Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Pojdi na vsebino
Wikipedijaprosta enciklopedija
Iskanje

Elipsa

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Za druge pomene glejElipsa (razločitev).
Elipsa

Elípsa alipákróg je vmatematiki sklenjenaravninskakrivulja ovalne oblike, pri kateri jevsotarazdalj katerekolitočke odgorišč F1 in F2 stalna. Elipsa je ena odstožnic.

Slika

[uredi |uredi kodo]

Na sliki so:

Gorišči sta od središča o oddaljeni zac=e⋅a=a2−b2{\displaystyle c=e\cdot a={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}. Če z r1 in r2 označimo razdalji od gorišč F1 in F2 do točke X na elipsi (modri črti) sta njuni dolžinir1=a−ex{\displaystyle r_{1}=a-ex} inr2=a+ex{\displaystyle r_{2}=a+ex}, tako da veljar1+r2=2a{\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}

Parametrizacija

[uredi |uredi kodo]

Če koordinatni osi sovpadata z osema elipse, je kanonična oblika enačba elipse:

x2a2+y2b2=1{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}

parametrična oblika enačbe elipse pa je

x=acos⁡t{\displaystyle x=a\,\cos t}
y=bsin⁡t{\displaystyle y=b\,\sin t}
0≤t<2π{\displaystyle 0\leq t<2\pi }

Izsrednost (ekscentričnost)

[uredi |uredi kodo]
e=ca=a2−b2a=1−b2a2{\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}

Polarne koordinate

[uredi |uredi kodo]
r(1+ecos⁡θ)=l{\displaystyle r(1+e\cos \theta )=l\,}, kjer jel=b2a{\displaystyle l={\frac {b^{2}}{a}}}.

Ploščina

[uredi |uredi kodo]
S=πab.{\displaystyle S=\pi ab\,\!.}

Obseg

[uredi |uredi kodo]
o=4aE(e)=2πa[1−(12)2e2−(1⋅32⋅4)2e43−(1⋅3⋅52⋅4⋅6)2e65−⋯],{\displaystyle o=4aE(e)=2\pi a\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {e^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {e^{6}}{5}}-\cdots \right]\,\!,}

kjer je E(e) popolnieliptičniintegraldruge vrste.

Ramanudžanov približek iz leta 1914:

o≈π[3(a+b)−(3a+b)(a+3b)].{\displaystyle o\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\,\!.}

Še en približek:

o≈π2(a2+b2){\displaystyle o\approx \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}\,\!}

Kvadratna forma

[uredi |uredi kodo]

Če elipsa ni v središčni legi in je zavrtena, jo zapišemo skvadratno formo:

ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0.{\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\,\!.}

Če forma nima člena zxy{\displaystyle xy}, torejb=0{\displaystyle b=0}, elipsa ni zavrtena:

ax2+cy2+dx+ey+f=0.{\displaystyle ax^{2}+cy^{2}+dx+ey+f=0\,\!.}

Če forma nima člena zx{\displaystyle x}, torejd=0{\displaystyle d=0}, elipsa ni premaknjena v smeri osi x:

ax2+cy2+ey+f=0.{\displaystyle ax^{2}+cy^{2}+ey+f=0\,\!.}

Če forma nima člena zy{\displaystyle y}, toreje=0{\displaystyle e=0}, elipsa ni premaknjena v smeri osi y:

ax2+cy2+f=0.{\displaystyle ax^{2}+cy^{2}+f=0\,\!.}

Iz te forme se izpelje zgornja kanonična oblika.

Identifikacija

[uredi |uredi kodo]

Če določena kvadratna forma predstavlja elipso, preverimo tako, da koeficiente forme vstavimo v matriki:

A=[abdbcedef]{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{bmatrix}}}

in

B=[abbc]{\displaystyle B={\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}

Forma predstavlja elipso natanko takrat, ko velja:|A|≠0,|B|>0,|A|a+c<0{\displaystyle |A|\neq 0,\quad |B|>0,\quad {\frac {|A|}{a+c}}<0}

pri čemer je|A|=acf+2bde−fb2−cd2−ae2{\displaystyle |A|=acf+2bde-fb^{2}-cd^{2}-ae^{2}} in|B|=ac−b2{\displaystyle |B|=ac-b^{2}}

Središče elipse

[uredi |uredi kodo]

Središče elipse je rešitev sistema enačb:

2ax+2by+d=0,{\displaystyle 2ax+2by+d=0\,\!,}
2bx+2cy+e=0,{\displaystyle 2bx+2cy+e=0\,\!,}

z rešitvijo

x=−dc2b2+2ac−be{\displaystyle x={\frac {-dc}{2b^{2}+2ac-be}}\,\!}
y=−e+2bx2c.{\displaystyle y=-{\frac {e+2bx}{2c}}\,\!.}

Kot vrtenja

[uredi |uredi kodo]

Kot, za katerega je elipsa s poljubnim središčem zavrtena, je

φ=12ctg−1(c−a2b){\displaystyle \varphi ={\frac {1}{2}}\mathrm {ctg} ^{-1}\left({\frac {c-a}{2b}}\right)}. Če jeb=0{\displaystyle b=0} jeφ=0∘{\displaystyle \varphi =0^{\circ }}

Glej tudi

[uredi |uredi kodo]
Stub icon

Ta matematični članek ješkrbina. Pomagajte Wikipediji in garazširite.


1. reda
Stožnice (2. reda)
Lemniskate
Spirale
Fraktalne
Odvojne
Rulete
3. reda
4. reda
6. reda
Druge
Glej tudi:seznam krivulj
Mednarodno
Nacionalno
Drugo
Pridobljeno iz »https://sl.wikipedia.org/w/index.php?title=Elipsa&oldid=6218516«
Kategorija:
Skriti kategoriji:
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp