rho _{c}\ \cos C\ \sin(P-C)\right],}

kjer jeρc{\displaystyle \rho _{c}} fazni zamik, ki ga ustvari kompenzator.

Pri meritvah kompenzatorju določijo kotC=45∘{\displaystyle C=45^{\circ }} in fazni zamikδ=90∘{\displaystyle \delta =90^{\circ }}:

ρ≡rprs=tan⁡A 1−itan⁡(P−45∘)1+itan⁡(P−45∘){\displaystyle \rho \equiv {\frac {r_{p}}{r_{s}}}=\tan A\ {\frac {1-i\tan(P-45^{\circ })}{1+i\tan(P-45^{\circ })}}}

Uporabni sta še zvezi:

e−i2θ=1−itan⁡θ1+itan⁡θ,ρ=tan⁡ψexp⁡(iΔ).{\displaystyle e^{-i2\theta }={\frac {1-i\tan \theta }{1+i\tan \theta }},\qquad \rho =\tan \psi \exp(i\Delta ).}

Končni izraz, iz katerega se zapiše pogoje zaEA=0{\displaystyle E_{A}=0}, je:

tan⁡ψexp⁡(iΔ)=tan⁡(−A)exp⁡[i(−2P+90∘)].{\displaystyle \tan \psi \exp(i\Delta )=\tan(-A)\exp[i(-2P+90^{\circ })].}

Dve rešitvi zaψ{\displaystyle \psi } inδ{\displaystyle \delta } sta:

−A>0→ψ=−AΔ=−2P+90∘,{\displaystyle -A>0\rightarrow \psi =-A\quad \Delta =-2P+90^{\circ },}
A>0→ψ=AΔ=−2P−90∘.{\displaystyle A>0\rightarrow \psi =A\quad \Delta =-2P-90^{\circ }.}

Kompenzator se lahko nastavi tudi na kotC=−45∘{\displaystyle C=-45^{\circ }}. Tako obstajata še dve rešitvi za pogojEA=0{\displaystyle E_{A}=0}. V vsaki tako imenovani coni obstaja torej ena rešitev. Skupaj so to štiri lege komponent, pri katerih je svetlobni tok nič, vse izmerjene količine pa se izpovpreči, da se poveča točnost meritve.

Optični model

[uredi |uredi kodo]
Koraki pri obdelavi elipsometričnih meritev.

Izmerjeni količiniψ{\displaystyle \psi } inΔ{\displaystyle \Delta } sami po sebi ne povesta kaj dosti o optičnih značilnostih snovi. Uporabiti je treba optični model, s katerim se izmerjeni količini pretvorita v optične značilnosti snovi. Model je lahko poljubno točen približek dejanski sestavi vzorca, modro je najprej uporabiti preprostejše modele, nato pa postopoma povečevati zapletenost modela. Najprej je treba določiti, ali je z vzorec sestavljen iz ene same plasti ali je večplasten.

Oceniti je treba, ali so plasti izotropne ali anizotropne, homogene ali nehomogene. Odločiti se je treba tudi, ali se upoštevapovršinska hrapavost vzorca. Potrebna je tudi groba ocena za debelino posameznih plasti. Pri ocenah je v pomoč uporabamikroskopa na atomsko silo (AFM
atomic force microscope) alielektronskega mikroskopa (SEM
scanning electron microscope).

Optični model se, skupaj z izmerjenimaψ{\displaystyle \psi } inΔ{\displaystyle \Delta }, vstavi v izbrani algoritem za prilagajanje modela. Pri prilagajanju modela na meritve se uporablja neodvisno merilo za uspešnost modela FOM (figure of merit).

Primerna izbira FOM je reduciranχ2{\displaystyle \chi ^{2}}:

χ2=1N−M−1∑(ρmeritve−ρizracunan)2δρ2,{\displaystyle \chi ^{2}={\frac {1}{N-M-1}}\sum {\frac {(\rho _{meritve}-\rho _{izracunan})^{2}}{\delta \rho ^{2}}},}

kjer jeN{\displaystyle N} število izmerkov,M{\displaystyle M} število prostih parametrov inδρ{\displaystyle \delta \rho } merska napaka posameznega izmerka. Če je po koncu prilagajanjaχ2≈1{\displaystyle \chi ^{2}\approx 1}, je izbran model dober,χ2>>1{\displaystyle \chi ^{2}>>1} kaže na slabo izbran model.[4]

Za prilagajanje podatkov je treba izbrati stabilen algoritem. Za znanstvenike, ki se ukvarjajo z elipsometrijo, je prva izbira Levenberg-Marquard algoritem. Preiskušen je bil na mnogih modelih, ni pa povsem zanesljiv, saj poišče minimum, ki ni nujno globalni. Po koncu prilagajanja podatkov je zato nujno oceniti fizikalno smiselnost dobljenih rezultatov. Omenjeni algoritem je edini, ki sam preračuna negotovosti dobljenih rezultatov in korelacijo med parametri.

Približek efektivne plasti (Effective medium approximations)

[uredi |uredi kodo]
Vrhnjo plast v optičnem modelu se opiše z BEMA

Elipsometrija je zelo občutljivamerska tehnika. Hrapavost površine tako močno vpliva nasipanje svetlobnega valovanja na površini in lahko kaj hitro vodi v napačni končni rezultat. Z različnimi približki efektivne plasti (EMA  –effective medium approximation) se lahko hrapave površine opiše kot nehomogeno zmes vzorca in okoliškega zraka. V elipsometriji se najpogosteje uporablja BEMA (Bruggemannova EMA), saj je empirično potrjena kot najboljši približek za množico različnih snovi.[4] Natančnejša izpeljava je opisana v[5], tu bo zapisan le končni rezultat:

∑ifiϵi−ϵϵi+2ϵ=0,{\displaystyle \sum _{i}f_{i}{\frac {\epsilon _{i}-\epsilon }{\epsilon _{i}+2\epsilon }}=0,}

kjer jefi{\displaystyle f_{i}} je delež posamezne snovi v nehomogeni celoti,ϵi{\displaystyle \epsilon _{i}} dielektrična konstanta posamezne snovi inϵ{\displaystyle \epsilon } povprečna dielektrična konstanta, ki jo čuti svetlobno valovanje na poti skozi nehomogeno snov. Iz enačbe se dobiϵ{\displaystyle \epsilon }, optičnemu modelu pa se doda novo plast z debelinod{\displaystyle d}.

Površinsko hrapavost se vključi v model tako, da se z BEMA združi zrak in vrhnjo plast vzorca v efektivno hrapavo plast. Tako dobljenϵ{\displaystyle \epsilon } se vstavi v model. Povezava med debelino plasti BEMA in dejansko debelino hrapave plasti vzorca je za nekatere vrste vzorcev, predvsem silicijeve, dobro raziskana. V splošnem pa ni znana analitična povezava med debelinama, vendar raziskave kažejo na isti velikostni red.[6] Z mikroskopom na atomsko silo se torej lahko samo oceni, ali je plast BEMA v modelu potrebna in kakšen je velikostni red mej za debelino plasti BEMA v modelu.{\displaystyle }

Sklici

[uredi |uredi kodo]
  1. ↑ Drude (1887).
  2. ↑ Rothen (1945).
  3. ↑3,03,1 Michaelisidr. (1998).
  4. ↑4,04,1 Jellison (1993)
  5. ↑ Losurdo (2013)
  6. ↑ Fujiwara (2007)

Viri

[uredi |uredi kodo]
Normativna kontrola: Narodne knjižniceUredite to na Wikipodatkih
Pridobljeno iz »https://sl.wikipedia.org/w/index.php?title=Elipsometrija&oldid=6068197«
Kategorije:
Skrite kategorije:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp